Похожие презентации:
Тема_Предмет_теории_вероятностей
1. Тема. Предмет теории вероятностей. Комбинаторика и ее основные понятия
DIPLOMAT UNIVERSITYPhD по экономическим наукам, доцент
Хазраткулова Лола Нармуминовна
Тема. Предмет теории вероятностей.
Комбинаторика и ее основные понятия
Ташкент 2024
2. Возникновение теории вероятностей как науки
относят к средним векам и первым попыткамматематического анализа азартных игр (орлянка,
кости, рулетка)
Само слово «азарт» (фр. «le hazard») означает
«случай»
Самые ранние работы учёных в области теории
вероятностей относятся к XVII веку
3.
ЯковБернулли
(1654 - 1705)
Первое доказательство
одного из важнейших
положений теории
вероятностей – так
называемого закона
больших чисел
Количественные
закономерности
массовых явлений будут
явно проявляться только
при большом их числе
4.
Абрахам де Муавр(1667 - 1754)
английский математик фран
цузского происхождения
Впервые ввел в
рассмотрение и обосновал
нормальный закон
(закон Гаусса)
Теоремы, обосновывающие
этот закон носят в теории
вероятностей общее
название «центральной
предельной теоремы»
5.
ПьерСимонЛаплас(1749 - 1827)
впервые дал стройное и
систематическое
изложение основ теории
вероятностей
развил ряд
замечательных
приложений теории
вероятностей к анализу
ошибок наблюдений и
измерений
6.
Карл ФридрихГаусс
(1777 - 1855)
дал еще более общее
обоснование
нормальному закону
разработал метод
обработки
экспериментальных
данных, известный под
названием «метод
наименьших квадратов»
7.
Симеон ДениПуассон
(1781 - 1840)
впервые применил теорию
вероятностей к задачам
стрельбы
С его именем связан один
из законов распределения,
играющий большую роль
в теории вероятностей и
её приложениях
8.
XVIII и начало XIX века бурное развитие теориивероятностей и повсеместное
увлечение ею
Теория вероятностей становится
«модной» наукой
Для этого периода характерны
многочисленные попытки
применить теорию вероятностей
к изучению общественных
явлений
9.
Виктор ЯковлевичБуняковский
(1804 - 1889)
автор первого курса
теории вероятностей на
русском языке
создатель современной
русской терминологии в
теории вероятностей,
автор оригинальных
исследований в области
статистики и демографии
10.
ПафнутийЛьвович
Чебышев
(1821 - 1894)
дальнейшее
расширение и
обобщение закона
больших чисел
ввел в теорию
вероятностей весьма
мощный и
плодотворный метод
моментов
11.
АндрейАндреевич
Марков
(1856 - 1922)
существенно
расширил область
применения закона
больших чисел и
центральной
предельной теоремы
заложил основы
совершенно новой ветви
теории вероятностей –
теории случайных, или
«стохастических»,
процессов
12.
АлександрМихайлович
Ляпунов
(1857 - 1918)
первое доказательство
центральной предельной
теоремы при
чрезвычайно общих
условиях
разработал специальный
метод
характеристических
функций, широко
применяемый в
современной теории
вероятностей
13. Теория вероятностей и математическая статистика
помогает приниматьрешения в условиях
неопределённости,
направленные на
достижение поставленных
целей
раздел
математики,
изучающий
закономерности
случайных
явлений
14. Комбинаторика
Часто приходится составлять изконечного числа элементов
различные комбинации и
производить подсчет числа всех
возможных комбинаций,
составленных по некоторому
правилу
Такие задачи получили название
комбинаторных, а раздел
математики , занимающийся их
решением, называется
комбинаторикой
15.
К началу XX в.комбинаторика считалась
законченной частью
математики
В дальнейшем ее стали
воспринимать как первую главу
теории множеств, занимающуюся
конечными множествами
(их подмножествами,
отображениями друг на друга и т.п.)
16.
Основные понятия комбинаторикиЭлементы комбинаторики
Имеется совокупность n объектов, назовем ее
генеральной совокупностью. Из генеральной совокупности
наудачу отбираем m объектов, эту отобранную совокупность
назовем выборкой.
Выборка может быть упорядоченной, если порядок
объектов (элементов) играет роль, и может быть
неупорядоченной, если порядок элементов роли не играет.
Выборка может быть без повторений, если элементы
повторяться не могут, и может быть с повторениями, если
элементы в выборке повторяются.
17.
Упорядоченная выборка из n элементов по mназывается размещением, неупорядоченная выборка из n
элементов по m называется сочетанием. Число
размещений и сочетаний c повторениями и без повторений
из n элементов по m можно найти из следующей таблицы:
Выборка
Без
повторений
С
повторениями
Упорядоченная
n!
m
An
(n m)!
m
n
А n
m
n!=1·2·3·... ·n,
Неупорядоченная
n!
C nm
m! ( n m )!
C nm
0!=1
( n m 1)!
m! ( n 1)!
18.
,.
Если выбор элементов множества из Х
происходит с возвращением, т.е. каждый элемент
множества Х может быть выбран несколько раз, то
число размещений из n по k находится по формуле
(размещения с повторениями).
Если же выбор делается без возвращения,
т.е. каждый элемент множества Х можно выбирать
только один раз, то количество размещений из n по
k обозначается
и определяется равенством
19.
Задача 1. Сколькими способами можно выбрать изстуденческой группы в 25 человек троих на профсоюзную
конференцию?
Решение:
Студенческая
группа
–
генеральная
совокупность – ее объем n(A)=25, из нее извлекают выборку
объема k=3. Из условия задачи ясно, что важен только состав
(три студента выбирают), следовательно, число способов равно
числу сочетаний из 25 по 3:
20.
Задача 2. Сколькими способами можно избратьтреугольник студенческой группы (старосту, физорга,
профорга) в 25 человек?
Решение: Студенческая группа – генеральная
совокупность – ее объем n(A)=25, из нее извлекают выборку
объема k=3. Из условия задачи ясно, что важен не только
состав, но и порядок (распределение обязанностей),
следовательно, число способов равно числу размещений из
25 по 3
21.
Частный случай размещенияпри n=k называется перестановкой
из n элементов. Число всех
перестановок из n элементов равно
22.
Задача 3. 30 книг стоит на книжнойполке, из них 27 различных книг и одного
автора три книги. Сколькими способами
можно расставить эти книги на полке так,
чтобы книги одного автора стояли рядом?
Решение: Будем считать три книги
одного автора за одну книгу, тогда число
перестановок будет
. А три книги можно
переставлять между собой
способами,
тогда по правилу произведения имеем, что
искомое число способов равно: * =3!*28!
23.
Задача 4. Пусть даны шесть цифр: 1; 2; 3; 4;5; 6. Определить сколько трехзначных чисел
можно составить из этих цифр.
Решение: Если цифры могут повторяться, то
количество трехзначных чисел будет
Если цифры не повторяются, то
24.
Прирешении
задач
комбинаторики
используют следующие правила:
Правило суммы. Если некоторый объект А
может быть выбран из совокупности объектов m
способами, а другой объект В может быть выбран n
способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n
способами.
Правило произведения. Если объект А
можно выбрать из совокупности объектов m
способами и после каждого такого выбора объект В
можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В)
в указанном порядке может быть выбрана m*n
способами.
25.
Задача 5. Наряд студентки состоит из блузки,юбки и туфель. Девушка имеет в своем гардеробе
четыре блузки, пять юбок и трое туфель. Сколько
нарядов может иметь студентка?
Решение: Пусть сначала студентка выбирает
блузку. Этот выбор может быть совершен четырьмя
способами, так как студентка имеет четыре блузки,
затем пятью способами произойдет выбор юбки и
тремя способами выбор туфель. По принципу
умножения
получается
4*5*3=60
нарядов
(комбинаций).