2024

1.

СИСТЕМЫ
СЧИСЛЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ИНФОРМАТИКИ

2.

Ключевые слова
• система счисления
• цифра
• алфавит
• позиционная система счисления
• основание
• развёрнутая форма записи числа
• свёрнутая форма записи числа
• двоичная система счисления
• восьмеричная система счисления
• шестнадцатеричная система счисления

3. Представление информации

Информацию люди научились передавать друг другу
различными способами
•Слова
•Жесты
•Мимикой
•Рисунками
•Чертежами
•Музыкой
- это все языки общения являются естественными языками.

4. Как работает человек?

Наряду с естественными языками были разработаны формальные
языки - это язык алгебры, языки программирования, системы счисления.
Для записи о количестве существуют числа. Для того чтобы записывать
числа надо иметь какую либо систему счисления. А какие они бывают?
Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные
и непозиционные.
Системы счисления
Позиционные
Непозиционные
111, 555
III, VVV
Количественное значение
цифры зависит от
положения в числе
Количественное значение
цифры не зависит от
положения в числе

5.

Общие сведения
Система счисления - это знаковая система, в которой
приняты определённые правила записи чисел.
Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа.
Алфавит системы счисления - совокупность цифр.
Вавилонская система счисления
Египетская система счисления
Древнеславянская система счисления

6.

Узловые и алгоритмические числа
Узловые числа обозначаются цифрами.
Алгоритмические числа получаются в результате какихлибо операций из узловых чисел.
100 +
10 +
=

7.

Унарная система счисления
Простейшая и самая древняя система - унарная система
счисления. В ней для записи любых чисел используется всего
один символ - палочка, узелок, зарубка, камушек.
Узелки, дощечки
Примеры узлов «кипу»
Узелковое письмо «кипу»
Зарубки
Камушки

8.

Непозиционная система счисления
Система счисления называется непозиционной, если
количественный эквивалент (количественное значение)
цифры в числе не зависит от её положения в записи числа.
Римская система счисления
1
5
I
V
100
500
C
D
10
50
X
L
1000
M
Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения
и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила:
каждый меньший знак, поставленный справа от большего,
прибавляется к его значению, а каждый меньший знак,
поставленный слева от большего, вычитается из него.
1935
28
XX
C
MIX IX IX V
40 = M
X
LV

9.

Позиционная система счисления
Система счисления называется позиционной, если
количественный эквивалент цифры в числе зависит от её
положения в записи числа.
Основание позиционной системы счисления равно
количеству цифр, составляющих её алфавит.
Алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9.

10.

Десятичная система счисления
Цифры 1234567890 сложились в Индии около 400 г. н. э.
Арабы стали пользоваться подобной
нумерацией около 800 г. н. э.
Примерно в 1200 г. н. э. эту
нумерацию начали применять в
Европе.

11.

Основная формула
В позиционной системе счисления с основанием q любое число
может быть представлено в виде:
Aq =±(an–1 qn–1+ an–2 qn–2+…+ a0 q0+ a–1 q–1+…+ a–m q–m)
Здесь:
А — число;
q — основание системы счисления;
ai — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы
счисления;
n — количество целых разрядов числа;
m — количество дробных разрядов числа;
qi — «вес» i-го разряда.
Такая запись числа называется развёрнутой формой записи.

12.

Развёрнутая форма
Aq =±(an–1 qn–1+ an–2 qn–2+…+ a0 q0+ a–1 q–1+…+ a–m q–m)
Примеры записи чисел в развёрнутой форме:
2012=2 103 +0 102 +1 101 +2 100
0,125=1 10-1 +2 10-2 +5 10–3
14351,1=1 104 +4 103 +3 102 +5 101 +1 100 +1 10–1

13.

Двоичная система счисления
Двоичной системой счисления называется позиционная
система счисления с основанием 2.
Двоичный алфавит: 0 и 1.
Для целых двоичных чисел можно записать:
an–1an–2…a1a0 = an–1 2n–1 + an–2 2n–2 +…+ a0 20
Например:
100112 =1 24+0 23+0 22+1 21+1 20 = 24 +21 + 20 =1910
Правило перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления:
Вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в
свёрнутой форме записи двоичного числа

14. Домашнее задание

Учить параграф 1.1.1-1.1.2 выполнить примеры:
Задача 1. Переведите двоичное число 1110011 в десятичную систему счисления
Ответ: 115
Задача 2. Переведите двоичное число 1101001 в десятичную систему счисления.
Ответ: 105
Задача 3. Переведите двоичное число 1110101 в десятичную систему счисления.
Ответ: 117
Задача 4. Переведите двоичное число 1100011 в десятичную систему счисления.
Ответ: 99

15.

Правило перевода целых десятичных
чисел в двоичную систему счисления
an–1 2n–1+an–2 2n–2+… a1 21 +a0
2
an–1 2n–1+an–2 2n–2+… a1
2
an–1 2n–1+an–2 2n–2+… a2
2
= an–1 2n–2 +…+ a1 (остаток a0)
= an–1 2n–3+…+ a2 (остаток a1)
= an–1 2n–4 +…+ a3 (остаток a2)
...
На n-м шаге получим набор цифр: a0a1a2…an–1

16. Пример:

19
18
1
2
9
8
1
2
4
4
0
2
2
2
0
1910 = 100112
2
1

17.

Компактное оформление
363 181 90
45
22
11
5
2
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
36310 = 1011010112
314 157 78
39
19
9
4
2
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
31410 = 1001110102

18.

Задача 1. Переведите число 11000012 в десятичную
систему счисления.
97
Задача 2. Переведите двоичное число 1110001 в
десятичную систему счисления.
113
Задача 3. Переведите двоичное число 1100111 в
десятичную систему счисления.
103
Задача 4. Переведите число 135 из десятичной системы
счисления в двоичную систему счисления. Сколько единиц
содержит полученное число? В ответе укажите одно число –
количество единиц.
4

19.

Задача 5. Переведите число 121 из десятичной системы
счисления в двоичную систему счисления. Сколько нулей
содержит полученное число? В ответе укажите одно число –
количество нулей.
2
Задача 6. Переведите число 141 из десятичной системы
счисления в двоичную систему счисления.
10001101

20.

Задача 7. Переведите число 134 из десятичной системы
счисления в двоичную систему счисления. Сколько единиц
содержит полученное число? В ответе укажите одно число –
количество единиц. (число: 10000110, единиц 3)
Задача 8. Переведите число 143 из десятичной системы
счисления в двоичную систему счисления. Сколько единиц
содержит полученное число? В ответе укажите одно число –
количество единиц. 10001111, 5
Задача 9. Переведите число 141 из десятичной системы
счисления в двоичную систему счисления. Сколько единиц
содержит полученное число? В ответе укажите одно число –
количество нулей.
10001101, 4
Задача 10. Переведите число 126 из десятичной системы
счисления в двоичную систему счисления. Сколько единиц
содержит полученное число? В ответе укажите одно число –
количество нулей.
1111110, 1

21.

Двоичная арифметика
Арифметика двоичной системы счисления основывается
на использовании следующих таблиц сложения и
умножения:
+
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
10
1
0
1

22.

Сложение и вычитание
двоичных чисел
сложение
вычитание
0+0=0 0+1=1 перенос0-0=0 1-1=0
1+0=1 1+1=102
1-0=1 102-1=1
заём
1 + 1 + 1 = 112
11111
1 0 1 1 02
+ 1 1 1 0 1 12
1 0 1 0 0 0 12
0 1 1 102 0 102
1 0 0 0 1 0 12
–
1 1 0 1 12
0 1 0 1 0 1 02

23.

Задача 1
Выполните операцию сложения над двоичными
числами. Выполните проверку, переведя слагаемые
и сумму в десятичную систему счисления.
1111
1 0 1 12
+ 1 0 12
1 0 0 0 02
Проверка
32 1 0
10112 = 1 23 + 1 21 +
1 20 = 1110
210
1012 = 1 22 + 1 20 = 510
43210
10002 = 1 24 = 1610
1110 + 510 = 1610

24.

Задача 2
Выполните операцию вычитания над двоичными
числами.
Выполните
проверку,
переведя
уменьшаемое, вычитаемое и разность в десятичную
систему счисления.
Проверка
0 1 102 0 102
5 4 3 2 1 0
1 0 0 1 0 12
1 0 1 12
1001012 = 1 25 + 1 22 +
1 20 = 3710
0 1 1 0 1 02
10112 = 1 23 + 1 21 +
1 20 = 1110
3 210
4 3 2 1 0
110102 = 1 24 + 1 23 +
1 21 = 2610
3710 - 1110 = 2610

25.

Умножение и деление
двоичных чисел
умножение
1 0 1 0 12
1 0 12
1 0 1 0 12
+ 1 0 1 0 12
1 1 0 1 0 0 12
деление
1 0 1 0 12 1 1 12
– 1 1 12 1 1
2
1 1 12
– 1 1 12
0

26.

Задача 3
Выполните операцию умножения над двоичными
числами.
Выполните
проверку,
переведя
сомножители и произведение в десятичную систему
счисления.
Проверка
32 1 0
1 1 0 12
1 12
1 1 0 12
+ 1 1 0 12
1 0 0 1 1 12
11012 = 1 23 + 1 22 +
1 20 = 1310
10
112 = 1 21 + 1 20 = 310
5 43 210
1001112 = 1 25 + 1 22 +
1 21 + 1 20 = 3910
1310 310 = 3910

27.

Задача 4
Выполните операцию деления над двоичными
числами. Выполните проверку, переведя делимое,
делитель и частное в десятичную систему
счисления.
Проверка
1 1 1 1 02
– 1 1 02
1 1 02
– 1 1 02
0
1 1 02
1 0 12
4 3 2 1 0
111102 = 1 24 + 1 23 +
1 22 + 1 21 = 3010
210
1102 = 1 22 + 1 21 = 610
210
1012 = 1 22 + 1 20 = 510
3010 : 610 = 510

28.

«Компьютерные» системы счисления
Двоичная система используется в компьютерной технике,
так как:
двоичные числа представляются в компьютере с
помощью простых технических элементов с двумя
устойчивыми состояниями;
представление информации посредством только двух
состояний надёжно и помехоустойчиво;
двоичная арифметика наиболее проста;
существует математический аппарат, обеспечивающий
логические преобразования двоичных данных.
Двоичный код удобен для компьютера.
Человеку неудобно пользоваться длинными и
однородными
кодами.
Специалисты
заменяют
двоичные коды на величины в восьмеричной или
шестнадцатеричной системах счисления.

29.

Восьмеричная система счисления
Восьмеричной системой счисления называется
позиционная система счисления с основанием 8.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
an–1an–2…a1a0 = an–1 8n–1+an–2 8n–2+…+a0 80
Пример: 10638 =1 83 +0 82+6 81+3 80=56310.
Для перевода целого восьмеричного числа в десятичную
систему счисления следует перейти к его развёрнутой
записи и вычислить значение получившегося выражения.
Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную
систему счисления следует последовательно выполнять
деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до
тех пор, пока не получим частное, равное нулю.

30.

Шестнадцатеричная система счисления
Основание: q = 16.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
3АF16 =3 162+10 161+15 160 =768+160+15=94310.
Переведём десятичное число 154 в шестнадцатеричную
систему счисления:
154 16
-144
9
16
10
(А)
9
0
15410 = 9А16

31.

Правило перевода целых десятичных чисел
в систему счисления с основанием q
1) последовательно выполнять деление данного числа и
получаемых целых частных на основание новой системы
счисления до тех пор, пока не получим частное, равное нулю;
2) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в
новой системе счисления, привести в соответствие с
алфавитом новой системы счисления;
3) составить число в новой системе счисления, записывая
его, начиная с последнего полученного остатка.

32.

Таблица соответствия 10-х, 2-х, 8-х и 16-х чисел от 1 до 16
Десятичная
система
Двоичная
система
Восьмеричная
система
Шестнадцатеричная
система
1
1
1
1
2
10
2
2
3
11
3
3
4
100
4
4
5
101
5
5
6
110
6
6
7
111
7
7
8
1000
10
8
9
1001
11
9
10
1010
12
A
11
1011
13
B
12
1100
14
C
13
1101
15
D
14
1110
16
E
15
1111
17
F
16
10000
20
10
17
10001
21
11
18
10010
22
12

33.

«Компьютерные» системы счисления
Двоичная система используется в компьютерной технике,
так как:
двоичные числа представляются в компьютере с
помощью простых технических элементов с двумя
устойчивыми состояниями;
представление информации посредством только двух
состояний надёжно и помехоустойчиво;
двоичная арифметика наиболее проста;
существует математический аппарат, обеспечивающий
логические преобразования двоичных данных.
Двоичный код удобен для компьютера.
Человеку неудобно пользоваться длинными и
однородными
кодами.
Специалисты
заменяют
двоичные коды на величины в восьмеричной или
шестнадцатеричной системах счисления.

34.

Самое главное
Система счисления — это знаковая система, в которой приняты
определённые правила записи чисел.
Система
счисления
называется
позиционной,
если
количественный эквивалент цифры в числе зависит от её положения
в записи числа.
В позиционной системе счисления с основанием q любое число
может быть представлено в виде:
Aq =±(an–1 qn–1 + an–2 qn–2 +…+ a0 q0 + a–1 q–1 +…+ a–m q–m)
Здесь:
А — число;
q — основание системы счисления;
ai — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n — количество целых разрядов числа;
m — количество дробных разрядов числа;
qi — «вес» i-го разряда.

35.

Вопросы и задания
Переведите
целыечисла
числа
издесятичной
десятичной
системы
Запишите
Выполните
десятичные
операцию
эквиваленты
умножения
над
следующих
двоичными
чисел:
Переведите
целые
из
системы
Какое
Переведите
минимальное
Запишите
целые
в
основание
развёрнутом
числа
из
имеет
десятичной
виде
система
числа:
системы
Укажите,
какое
из
чисел
110011
,35
и1В
Цифры
Объясните,
Расставьте
Как
Выполните
Найдите
от
каких
Чем
свёрнутой
различаются
систем
почему
знаки
основание
операцию
арифметических
формы
счисления
позиционные
унарные,
х
системы
сложения
записи
приведены
системы
десятичного
позиционные
счисления,
операций
на
счисления
рисунке?
так,
числа
если:
и чтобы
сто
2, 111
4над
8двоичными
16
счисления
в
восьмеричную:
Верны
Заполните
ли
следующие
таблицу,
Вычислите
в
равенства?
каждой
выражения:
строке
которой
одно
и
а)
172
числами:
счисления
в
двоичную:
8
а)
счисления,
143,511
счисления
в кней
записаны
вравенства
шестнадцатеричную:
числа
123,
222,системе:
111,
является:
10 если
были
основаниями
верны
непозиционные
перейти
следующие
5,
10,
его
12
развёрнутой
а)
числами:
и
системы
14
20
=9
называют
счисления?
в
форме?
двоичной
системами
а)
513
а)
же
33
число
=21
а)
быть
(1111101
в):36
системах
счисления
x +AF
10 16
б)
2ЕА
а)записано
1010
· 11
4Определите
289
8
а)
16 7 должно
б)
241?
143511
десятичный
а)
513
эквивалент
данных
чисел
а)
наибольшим
8
счисления
а)
анатомического
1100
а)
б)
?
101010
11
2002
?
100
=130
+
1101
=
происхождения.
100000;
б)
600
б)
33
сб)основаниями
1258счисления.
+ 101
·2A
2,
8,
10
– 141
и 16.
в)найденной
101010
б)
111
101
8 =2142
2x·600
1610
8
б)
600
в)
в
143511
системе
б)
б)
наименьшим
16
б)в 1100
б)в)1010
?1010
10
+?· 1010
10
= 100; счисления.
в)
2010
Ответ
дайте
десятичной
системе
г)
10,1
111
в)
2010
2
г) 1435,118
в)
2010
в)
1100
в)
10101
?
11
?+100
111 = 0.
д) 243
6
Основание 2
Основание 8
Основание 10
Основание 16
101010
127
321
Задачник «Системы счисления»
2А

36.

Опорный конспект
Система счисления — это знаковая система, в которой приняты
определённые правила записи чисел.
Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа.
Алфавит - совокупность цифр системы счисления.
Система счисления
Позиционная
Двоичная
Десятичная
Восьмеричная
Шестнадцатеричная
Непозиционная
Римская
В позиционной системе счисления с основанием q любое число
может быть представлено в виде:
Aq =±(an–1 qn–1 + an–2 qn–2 +…+ a0 q0 + a–1 q–1 +…+ a–m q–m).