Числовые последоваьельности

1. Найдите закономерности и покажите их с помощью стрелки:

1; 4; 7; 10; 13; …
В порядке возрастания
положительные нечетные
числа
10; 19; 37; 73; 145; …
В порядке убывания
правильные дроби
с числителем, равным 1
6; 8; 16; 18; 36; …
В порядке возрастания
положительные числа,
кратные 5
½; 1/3; ¼; 1/5; 1/6;
Увеличение
на 3 раза
Чередовать увеличение
на 2 и увеличение в 2 раза
1; 3; 5; 7; 9; …
5; 10; 15; 20; 25; …
Увеличение в 2 раза
и уменьшение на 1
1

2.

2

3. Содержание

Понятие числовой последовательности
Примеры числовых последовательностей
Способы задания последовательностей
Ограниченность числовых последовательностей
Возрастание и убывание числовых
последовательностей
Предел числовой последовательности
Гармонический ряд
Свойства пределов
Примеры
3

4. Понятие числовой последовательности

Рассмотрим ряд натуральных чисел N:
1, 2, 3, …, n – 1, n, п + 1, …
Функцию y = f(x), x N называют функцией натурального
аргумента или числовой последовательностью и обозначают
y = f(n) или y1, y2, …, yn, … или {уn}.
Величина уn называется общим членом последовательности.
Обычно числовая последовательность задаётся некоторой
формулой уn = f(n), позволяющей найти любой член
последовательности по его номеру n;
эта формула называется формулой общего члена.
4

5. Примеры числовых последовательностей

Примеры числовых
последовательностей
1, 2, 3, 4, 5, … – ряд натуральных чисел;
2, 4, 6, 8, 10, … – ряд чётных чисел;
1, 4, 9, 16, 25, … – ряд квадратов натуральных чисел;
5, 10, 15, 20, … – ряд натуральных чисел, кратных 5;
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... – ряд вида 1/n, где n N;
и т.д.
5

6. Способы задания последовательностей

1. Перечислением членов последовательности (словесно).
2. Заданием аналитической формулы.
3. Заданием рекуррентной формулы.
Примеры:
1. Последовательность простых чисел:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; …
2. Арифметическая прогрессия:
an = a1 + (n – 1)d
3. Геометрическая прогрессия:
bn + 1 = bn ∙ q
6

7. Ограниченность числовой последовательности

Последовательность {уn} называют ограниченной
сверху, если все ее члены не больше некоторого числа.
Последовательность {уn} ограниченна сверху, если
существует число M такое, что для любого п
выполняется неравенство
уп ≤ М
Число
М
называют
верхней
границей
последовательности.
Пример: -1, -4, -9, -16, …, -п2, … - ограничена сверху 0.
7

8. Ограниченность числовой последовательности

Последовательность {уn} называют ограниченной снизу, если
все ее члены не меньше некоторого числа.
Последовательность
{уn}
ограниченна
снизу,
если
существует число m такое, что для любого п
выполняется неравенство
уп ≥ m
Число m называют нижней границей последовательности.
Пример: 1, 4, 9, 16, …, п2, … - ограничена снизу 1.
Если последовательность ограничена и сверху и снизу,
то ее называют ограниченной последовательностью.
8

9. Возрастание и убывание числовой последовательности

Последовательность {уn} называют возрастающей
последовательностью, если каждый ее член больше
предыдущего:
у1 < y2 < y3 < y4 < … < yn < yn+1 < …
Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 2п – 1, … - возрастающая
последовательность.
Последовательность {уn} называют убывающей
последовательностью, если каждый ее член
меньше предыдущего:
у1 > y2 > y3 > y4 > … > yn > yn+1 > …
Пример: 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/(2п – 1), … - убывающая
последовательность.
Возрастающие и убывающие последовательности
называют монотонными
9

10.

Пусть а – точка прямой, а r –
положительное число. Интервал
(а-r, а+r) называют окрестностью точки а,
а число r – радиусом окрестности.
10

11. Укажите окрестность точки а радиуса r в виде интервала, если:

а) а = 0
r = 0,1
(-0,1, 0,1)
в) а = 2
r=1
(1, 3)
b) a = -3
r = 0,5
г) а = 0,2
r = 0,3
(-3,5, -2,5)
(-0,1, 0,5)

12. Окрестностью какой точки и какого радиуса является интервал

а = 0
а) (1; 3)
б) (-0,2; 0,2)
r = 0,2
а=2
r=1
в) (2,1; 2,3)
а = -6
r=1
г) (-7; -5)
а = 2,2
r = 0,1

13. Предел числовой последовательности

Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой
приближается к некоторому числу a при увеличении
порядкового номера n.
В этом случае говорят, что числовая последовательность
имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.
Число а называется пределом числовой последовательности {yn}
если для любого r > 0 найдется такое число N = N(r, зависящее
от r, что │yn – a│< r при n > N
lim yn a
n
13

14. Предел числовой последовательности

Это определение означает, что a есть предел числовой
последовательности, если её общий член неограниченно
приближается к a при возрастании n. Геометрически это
значит, что для любого r > 0 можно найти такое число
N, что начиная с n > N все члены последовательности
расположены внутри интервала (a – r, a + r).
Последовательность, имеющая предел, называется
сходящейся; в противном случае – расходящейся.
14

15. Рассмотрим последовательность:

1;
1 1 1 1
1
; ; ; ; ...; ; ... – гармонический ряд
2 3 4 5
n
Если m N, k R, то lim
k
n n
m
1
0
n n
lim
0
n
lim
q
0
Если │q│< 1, то
n
Если │q│> 1, то последовательность уn = q
n
расходится
15

16. Свойства пределов

Если
lim хn b,
n
lim yn с,
n
то
1. предел суммы равен сумме пределов:
lim хn уn b c
n
2. предел произведения равен произведению пределов:
lim хn уn bc
n
3. предел частного равен частному пределов:
хn
lim
n у n
b
с
4. постоянный множитель можно вынести за знак предела:
lim kхn kb
n
16

17. Примеры:

1) lim
1
n n 2
1
1
1 1
lim lim lim 0 0 0
n n n
n n n n
2
5
2 5
2) lim 2 3 lim lim 2 lim 3 0 0 3 3
n n
n
n
n n n n
1
1
1
1 1
lim
...
lim
...
lim
0 ... 0 0
k
n n
n n n
n n n n n
3) lim
1
2n 2
3
3
2
2
2
2
2n 2 3
n
n
n
lim
4) lim 2
lim
4
n n 4
n n 2
n
4
1
2 2
2
n
n
n
3
lim 2 lim 2
n
n n
2 0
2
4 1 0
lim 1 lim 2
n
n n
lim 2 3
2
n
n
4
lim 1 2
n
n
17