Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика

1.

2.

1.
2.
3.
4.
Геометрические преобразования.
Виды и определения.
Простейшие преобразования
и их реализация в векторной графике.
Аффинные, проективные и нелинейные
преобразования.
Применение преобразований к решению
практических задач

3.

Геометрическое преобразование – однозначное
обратимое отображение (биекция) двух участков
моделируемого пространства, так что точке (A) и
любой фигуре (Ф) одного из них (прообразу)
соответствует точка (A’) и некоторая фигура (Ф’)
второго (образ).
A’
A
Ф
Ф’

4.

• образ f' можно рассматривать как результат движения
или трансформации прообраза f в неизменной
системе координат x–y;
• образ f' можно рассматривать как новое описание
неизменного и неподвижного прообраза f
в измененной системе координат x'–y'.

5.

Метрические
Аффинные
Проективные
Алгебраические
Топологические

6.

преобразования движения (сдвиг, поворот, осевая симметрия) и подобия –
инвариантами являются сохранение углов (параллельность,
перпендикулярность и др.), формы фигур с точностью до подобия, порядка
алгебраических кривых, инцидентности (принадлежность фигур) и др.;
аффинные преобразования не сохраняют постоянными метрические свойства
фигур, в частности, перпендикулярность прямых, форму (окружность может
переходить в эллипс и наоборот), однако другие свойства – параллельность,
инцидентность, порядок алгебраических кривых сохраняются;
проективные преобразования не сохраняют свойства параллельности
прямых, но сохраняют касательность прямых и кривых, инцидентность,
порядок алгебраической кривой (окружность может переходить в параболу
или гиперболу) и т.д.

7.

Дано (аппарат преобразования): S, u, A, A’ϵAS.
Требуется (задача преобразования):
- Для некоторой точки M найти образ M’.
Построение:
1)
2)
3)
AM пересечь с u;
~ соединить с A’;
~ пересечь с SM.
Геометрическое построение – конструктивный способ
осуществить геометрическое преобразование.
Если геометрические действия привести к вычислению
координат точек и вывести соответствующие формулы,
мы получим аналитическую (вычислительную) модель
геометрического преобразования.

8.

Фотографирование и проецирование.

9.

10.

• Координаты точки (x, y, w) называют однородными.
• Перевод однородных координат в декартовы:
xдек = xодн / wодн, yдек = yодн / wодн
• Перевод декартовых координат в однородные:
xодн = xдек, yодн = yдек, wодн=1

11.

Для нахождения коэффициентов прямой по координатам двух ее точек
нужно решить следующую систему уравнений.
Для определения координат точки пересечения прямых – следующую:
В пересечении двух параллельных прямых образуется точка
с координатами xодн=x0, yодн=y0, wодн=0, ее декартовы координаты
составляют xдек = xодн / 0 = ∞, yдек = yодн / 0 = ∞, такая точка бесконечно
удалена от начала координат.

12.

Аксонометрические проекции и тени от параллельных лучей.

13.

14.

15.

Сканирование и ксерокопирование документов и изображений.

16.

A’
A

17.

y A’
φ°
A
x

18.

-
осевая симметрия относительно оси y: k = –1, m = 1; относительно оси x: k = 1, m= –1.
подобие/гомотетия (относительно начала координат): k=m.
Неравномерное растяжение/сжатие (относительно начала координат): k≠m.
y
y
A
A’
A
x
A’
x

19.

Последовательность (композиция) геометрических преобразований
также является геометрическим преобразованием.
В аналитической форме это выражается следующим образом:
Пусть M1, M2, …, Mn – матрицы преобразований, которые применяются
к точкам фигуры последовательно, тогда их последовательность
можно заменить одним преобразованием, матрица которого имеет вид:
M = M1×M2×…×Mn
Это позволяет при различных ограничениях инструментов выполнять
более сложные преобразования как композиции простых. Например,
Вращение вокруг произвольной точки =
Перенос начала координат в данную точку ×
Вращение вокруг начала координат ×
Перенос начала координат в прежнее положение

20.

Специальные режимы фотосъемки .
Преобразование картографических проекций.

21.

Вставка растрового изображения.
Построение предполагаемой горизонтали или вертикали.
Измерение угла и поворот растрового изображения.
Замер масштабной линейки (шкалы).
Масштабирование растрового изображения.
φ°

22.

В рамках лекции мы рассмотрели.
1. Что такое и какие бывают геометрические
преобразования.
2. Математические модели геометрических
преобразований.
3.
Инструменты геометрических преобразований
в векторном редакторе.

23.

24.

Непосредственное манипулирование.
Команды меню и инструментальных панелей.