Численное решение двумерного уравнения Пуассона (работа 6)

1.

Введение в технологии суперкомпьютерных
вычислений
Работа 6. Численное решение двумерного уравнения Пуассона
Цель работы - разработать программу, параллелизующую средствами
OpenMP алгоритм численного решения дифференциальных уравнений в
частных производных.
Задание к работе:
Разработать программу, параллелизующую средствами OpenMP алгоритм
численного решения двумерного уравнения Пуассона. Исследовать
эффективность параллелизации.

2.

Уравнение Пуассона
Рассмотрим OpenMP-параллелизацию численного решения дифференциальных
уравнений в частных производных на примере двумерного уравнения Пуассона
следующего вида:
Применим упрощенную постановку задачи Дирихле: вычисления будем
выполнять для области в форме прямоугольника с нулевыми граничными
условиями (ξ - координата по оси x, η - координата по оси y, χ - отношение
ширины прямоугольного сечения к высоте).
Используем ортогональную равномерную расчетную сетку, включающую NxN
узлов.

3.

Задача об установившемся течении
Формулировка линейной задачи в такой постановке дает, в частности, решение
задачи об установившемся ламинарном движении вязкой несжимаемой
жидкости сквозь трубу квадратного сечения.
Искомая функция w представляет собой распределение продольной скорости по
сечению трубы.
Данная задача имеет аналитическое решение в виде разложения в бесконечные
ряды, которое можно использовать для верификации программы (в
безразмерной форме):

4.

5.

6.

7.

8.

Численная дискретизация
Пространственную дискретизацию уравнения Пуассона проведем по методу
конечных разностей со вторым порядком точности
В результате дискретизации может быть явным образом записана СЛАУ с
ленточной (пятидиагональной) матрицей размерности, после чего вызвана
процедура решения СЛАУ тем или иным из известных методов.
В данном случае для наглядности и экономии памяти не станем переходить к
матричной формулировке задачи.

9.

Метод Якоби
Метод Зейделя

10.

Ход выполнения работы
1. Выбрать индивидуальное значение параметра χ (отношение ширины
прямоугольного сечения к высоте).
2. Найти решение рассматриваемого уравнения Пуассона в виде ряда в
фиксированном наборе точек (написав программу или используя возможности
математических пакетов), изучив влияние на результаты точности вычисления ряда и
выбрав подходящее значение.
3. Разработать и отладить последовательную версию программы, выполняющую
численное решение уравнения Пуассона по методу Зейделя. Сопоставить решение с
результатами вычисления ряда в нескольких точках сечения.
4. Выполнить параллелизацию программы с использованием OpenMP.
5. Проверить правильность выполнения параллелизации, сопоставив результаты с
полученными в последовательной версии программы.
6. Визуализировать результаты, построив на основании значений скорости в
заданном числе точек прямоугольного сечения 3D-поверхность.
7. Провести исследование эффективности распараллеливания программы (задавая
при запуске разное число нитей, в диапазоне от 1 до 8). Результаты представить в
графическом виде, в форме зависимости ускорения программы от числа нитей.
8. Модифицировать код программы, реализуя проверку условия сходимости после
выполнения заданного количества шагов (подобрать оптимальное значение шага для
фиксированного числа нитей например двух).

11.

Структура отчета по лабораторной работе
По результатам выполнения лабораторной работы необходимо подготовить
развернутый отчет, который должен включать следующие разделы:
1. название лабораторной работы и текст задания к ней
2. информация о количестве ядер, объеме оперативной памяти
использованного в работе компьютера и использованном для разработки и
компиляции кодов программном обеспечении
3. формулировка параллельного алгоритма
4. исходный код разработанной программы с содержательными
комментариями к реализующим параллельные алгоритмы фрагментам
программ и использованным OpenMP-инструкциям
5. результаты верификации программы
6. показатели эффективности распараллеливания программы при задании
разного числа нитей
7. общие выводы по лабораторной работе

12.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ
АЛГОРИТМ
int main() {
ofstream out20("output_temp1.plt");
ofstream out21("output_temp2.plt");
ofstream out22("output_temp3.plt");
int NUM_THREADS = 1;
omp_set_num_threads(NUM_THREADS);
double ta = omp_get_wtime();
double umax, temp, h, p, eps;
int N = 100;
h = 2. / N;
eps = 1e-8;
double** a = new double* [N];
double** f = new double* [N];
for (int i = 0; i < N; i++)
a[i] = new double[N];
for (int i = 0; i < N; i++)
for (int j = 0; j < N; j++)
a[i][j] = 0.;
int i, j;
int m = 0;
do {
umax = 0;
for (i = 1; i < N-1 ; i++) {
for (j = 1; j < N-1 ; j++) {
temp = a[i][j];
a[i][j] = 0.25 * (a[i - 1][j] + a[i + 1][j] + a[i][j - 1] + a[i][j + 1] + 1*1*h * h);
p = fabs(temp - a[i][j]);
if (umax < p) umax = p;
}
}
m++;
} while (umax > eps);
ta = omp_get_wtime() - ta;
printf("\n\t Time for serial execution: %0.30f\n\n", ta);

13.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ
АЛГОРИТМ
cout << "umax =" << umax << endl;
cout << "a[0][0] =" << a[N/2][N/2] << endl;
cout << "a[0][0]_exact =" << func(0,0,h) << endl;
cout <<"m =" << m << endl;
out20 << "Variables=x, y, T" << std::endl;
out20 << "zone T= ""Color"", I= " << N << " J= " << N << endl;
for (int i = 0; i < N ; i++) {
for (int j = 0; j < N; j++) {
out20 << i << " " << j << " " << a[i][j] << std::endl;
}
}
out21 << "Variables=x, y, T" << std::endl;
out21 << "zone T= ""Color"", I= " << N << " J= " << N << endl;
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = 0; j < N; j++) {
out21 << i << " " << j << " " << func(i-N*0.5, j-N*0.5, h) << std::endl;
}
}
out22 << "Variables=x, y, dT" << std::endl;
out22 << "zone T= ""Color"", I= " << N << " J= " << N << endl;
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = 0; j < N; j++) {
out22 << i << " " << j << " " << fabs(a[i][j]-func(i - N * 0.5, j - N * 0.5, h))/ func(i - N * 0.5, j - N * 0.5, h) << std::endl;
}
}
system("pause");
return 0;
}

14.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ
АЛГОРИТМ
double func(int i, int j, double h)
{
double x, y, c, summ,pi;
x = (i+0.00001) * 1.*h;
y = (j + 0.00001) * 1.*h;
c = 1.;
pi = 3.1415;
int k;
summ = 0;
for (k = 0; k <= 100; k++) {
summ += pow(-1, k) * (1.-cosh(0.5 * (2. * k + 1.) * pi * y / c)/ cosh(0.5 * (2. * k + 1.) * pi
/c))*cos(0.5*(2.*k+1.)*pi*x/c) / pow((2. * k + 1.), 3.);
}
return summ* 16. * c * c / (pi * pi * pi);
}

15.

Параллельный алгоритм
int i, j;
int m = 0;
do {
umax = 0;
#pragma omp parallel for private(i,j, temp, p) shared(a, N, umax)
for (i = 1; i < N-1 ; i++) {
for (j = 1; j < N-1 ; j++) {
temp = a[i][j];
a[i][j] = 0.25 * (a[i - 1][j] + a[i + 1][j] + a[i][j - 1] + a[i][j + 1] + 1*1*h * h);
p = fabs(temp - a[i][j]);
if (umax < p) umax = p;
}
}
m++;
} while (umax > eps);
ta = omp_get_wtime() - ta;
printf("\n\t Time for parallel execution: %0.30f\n\n", ta);

16.

Тестовая задача (Scilab)
i=0:1:10
for x=0,y=0
A=(-1) ^i
B=1./(2*i+1)^3.
C=(1-cosh(0.5*(2*i+1)*3.14*y)./ cosh(0.5*(2*i+1)*3.14))
D= cos(0.5*(2*i+1)*3.14*x)
E=16/(3.14*3.14*3.14)
F=A.* B.* C.*D.*E
printf('x=%0.1f; y=%0.1f; Q=%f;\n',x,y,sum(F))
end

17.

y =
Тестовая задача (Scilab)
0.
A =
1. -1. 1. -1. 1. -1. 1. -1. 1. -1. 1.
B =
column 1 to 9
1. 0.037037 0.008 0.0029155 0.0013717 0.0007513 0.0004552 0.0002963 0.0002035
Для n = 10
column 10 to 11
0.0001458 0.000108
x=0.0; y=0.0; Q=0.295008;
C =
0.601172 0.9819919 0.9992205 0.9999663 0.9999985 0.9999999 1. 1. 1. 1. 1.
D =
Для n = 50
x=0.0; y=0.0; Q=0.294985;
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
Для n = 100
E =
0.5168102
x=0.0; y=0.0; Q=0.294984;
F =
column 1 to 8
0.3106918 -0.0187964 0.0041313 -0.0015067 0.0007089 -0.0003883 0.0002352 -0.0001531
column 9 to 11
0.0001052 -0.0000753 0.0000558
x=0.0; y=0.0; Q=0.295008;

18.

Результат работы программы для тестовой задачи
Intel(R) Core(TM) i7-10750H CPU @ 2.60GHz , RAM 16 GB , 6 cores
x=0.0; y=0.0
Q=0.294984;
2%

19.

Результат работы программы для тестовой задачи
Intel(R) Core(TM) i7-10750H CPU @ 2.60GHz , RAM 16 GB , 6 cores
x=0.0; y=0.0
Q=0.294984;
1%

20.

Визуализация результатов (Tecplot360)
Числ.решение
Расчетная сетка
100*100
Точное решение

21.

Визуализация результатов (Tecplot360)
3D поверхность
Отн.разница

22.

Результат работы последовательной и параллельной программы
от сетки

23.

Результат работы параллельной программы от сетки
Ускорение и эффективность

24.

Результат работы последовательной и параллельной программы
от числа нитей
n = 200

25.

Результат работы параллельной программы от числа нитей
Ускорение и эффективность
n = 200

26.

Ускорение за счет оптимизации
NT=1
T, c
(NT=1) + O(1) (NT=1) + O(2)
19.462
7.281
7.0617
1
2.67
2.76
a(T1/T)
NT=8
(NT=8) + O(1) (NT=8) + O(2)
T, c
4.304
2.125
1.5456
a(T1/T)
4.52
9.2
12.6