87967e3ba81f4b71a52aac7fd6da4e64

1. Системы массового обслуживания

СИСТЕМЫ МАССОВОГО
ОБСЛУЖИВАНИЯ
понятие и структура СМО
классификация СМО
основные характеристики работы СМО
имитационное моделирование в исследовании СМО

2. ТЕОРИЯ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

это прикладная область теории случайных процессов,
занимающаяся исследованием вероятностных моделей
реальных систем обслуживания
Основоположник ТМО:
Агнер Эрланг (1878 – 1929)
занимался решением задач телефонии
Термин ТМО ввёл:
А. Я. Хинчин (1894 – 1959)

3.

4. СМО – это система, в которой, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования) на выполнение каких-либо услуг, а с

СМО – ЭТО СИСТЕМА, В КОТОРОЙ, С ОДНОЙ СТОРОНЫ,
ВОЗНИКАЮТ МАССОВЫЕ ЗАПРОСЫ (ТРЕБОВАНИЯ) НА
ВЫПОЛНЕНИЕ КАКИХ-ЛИБО УСЛУГ, А С ДРУГОЙ
ПРОИСХОДИТ УДОВЛЕТВОРЕНИЕ ЭТИХ ЗАПРОСОВ.
Элементы СМО:
источник требований (заявка на обслуживание)
входящий поток требований
очередь
обслуживающие устройства (каналы обслуживания)
выходящий поток требований

5. СТРУКТУРА СМО

1
Входящий поток
требований –
последовательность
заявок,
поступающих на
пункт
обслуживания
2
Очередь –
множество
заявок,
ожидающих
обслуживания
n
Каналы обслуживания –
совокупность устройств,
выполняющих операции
по обслуживанию заявок
Выходящий поток
требований – поток
заявок, покидающих
обслуживающую
систему

6. ПРОСТЕЙШИЙ ПОТОК ТРЕБОВАНИЙ

это поток, в котором вероятность поступления
требований в систему подчиняется закону Пуассона:
СВОЙСТВА ПРОСТЕЙШЕГО ПОТОКА:
ординарность (практическая невозможность
одновременного поступления двух и более требований)
стационарность (математическое ожидание числа
требований, поступающих в систему в единицу времени не
меняется во времени)
отсутствие последействия (число требований,
поступивших в систему до момента t, не определяет того,
сколько требований поступит в следующий момент времени)

7. КЛАССИФИКАЦИЯ СМО

В зависимости от условий ожидания начала обслуживания:
СМО с потерями (отказами)
СМО с ожиданием
По числу каналов обслуживания:
одноканальные
многоканальные
По месту нахождения источника требований:
разомкнутые
замкнутые

8. МЕТОДЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Аналитические
Имитационные
позволяют получить
характеристики
системы как некоторые
функции параметров её
функционирования
основаны на
моделировании
процессов массового
обслуживания на ЭВМ

9. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАБОТЫ СМО

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ (q)
средняя доля пришедших заявок, обслуживаемых системой
АБСОЛЮТНАЯ ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ (A)
среднее число заявок, обслуживаемых системой
ВЕРОЯТНОСТЬ ОТКАЗА (Pотк)
вероятность того, что заявка покинет систему
необслуженной

10. ОДНОКАНАЛЬНАЯ СМО С ОТКАЗАМИ

λ
S0
μ
S1
λ – интенсивность поступления заявок в систему
μ – интенсивность потока обслуживания
r– количество каналов обслуживания
m – длина очереди
S0 – канал свободен (ожидание)
S1 – канал занят (идёт обслуживание заявки)
1
.

11. Показатели СМО

ПОКАЗАТЕЛИ СМО
Вероятность потери заявки (вероятность отказа) – Ротк;
Вероятность простоя - Ро, это вероятность того, что поступившая
заявка немедленно будет обслужена (это есть то, что СМО свободна);
Приведённая интенсивность потока заявок
.
Величина ρ представляет собой среднее число заявок, приходящих в
СМО за среднее время обслуживания одной заявки.
Абсолютная пропускная способность - среднее число заявок, которое
может обслужить СМО за единицу времени - А.
Относительная пропускная способность - средняя доля поступивших
заявок, обслуживаемая системой. Другими словами это отношение
среднего числа заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, к
среднему числу поступающих за это время заявок - q.

12. Показатели СМО

ПОКАЗАТЕЛИ СМО
pk – стационарная вероятность пребывания
системы в состоянии , S k k 0,1,2,..m r
M(X) – среднее число работающих каналов
M(У) – среднее число простаивающих каналов
Коэффициент загрузки каналов равен отношению
среднего числа загруженных каналов к общему
числу каналов обслуживания, т.е.
M X
kЗ
r
Коэффициент простоя каналов
M Y
kП
r

13.

n – число каналов в СМО;
λ – интенсивность входящего потока заявок Пвх;
v – интенсивность выходящего потока заявок Пвых;
μ – интенсивность потока обслуживания Поб;
ρ – показатель нагрузки системы (трафик);
m – максимальное число мест в очереди, ограничивающее длину очереди заявок;
i – число источников заявок;
pк – вероятность k-го состояния системы;
pо – вероятность простаивания всей системы, т. е. вероятность того, что все каналы
свободны;
pсист – вероятность принятия заявки в систему;
pотк – вероятность отказа заявке в принятии ее в систему;
роб – вероятность того, что заявка будет обслужена;
А – абсолютная пропускная способность системы;
Q – относительная пропускная способность системы;
оч – среднее число заявок в очереди;
об – среднее число заявок под обслуживанием;
сист – среднее число заявок в системе;
оч – среднее время ожидания заявки в очереди;
об – среднее время обслуживания заявки, относящееся только к обслуженным
заявкам;
сис – среднее время пребывания заявки в системе;
ож – среднее время, ограничивающее ожидание заявки в очереди;
– среднее число занятых каналов.

14. ПРИМЕР

Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один
пост ежедневного обслуживания для мойки автомобилей. Заявка –
автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, – получает
отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей λ=1,0
(автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания –
1,8 часа. Поток автомобилей и поток обслуживаний являются
простейшими.
Требуется определить в установившемся режиме предельные
значения:
относительной пропускной способности q;
абсолютной пропускной способности А;
вероятности отказа Ротк.
Сравнить фактическую пропускную способность СМО с
номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль
обслуживался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за
другим без перерыва.

15. РЕШЕНИЕ

Определим интенсивность потока обслуживания:
Вычислим относительную пропускную способность:
Абсолютную пропускную способность определим по
формуле:
A=λ·q=1·0,356=0,356
Вероятность отказа:
Ротк=1 – q=1 – 0,356=0,644
Определим номинальную пропускную способность
системы:

16.

ЗАДАЧА 1. Дежурный по администрации города имеет один телефон.
Телефонные звонки поступают с интенсивностью 90 заявок в час, средняя
продолжительность разговора составляет 2 мин. Определить показатели
СМО дежурного администратора.
Примечание: выбираем λ = 90 в час.; t=2 мин.
Задача 2. В вокзальном помещении находится одна билетная касса. В
среднем за 1 ч в нее обращается 15 человек, а кассир обслуживает
каждого пассажира 3,0 мин. Определим среднюю длину очереди и
среднее время ожидания обслуживания, если прибывающий в кассу
поток пассажиров простейший, а время обслуживания распределено по
показательному закону.
Задача 3. Автомат по продаже билетов выдает билет за 15 с.
Обращаются к нему с интенсивностью λ=180 пассажиров/ч; закон
распределения пассажиропотока – пуассоновский. Определим среднее
время ожидания получения билета и среднее число пассажиров в
очереди.