Основные понятия комбинаторики (тема 5.1)

1.

Тема 5.1: «Основные понятия комбинаторики»
(2 часа)
Цель: Формирование представлений о процессах
и явлениях, имеющих комбинаторный характер
в реальном мире, применение основных понятий
элементарной комбинаторики, оценивание
умений находить комбинационные варианты в
простейших практических ситуациях
Задачи :
- Ознакомиться с Основными понятиями комбинаторики.
- Ответить на вопросы в письменном виде.
- Выполнить Практическую работу №44.
- Сформировать фото отчёт и отправить преподавателю.

2.

Вопрос 1. Что называется
комбинаторикой?
Комбинаторика – это раздел математики,
посвященный решению задач на перебор
различных вариантов, удовлетворяющих
каким-либо условиям.
В нём изучаются вопросы о том, сколько
различных комбинаций, подчиненных тем
или иным условиям, можно составить из
заданных объектов.
Латинское слово combinare
«соединять, сочетать».
означает

3.

Вопрос 2. Сформулировать
правило суммы?
Правило суммы (союз «ИЛИ»):
Если объект А можно выбрать m способами, а объект В
можно выбрать k способами, то выбор «Либо А, Либо В»,
можно осуществить m + k способами.
Задача 1. Если в группе 12 юношей и 14 девушек, то выбор обучающегося из этой
группы можно осуществить 12+14=26 способами.
Замечание: Если есть повторения, то правило суммы будет выглядеть так:
m+k-z, где z-количество повторений!
Задача 2. В группе 12 обучающихся занимаются волейболом, 20 человек
увлекается баскетболом. Шесть человек занимается и волейболом, и баскетболом.
Сколько обучающихся в группе?
N = 12+20-6=26 обучающихся

4.

Вопрос 3. Сформулировать
правило умножения?
Правило умножения (союз «И»):
Если объект А можно выбрать m
способами, а объект В можно выбрать k
способами, то выбор пары (А, В) можно
осуществить m · k способами.
Например:
1.
Мастер должен обшить 12 стульев обшивкой красного, коричневого
и зеленого цвета. Сколькими способами он может это сделать?
Решение:
m=12 ; k=3, то n=mk=12*3= 36 способов
2. На первой полке стоит 5 книг, а на второй 10. Сколькими способами можно
выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй?
Ответ: 5 ∙ 10 = 50

5.

Вопрос 4. Что такое «эн-факториал»?
«Эн-факториал – последовательное произведение n
первых натуральных чисел.
Обозначение: n!=1*2*3*…*(n-2)*(n-1)*n,
! – знак факториала
Например:
4!=1*2*3*4=2!*3*4=3!*4=24
3!=1*2*3=2!*3=6
2!=1*2=2;
1!=1
0!=1

6.

Вопрос 5. Что называется
Перестановками?
Перестановками называется количество всевозможных
вариантов подсчёта из n различных элементов.
Обозначение: Р=n!=1*2*3*…*(n-2)*(n-1)*n,
Например:
1) На полке стояло пять различных книг. Сколько
существует способов их переставить?
Решение:
5!=1*2*3*4*5=120(способов)

7.

Вопрос 6. Что называется
Размещением?
Размещением называется подсчёт вариантов из
элементов по m элементов, если порядок очень важен.
Обозначение:
Аnm
n
n!
n m !
n – количество всех элементов, m – количество элементов выбираемых в группу.
Задача: В группе из 30 человек надо выбрать сначала
старосту, затем завуча и потом - физорга. Сколькими
способами это можно сделать?
Решение:
n!
30!
( n m )! (30 3)!
27! 28 29 30
28 29 30 24360( способов )
27!
3
А30

8.

Вопрос 7. Что называется
Сочетанием?
Сочетанием называется подсчёт вариантов из n элементов
по m элементов, если порядок неважен.
Обозначение:
Сnm
n!
m! n m !
n – количество всех элементов, m – количество элементов выбираемых в группу.
Задача: В группе из 30 человек надо выбрать старосту,
завуча и физорга. Сколькими способами это можно
сделать?
Решение:
n!
30!
m! ( n m )! 3! (30 3)!
27! 28 29 30 28 29 5
4060( способов )
1 2 3 27!
1
3
С30