Сфера и шар

1. Сфера и шар

2.

Сферой называется
поверхность,
которая
состоит из всех точек
пространства,
находящихся на заданном
расстоянии от данной
точки.
Эта точка называется
центром,
а
заданное
расстояние – радиусом
сферы, или шара – тела,
ограниченного сферой.
Шар состоит из всех
точек
пространства,
находящихся
на
расстоянии
не
более
заданного
от
данной
точки.

3.

ОА – радиус
ВС – диаметр
В и С – диаметрально
противоположные
точки
Отрезок, соединяющий
центр шара с точкой на его
поверхности,
называется
радиусом шара.
Отрезок, соединяющий две
точки на поверхности шара и
проходящий через центр,
называется диаметром шара,
а концы этого отрезка –
диаметрально
противоположными точками
шара.

4.

?
Чему равно
расстояние между
диаметрально
противоположными
точками шара, если
известна
удаленность точки,
лежащей на
поверхности шара от
центра?
18

5.

6.

Шар
можно
рассматривать как
тело, полученное
от
вращения
полукруга вокруг
диаметра как оси.

7.

?
Пусть известна
площадь
полукруга.
Найдите радиус
шара, который
получается
вращением этого
полукруга вокруг
диаметра.
4

8. Теорема. Любое сечение шара плоскостью есть круг. Перпендикуляр, опущенный из центра шара на секущую плоскость, попадает в

центр
этого круга.
Дано:
шар O, R
секущая плоскость
ОО1
Доказать:
сечение круг
О1 центр круга

9. Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник,
вершинами которого являются центр шара,
основание перпендикуляра, опущенного из
центра на плоскость, и произвольная точка
сечения.
ОА R OO d
1
AO OO1 AO1
2
2
R d AO
2
2
2
1
AO1 R d
2
AO1 const
2
2

10. Следствие. Если известны радиус шара и расстояние от центра шара до плоскости сечения, то радиус сечения вычисляется по теореме

Пифагора.
О1 К d R
2
2
2
O1 K R d r
2
2
r радиус сечения

11.

?
Пусть известны
диаметр шара и
расстояние от центра
шара до секущей
плоскости. Найдите
радиус круга,
получившегося
сечения.
10

12. Чем меньше расстояние от центра шара до плоскости, тем больше радиус сечения.

r R d
2
2
d1 OO1
d 2 OO2
r1 r2
d1 d 2

13.

?
В шаре радиуса пять
проведен диаметр и два
сечения,
перпендикулярных
этому диаметру. Одно
из сечений находится на
расстоянии три от
центра шара, а второе –
на таком же расстоянии
от ближайшего конца
диаметра. Отметьте то
сечение, радиус
которого больше.

14.

Наибольший радиус
сечения получается,
когда плоскость
проходит через центр
шара. Круг,
получаемый в этом
случае, называется
большим кругом.
Большой круг делит
шар на два полушара.

15.

?
В шаре, радиус
которого известен,
проведены два
больших круга.
Какова длина их
общего отрезка?
12

16. Плоскость и прямая, касательные к сфере.

Плоскость, имеющая со
сферой только одну
общую точку,
называется
касательной
плоскостью.
Касательная плоскость
перпендикулярна
радиусу, проведенному
в точку касания.

17.

?
Пусть
шар,
радиус
которого известен, лежит
на
горизонтальной
плоскости.
В
этой
плоскости через точку
касания и точку В
проведен отрезок, длина
которого известна. Чему
равно
расстояние
от
центра
шара
до
противоположного конца
отрезка?
6

18.

Прямая называется
касательной, если она
имеет со сферой
ровно одну общую
точку. Такая прямая
перпендикулярна
радиусу,
проведенному в
точку касания. Через
любую точку сферы
можно провести
бесчисленное
множество
касательных прямых.

19.

?
Дан шар, радиус
которого известен. Вне
шара взята точка, и
через нее проведена
касательная к шару.
Длина отрезка
касательной от точки
вне шара до точки
касания также известна.
На каком расстоянии от
центра шара
расположена внешняя
точка?
4

20.

Стороны треугольника 13см,
14см и 15см. Найти расстояние
от плоскости треугольника до
центра шара, касающегося
сторон треугольника. Радиус
шара равен 5 см.
Дано:
Задача.
АВ 15см
АС 14см
ВС 13см
Найти: d O, АВC

21.

Решение:
Сечение сферы, проходящее через точки
касания, - это вписанная в треугольник АВС
окружность.

22.

Решение:
Вычислим радиус окружности, вписанной в
треугольник.
S p p a p b p c
14 15 13
p
21
2
S 84
S r p
S 84
r 4
p 21

23.

Решение:
Зная радиус сечения и радиус шара, найдем
искомое расстояние.
Из ОО1 К :
R r d
2
2
2
d R r 3
2
2
d O, ABC 3см

24.

?
Через точку на
сфере, радиус
которой задан,
проведен большой
круг и сечение,
пересекающее
плоскость
большого круга под
углом шестьдесят
градусов. Найдите
площадь сечения.
π

25. Взаимное расположение двух шаров.

Если два шара или
сферы имеют только
одну общую точку, то
говорят, что они
касаются. Их общая
касательная плоскость
перпендикулярна
линии центров
(прямой, соединяющей
центры обоих шаров).

26.

Касание шаров
может быть
внутренним и
внешним.

27.

?
Расстояние между
центрами двух
касающихся шаров
равно пяти, а
радиус одного из
шаров равен трем.
Найдите те
значения, которые
может принимать
радиус второго
шара.
8
2

28.

Две сферы
пересекаются по
окружности.
Линия центров
перпендикулярна
плоскости этой
окружности и
проходит через ее
центр.

29.

?
Две сферы одного
радиуса, равного пяти,
пересекаются, а их
центры находятся на
расстоянии восьми.
Найдите радиус
окружности, по
которой сферы
пересекаются. Для
этого необходимо
рассмотреть сечение,
проходящее через
центры сфер.
3

30. Вписанная и описанная сферы.

Сфера (шар)
называется
описанной около
многогранника,
если все вершины
многогранника
лежат на сфере.

31.

?
Какой
четырехугольник
может лежать в
основании
пирамиды,
вписанной в сферу?

32.

Сфера называется
вписанной в
многогранник, в
частности, в
пирамиду, если
она касается всех
граней этого
многогранника
(пирамиды).

33. Сечения шара

Сечение шара, проходящее через его центр.
В сечении – круг.
В этом случае в сечении получается круг
наибольшего радиуса, его называют большой
круг шара.
Сечение плоскостью, не проходящей через
центр.
В сечении – круг.
Теорема: Площадь поверхности шара равна четыре
площади большого круга шара.
S = 4 R2

34. Уравнение сферы

35.

Взаимное расположение сферы и плоскости
d – расстояние от центра сферы до плоскости,
R – радиус сферы
z
r – радиус сечения сферы
R
d
y
r
x
Вычислить радиус сечения
можно используя теорему
Пифагора.
r R d
2
2
d<R
Плоскость пересекает сферу и называется секущей

36.

Взаимное расположение сферы и плоскости
d – расстояние от центра сферы до плоскости,
R – радиус сферы
z
Теорема: Радиус сферы проведенный
в точку касания сферы и плоскости,
перпендикулярен
к
касательной
плоскости.
R
y
x
R d 0
2
2
d=R
Плоскость имеет одну общую точку со сферой и называется
касательной

37.

Взаимное расположение сферы и плоскости
d – расстояние от центра сферы до плоскости,
R – радиус сферы
z
d>R
Плоскость не имеет общих точек со
сферой.
y
x
R d 0
2
2

38. Задача 1.

39. Задача 2.

40. Задача 3.

41. Задача 4.

42. Задача 5.

43. Задача 6.

Вычислить площадь поверхности шара изображенного на рисунке.
S =4 R2
С
6
30
А
О
R = ОА,
Найдем ОА из АСО.
CA
CA
cos A
OA
OA
cos A
6
3
OA
6:
4 3
2
cos 30
S 4 (4 3 ) 2 192
Ответ: S = 192 ед2

44.

Задача 7.
Наибольшая высота орбиты корабля «Восток-2», на котором летал
космонавт Г.С. Титов, равна 244 км. Найдите угол, под которым
космонавт видел Землю в момент наибольшего удаления от нее (радиус
Земли примерно равен 6371 км).
О - центр Земли, А – точка орбиты в которой
находится корабль, В и С – точки касания.
ВАС - искомый угол.
Углы В и С прямые, теорема о радиусе проведенном
в точку касания.
АВО = АСО, т.к. АО общая, АВ= АС как
отрезки касательных ВАО = САО.
ОА = 6371 + 244 = 6615 км, ОВ = 6371 км
В
А
О R С
з
BO 6371
sin BAO
0,9631
AO 6615
ВАО = 74 23`,
значит ВАС = 148 46`≈149 .
Ответ: Космонавт видит Землю под углом ≈149

45.

Задача 8.
Северный полюс
С
А
полярный круг
О
экватор
66
Найдите длину полярного круга Земли
(радиус Земли принять за 6400 км)
1)Из справочник имеем длину дуги от
экватора до полярного круга 66 .
Этой же мере соответствует
центральный угол АОВ = 66
2)Дуга от Северного полюса до экватора
равна 90 . Значит,
В
СОВ = 90 .
Тогда, СОА = 90 - 66 = 24 .
3)Используя синус угла СОА в прямоугольном
АСО найдем СА:
CA= AO· sin( COA)= 6400 · sin 24 = 6400 · 0,4067= 2602,88 (км)
4) СА есть радиус окружности полярного круга, найдем
длину этой окружности:
2 ·CA =2· 3,14· 2602,88 = 16 346, 0864 км
Ответ: длина полярного круга ≈ 16 тыс. км