Геометрические построения. Глава 3

1.

ПРЕЗЕНТАЦИЯ
КУРСА ЛЕКЦИЙ
ПО ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКЕ
Преподаватель ИГ
Шатохин А.А.

2.

ГЛАВА 3
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПОСТРОЕНИЯ

3. 3.1 ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА

ПРЯМОЙ НА РАВНЫЕ ЧАСТИ

4.

Чтобы разделить отрезок пополам, например
отрезок АВ (рис.45), нужно из концов отрезка АВ
циркулем провести две дуги окружности радиусом
R, несколько большим половины данного отрезка,
до взаимного пересечения (рис.45). Полученные
точки D и С соединяют прямой, которая делит
отрезок АВ пополам в точке К. Прямая CD
перпендикулярна отрезку АВ и проходит через его
середину. Аналогичным образом можно разделить
данный отрезок на четыре равные части.

5.

Рисунок
45
Ш. А.А.

6.

Если отрезок, например отрезок АВ (рис.46),
необходимо разделить на несколько равных
частей, то из любого конца заданного отрезка под
произвольным
острым
углом
проводят
вспомогательную прямую ВС. От вершины
образовавшегося угла (в данном случае от точки
В) на вспомогательной прямой откладывают
столько одинаковых отрезков произвольной
длины, на сколько частей нужно разделить данный
отрезок. Конец последнего отрезка прямой линией
соединяют с точкой А и параллельно этой линии
через все деления проводят прямые до
пересечения с прямой АВ, деля ее тем самым на
заданное число равных отрезков.

7.

5
4
Ш. А.А.
Рисунок
46
3
2
1

8. 3.2 ПОСТРОЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ УГЛОВ

9.

Построение угла равного данному, выполняется с
помощью циркуля (рис.47). Из вершины А
заданного угла ВАС произвольным радиусом R
проводят дугу до пересечения со сторонами угла
в точках В и С. В том месте чертежа, где нужно
построить угол, равный данному, проводят
прямую
линию
(в
данном
случае
горизонтальную). На ней задают точку А1
(вершину угла). Из точки А1 радиусом R, равным
АВ или АС проводят дугу до пересечения с
прямой, получают точку С1. Из точки С1
радиусом R1 равным отрезку ВС, делают засечку
на дуге, тем самым находят точку В1. Соединив
точки А1 и В1 получают угол В1А1С1, равный
данному.

10.

Ш. А.А.
Рисунок
47

11.

Деление угла пополам выполняется циркулем
(рис.48). из вершины угла произвольным радиусом
проводят дугу до пересечения со сторонами угла,
получая точки В и С. Затем из точек В и С
проводят две дуги радиусом больше половины
расстояния ВС до их пересечения в точке Д.
соединив точки А и Д прямой, получают
биссектрису угла, которая делит угол пополам.
Деление
угла
на
четыре
равные
части
осуществляется путем последовательного деления
полученных
углов
ВАД
и
ДАС
пополам
вышеописанным способом.

12.

48
Ш.Рисунок
А.А.

13.

Деление прямого угла на три равные части
выполняется циркулем (рис. 49). При делении
угла циркулем из вершины А произвольным
радиусом проводят дугу до пересечения со
сторонами угла в точках В и С. Затем тем же
радиусом из точек В и С делают на дуге
засечки, получают точки D и Е, которые
соединяют с точкой А. Прямые АD и АЕ делят
прямой угол на три равные части.

14.

Ш. А.А.
Рисунок
49

15. 3.3 ДЕЛЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ НА РАВНЫЕ ЧАСТИ И ПОСТРОЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ВПИСАННЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

16.

Деление окружности на четыре равные части и
построение
правильного
вписанного
четырехугольника
(рис.50).
Две
взаимно
перпендикулярные
центровые
линии
делят
окружность на четыре равные части. Соединив
точки пересечения этих линий с окружностью
прямыми, получают правильный вписанный
четырехугольник.

17.

Рисунок
50
Ш.
А.А.

18.

Деление окружности на восемь равных частей и
построение
правильного
вписанного
восьмиугольника (рис.51). Деление окружности на
восемь равных частей производится с помощью
циркуля следующим образом. Из точек 1 и 3
(точки
пересечения
центровых
линий
с
окружностью)
произвольным радиусом R
проводят дуги до взаимного пересечения, тем же
радиусом из точки 5 делают засечку на дуге
проведенной из точки 3. Через точки пересечения
засечек и центр окружности проводят прямые
линии до пересечения с окружностью в точках 2,
4, 6, 8.
Если полученные восемь точек соединить
последовательно прямыми линиями, то получится
правильный вписанный восьмиугольник.

19.

Ш. А.А.
Рисунок
51

20.

Деление окружности на три равные части и
построение правильного вписанного треугольника
(рис.52, а). При делении окружности циркулем на
три равные части из любой точки окружности,
например точки А пересечения центровых линий с
окружностью, проводят дугу радиусом R, равным
радиусу окружности, получают точки 2 и 3. Третья
точка деления (точка 1) будет находится на
противоположном конце диаметра, проходящего
через точку А. последовательно соединив точки 1,
2 и 3, получают правильный вписанный
треугольник.

21.

Ш. А.А.
Рисунок
52, а

22.

При
построении
правильного
вписанного
треугольника, если задана одна из его вершин,
например точка 1, находят точку А. Для этого
через заданную точку проводят диаметр (рис.52,
б). Точка А будет находится на противоположном
конце этого диаметра. Затем проводят дугу
радиусом R, равным радиусу данной окружности,
получают точки 2 и 3.

23.

Ш. А.А.
Рисунок
52, б

24.

Деление окружности на шесть равных частей и
построение
правильного
вписанного
шестиугольника
(рис.53).
При
делении
окружности на шесть равных частей с помощью
циркуля из двух концов одного диаметра
радиусом, равным радиусу данной окружности,
проводят дуги до пересечения с окружностью в
точках 2, 6 и 3, 5. Последовательно соединив
полученные
точки,
получают
правильный
вписанный шестиугольник.

25.

Ш. А.А.
Рисунок
53

26.

Деление окружности на двенадцать равных частей
и
построение
правильного
вписанного
двенадцатиугольника (рис.54). При делении
окружности циркулем из четырех концов двух
взаимно перпендикулярных диаметров окружности
проводят радиусом, равным радиусу данной
окружности, дуги до пересечения с окружностью
(рис.54). Соединив последовательно полученные
точки
пересечения
получают
правильный
вписанный двенадцатиугольник.

27.

Ш. А.А.
Рисунок
54

28.

Деление окружности на пять равных частей и
построение
правильного
вписанного
пятиугольника
(рис.55).
При
делении
окружности
циркулем
половину
любого
диаметра (радиуса) делят пополам, получают
точку А. Из точки А, как из центра, проводят
дугу радиусом, равным расстоянию от точки А
до точки 1, до пересечения со второй половиной
этого диаметра в точке В. Отрезок 1В равен
хорде стягивающей дугу, длина которой равна
1/5 длины окружности. Делая засечки на
окружности радиусом R, равным отрезку 1В,
делят окружность на пять равных частей.
Начальную точку А выбирают в зависимости от
расположения пятиугольника.

29.

Из точки 1 строят точки 2 и 5, затем из точки 2
строят точку 3, а из точки 5 строят точку 4.
Расстояние от точки 3 до точки 4 проверяют
циркулем; если расстояние между точками 3 и 4
равно отрезку 1В, то построения были выполнены
точно.
Нельзя
выполнять
засечки
последовательно, в одну сторону, так как
происходит накопление погрешностей измерения и
последняя сторона пятиугольника получается
перекошенной.
Последовательно
соединив
найденные
точки,
получают
правильный
вписанный пятиугольник.

30.

Ш. А.А.
Рисунок
55

31.

Деление окружности на десять равных частей и
построение
правильного
вписанного
десятиугольника (рис.56). Деление окружности на
десять равных частей выполняют аналогично
делению окружности на пять равных частей (рис.
55), но сначала делят окружность на пять равных
частей, начиная построения из точки 1, а затем
из точки 6, находящейся на противоположном
конце диаметра. Соединив последовательно все
точки,
получают
правильный
вписанный
десятиугольник.

32.

Рисунок 56

33.

Деление окружности на семь равных частей и
построение правильного вписанного семиугольника
(рис.57).
Из любой точки окружности, например точки А,
радиусом заданной окружности проводят дугу до
пересечения с окружностью в точках B и D прямой.
Половина полученного отрезка (в данном случае
отрезок ВС) будет равен хорде, которая стягивает
дугу, составляющую 1/7 длины окружности.
Радиусом, равным отрезку ВС, делают засечки на
окружности в последовательности, показанной при
построении правильного пятиугольника. Соединив
последовательно все точки, получают правильный
вписанный семиугольник.

34.

R1=Rо
1
R=ВС
кр.
2
7
3
6
5
4
Рисунок 57

35.

Деление окружности на четырнадцать равных
частей и построение правильного вписанного
четырнадцатиугольника
(рис.58).
Деление
окружности на четырнадцать равных частей
выполняют аналогично делению окружности на
семь равных частей (рис. 57), но сначала делят
окружность на семь равных частей, начиная
построения из точки 1, а затем из точки 8,
находящейся на противоположном конце диаметра.
Соединив последовательно все точки, получают
правильный вписанный четырнадцатиугольник.

36.

Рисунок 58

37.

3.4 ПОСТРОЕНИЕ СОПРЯЖЕНИЙ

38.

Касание есть плавный переход одной линии в
другую. Сопряжение есть плавный переход одной
линии в другую, выполненный при помощи
промежуточной линии.
Чаще всего промежуточной линией служит дуга
окружности.
Построение сопряжений основано на следующих
геометрических положениях:
а) переход окружности на прямую только тогда
будет плавным, когда данная прямая является
касательной к окружности (рис.59). Радиус
окружности, проведенный в точку касания А,
перпендикулярен к касательной прямой t;

39.

Рисунок 59

40.

б)переход в данной точке А с одной окружности
на другую только тогда будет плавным, когда
окружности имеют в данной точке общую
касательную (рис.60, а и б). Точка касания А и
центры окружностей О1 и О2 лежат на одной
прямой. Касание называется внешним, если
центры О1 и О2 лежат по разные стороны от
касательной t (рис. 60,а) и внутренним, если
центры находятся по одну сторону об общей
касательной (рис.60,б).

41.

Рисунок 60,а

42.

Рисунок 60,б

43.

В теории сопряжений применяются специфические
термины, а именно (рис.61): точка ОС - центр
сопряжения; RС -радиус сопряжения; точки А и Вточки сопряжения; дуга АВ- дуга сопряжения.
О
Рисунок 61

44.

Алгоритм решения задач на построение сопряжений
двух линий при заданном радиусе сопряжения
1.
Построить
геометрическое
место
точек,
удаленных от на расстоянии радиуса сопряжения
от первой из сопрягаемых линий.
2.
Построить
геометрическое
место
точек,
удаленных от на расстоянии радиуса сопряжения
от второй из сопрягаемых линий.
3. На пересечении данных геометрических мест
определить центр сопряжения.
4. Определить точку сопряжения на первой из
сопрягаемых линий.
5. Определить точку сопряжения на второй из
сопрягаемых линий.
6.В границах между точками сопряжений провести
дугу сопряжения.

45.

3.4.1 СОПРЯЖЕНИЕ ДВУХ
ПРЯМЫХ ЛИНИЙ

46.

СОПРЯЖЕНИЕ СТОРОН ПРЯМОГО УГЛА
Из вершины О прямого угла ( рис.62) проводят
дугу окружности RC и получают точки сопряжения
А и В. Центр сопряжения находится на
пересечении дуг, проведенных из точек А и В, как
из центров, тем же радиусом RC. Из центра
сопряжения ОС проводят между точками А и В дугу
сопряжения.

47.

Рисунок 62

48.

СОПРЯЖЕНИЕ СТОРОН ОСТРОГО(ТУПОГО) УГЛА
Центр сопрягающей дуги должен быть удален от
каждой из прямых на величину равную радиусу RC.
Проводят две прямые l/1 и l/2 (рис.63, 64),
параллельные данным прямым l1 и l2 и удаленные
от них на расстояние RC. Пересечение этих прямых
- точка ОС – есть центр сопряжения. Опускают из
центра ОС перпендикуляры на стороны угла и
получают точки сопряжения А и В.

49.

RC=15
Рисунок 63

50.

RC=15
Рисунок 64

51.

НАРУЖНЕЕ И ВНУТРЕННЕЕ СОПРЯЖЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ
И ДУГИ ОКРУЖНОСТЕЙ
B
ОС
A
О
ОС
B
A

52.

НАРУЖНЕЕ СОПРЯЖЕНИЕ
ДУГ ОКРУЖНОСТЕЙ
Рисунок 65

53.

ВНУТРЕННЕЕ СОПРЯЖЕНИЕ ДУГ ОКРУЖНОСТЕЙ
Рисунок 66

54.

КОМБИНИРОВАННОЕ СОПРЯЖЕНИЕ ДУГ ОКРУЖНОСТЕЙ
Рисунок 67