логика_ТИ,_законы_логики,_множества

1. Логика как наука. Высказывания

2. Логика как наука

Слово «логика» происходит от греческого logos, что
означает «мысль», «слово», «разум»,
«закономерность».
Логика как наука изучает логические формы,
операции с ними и законы мышления.

3. Алгебра логики

Алгебра логики — это математический аппарат, с
помощью которого записывают, вычисляют,
упрощают и преобразовывают логические
высказывания.
Логическое высказывание (суждение) — это
любое
повествовательное
предложение,
в
отношении которого можно однозначно сказать,
истинно оно или ложно (обозначаемые,
соответственно, "1" и "0" ).

4.

Высказывательной формой называется
логическое высказывание, в котором один из
объектов заменён переменной. При
подстановке вместо переменной какого-либо
значения высказывательная форма
превращается в высказывание.
Пример: «В городе Х идёт дождь.» —
высказывательная форма.
«В городе Архангельске идёт дождь.» —
высказывание.

5.

Умозаключение – это форма мышления,
посредством которой из одного или
нескольких
суждений,
называемых
посылками, по определенным правилам
логического вывода получается новое
истинное
суждение,
называемое
заключением.

6.

Посылка: при выполнении всех заданий
верно учащийся получает оценку «5».
Посылка: нужно выполнить 10 заданий.
Заключение: чтобы получить «5», надо верно
выполнить 10 заданий.

7.

Логические высказывания
Элементарные
логические
высказывания
Составные
логические
высказывания
• Элементарные логические высказывания:
«Петров — врач», «Петров — шахматист»
• Составное логическое высказывание — это
высказывание, образованное из других
высказываний с помощью логических связок.
Пример: «Петров — врач и шахматист».

8.

Логическая связка — это любая логическая
операция над высказыванием.
Например, употребляемые в обычной речи
слова и словосочетания «не», «и», «или»,
«если… , то», «тогда и только
тогда» являются логическими связками

9. Этапы развития логики

1 этап – Аристотель (384-322г. до н. э.)
Он пытался найти ответ на вопрос: "Как мы
рассуждаем".
Возникла формальная логика – наука о законах и
формах мышления.
2 этап – появление математической или
символической логики (Г. В. Лейбниц (1646-1716)).
Он сделал попытку заменить простые рассуждения
действиями со знаками.

10. Этапы развития логики

3 этап - (Джордж Буль (1815-1864))
В его работах логика приобрела свой алфавит,
орфографию и грамматику.
Начальный раздел математической логики
назвали алгеброй логики или Булевой
алгеброй.
Джон фон Нейман (1903 — 1957) в основу
работы компьютера заложил математический
аппарат, использующий законы
математической логики.

11. Простые логические операции

12. Обозначение высказываний

Пусть А - высказывание "Тимур поедет
летом на море",
В — высказывание "Тимур летом
отправится в горы".
Тогда составное высказывание "Тимур летом
побывает и на море, и в горах" можно
кратко записать как А и В.
Здесь "и" — логическая связка, А, В —
логические переменные, которые могут
принимать только два значения "истина" или "ложь", обозначаемые,
соответственно, "1" и "0".

13. Таблицы истинности (ТИ)

Таблица истинности логической
формулы выражает соответствие
между всевозможными наборами
значений переменных и значениями
формулы.

14. 1) Отрицание - инверсия

Отрицанием Ā некоторого высказывания А называется
такое высказывание, которое истинно, когда А ложно, и
ложно, когда А истинно.
(Отрицание лжи есть истина, отрицание истины есть ложь)

15. 1) Отрицание - инверсия

Отрицанием Ā некоторого высказывания А называется
такое высказывание, которое истинно, когда А ложно, и
ложно, когда А истинно.
(Отрицание лжи есть истина, отрицание истины есть ложь)

16. 2) Конъюнкция - логическое умножение

Конъюнкцией двух высказываний А и В
называется такое новое высказывание, которое
истинно тогда и только тогда, когда истинны оба
высказывания А и В.
Обозначения
A B A B A& B

17. 2) Конъюнкция - логическое умножение

Конъюнкцией двух высказываний А и В
называется такое новое высказывание, которое
истинно тогда и только тогда, когда истинны оба
высказывания А и В.
Обозначения
A B A B A& B

18.

Определение конъюнкции 2-х высказываний
распространяется на любое конечное число
составляющих:
конъюнкция А1 & A2 & A3 &...& An истинна
тогда и только тогда, когда истинны все
высказывания А1, A2, A3, ...An;
конъюнкция ложна, когда хотя бы одно из
этих высказываний ложно.

19. 3) Дизъюнкция - логическое сложение

Дизъюнкцией двух высказываний
называется такое новое
высказывание, которое истинно
тогда и только тогда, когда истинно
хотя бы одно из этих
высказываний.
Обозначения:
A B
A B

20. 3) Дизъюнкция - логическое сложение

Дизъюнкцией двух высказываний
называется такое новое
высказывание, которое истинно
тогда и только тогда, когда истинно
хотя бы одно из этих
высказываний.
Обозначения:
A B
A B

21.

Определение дизъюнкции 2-х высказываний
распространяется на любое конечное число
составляющих:
дизъюнкция А1 v А2 v А3 v ... v Аn истинна тогда
и только тогда, когда истинно хотя бы одно из
высказываний А1, А2, А3, ..., Аn;
дизъюнкция ложна, если ложны все
высказывания.

22. 4) Импликация

Импликацией А => В называется
высказывание, которое ложно тогда и только
тогда, когда А истинно и В ложно.
Обозначения: →

23. 4) Импликация

Импликацией А => В называется
высказывание, которое ложно тогда и только
тогда, когда А истинно и В ложно.
Обозначения: →
A
B
А→В
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1

24.

Утверждение:
«Если каждое слагаемое делится на 3, то и
сумма делится на 3» истинно.
Из высказывания «каждое слагаемое делится на
3» => высказывание «сумма делится на 3».

25.

Утверждение:
«Если каждое слагаемое делится на 3, то и сумма
делится на 3» истинно.
Из высказывания «каждое слагаемое делится на 3»
=> высказывание «сумма делится на 3».
Слагаемые числа:
6 и 9 => истинны посылка и заключение => истинно
все утверждение;
4 и 5 => посылка ложная, а заключение истинно;
4 и 7 => и посылка и заключение ложны.

26. 5) Эквивалентность (логическая равнозначность)

Это сложное логическое выражение, которое
является истинным тогда и только тогда, когда
оба простых логических выражения имеют
одинаковую истинность.
Обозначение: ≡; ↔.

27. 5) Эквивалентность (логическая равнозначность)

Это сложное логическое выражение, которое
является истинным тогда и только тогда, когда
оба простых логических выражения имеют
одинаковую истинность.
Обозначение: ≡; ↔.
A
B
A≡B
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1

28.

Высказывания эквивалентны (равносильны),
когда их значения истинности одинаковы,
например:
«Железо тяжелое» и «Пух легкий»

29.

Высказывания эквивалентны (равносильны),
когда их значения истинности одинаковы,
например:
«Железо тяжелое» и «Пух легкий»
«Железо легкое» и «Пух тяжелый»

30. Порядок выполнения логических операций

1) отрицание (не);
2) конъюнкция (и);
3) дизъюнкция (или)
4) Импликация
5) Эквивалентность

31. Порядок выполнения логических операций

1) отрицание (не);
2) конъюнкция (и);
3) дизъюнкция (или)
4) Импликация
5) Эквивалентность
6) сумма по модулю два,
7) стрелка Пирса
8) штрих Шефера

32.

Количество строк в ТИ находится по формуле
Q=2n, где n – количество переменных.

33. Построить ТИ для логической функции: F(x,y,z)=¬x&(y v z)

Построить ТИ для логической функции:
F(x,y,z)=¬x&(y v z)

34. Построить ТИ для логической функции: F(x,y,z)=¬x&(y v z) Количество переменных: 3 Количество строк: 8

Построить ТИ для логической функции:
F(x,y,z)=¬x&(y v z)
Количество переменных: 3
Количество строк: 8

35. Построить ТИ для логической функции: F(x,y,z)=¬x&(y v z) Количество переменных: 3 Количество строк: 8

Построить ТИ для логической функции:
F(x,y,z)=¬x&(y v z)
Количество переменных: 3
Количество строк: 8
x
y
z

36. Построить ТИ для логической функции: F(x,y,z)=¬x&(y v z) Количество переменных: 3 Количество строк: 8

Построить ТИ для логической функции:
F(x,y,z)=¬x&(y v z)
Количество переменных: 3
Количество строк: 8
x
y
z
¬x

37. Построить ТИ для логической функции: F(x,y,z)=¬x&(y v z) Количество переменных: 3 Количество строк: 8

Построить ТИ для логической функции:
F(x,y,z)=¬x&(y v z)
Количество переменных: 3
Количество строк: 8
x
y
z
¬x
yvz
¬x&(y v z)

38. Построить ТИ для логической функции: F(x,y,z)=¬x&(y v z) Количество переменных: 3 Количество строк: 8

Построить ТИ для логической функции:
F(x,y,z)=¬x&(y v z)
Количество переменных: 3
Количество строк: 8
x
y
z
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
¬x
yvz
¬x&(y v z)

39. Построить ТИ для логической функции: F(x,y,z)=¬x&(y v z) Количество переменных: 3 Количество строк: 8

Построить ТИ для логической функции:
F(x,y,z)=¬x&(y v z)
Количество переменных: 3
Количество строк: 8
x
y
z
¬x
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
yvz
¬x&(y v z)

40. Построить ТИ для логической функции: F(x,y,z)=¬x&(y v z) Количество переменных: 3 Количество строк: 8

Построить ТИ для логической функции:
F(x,y,z)=¬x&(y v z)
Количество переменных: 3
Количество строк: 8
x
y
z
¬x
yvz
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
¬x&(y v z)

41. Построить ТИ для логической функции: F(x,y,z)=¬x&(y v z) Количество переменных: 3 Количество строк: 8

Построить ТИ для логической функции:
F(x,y,z)=¬x&(y v z)
Количество переменных: 3
Количество строк: 8
x
y
z
¬x
yvz
¬x&(y v z)
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0

42. Основные законы алгебры логики

43. Закон идемпотентности (одинаковости)

A& A A
A A A

44.

Действия с константами
A &1 A
A 1 1
A&0 0
A 0 A

45. Закон двойного отрицания

A A
Закон исключенного третьего
A A 1
Закон противоречия
A& A 0

46. Закон коммутативности (переместительный)

x&y y&x
x y y x

47. Закон дистрибутивности (распределительный)

x & (y z) (x & y) (x & z)
x (y & z) (x y) & (x z)

48. Закон ассоциативности (сочетательный)

(x & y) & z x & (y & z)
(x y) z x (y z)

49. Закон де Моргана

x& y x y
x y x& y

50. Формулы склеивания

(A & B) (A & B) A
(A B) & (A B) A

51. Формулы поглощения

A ( A & B) A
A & ( A B) A
A ( A & B) A B
A & ( A B) A & B

52. Упростите выражение

( A A) B
A B A B
A B A

53. Множество. Мощность множества. Операции над множествами

54.

Множество обычно представляют как объект,
образованный за счет мысленного собирания
в единое целое каких-либо предметов, в том
числе, возможно, и самих множеств.

55.

• Объекты, входящие в множество,
называются элементами этого множества.

56.

57.

58.

Круги Эйлера (или диаграммы Эйлера) - это
геометрическая схема, с помощью которой
можно наглядно изобразить множества и
операции над ними.

59. Операции над множествами

60.

Пересечением двух множеств называется
множество, которому принадлежат те и
только те элементы, которые одновременно
принадлежат двум данным множествам.

61.

Пересечением двух множеств называется
множество, которому принадлежат те и
только те элементы, которые одновременно
принадлежат двум данным множествам.

62.

Пересечением двух множеств называется
множество, которому принадлежат те и
только те элементы, которые одновременно
принадлежат двум данным множествам.

63.

Объединением двух множеств называется
множество, состоящее из тех и только тех
элементов, которые принадлежат хотя бы
одному из данных множеств.

64.

Объединением двух множеств называется
множество, состоящее из тех и только тех
элементов, которые принадлежат хотя бы
одному из данных множеств.

65.

Разностью двух множеств называется
множество, состоящее из тех и только тех
элементов, которые входят в первое
множество, но не входят во второе.

66.

Разностью двух множеств называется
множество, состоящее из тех и только тех
элементов, которые входят в первое
множество, но не входят во второе.

67.

Симметрической разностью двух множеств и
называется множество, которое состоит из
элементов, принадлежащих ровно одному из
данных множеств.

68.

Симметрической разностью двух множеств и
называется множество, которое состоит из
элементов, принадлежащих ровно одному из
данных множеств.

69.

Симметрической разностью двух множеств и
называется множество, которое состоит из
элементов, принадлежащих ровно одному из
данных множеств.