Связь объёма многогранников и площади плоских фигур

1.

Связь объёма многогранников
и площади плоских фигур
Подготовили Кащенко Анна,
Козырева Екатерина,
Немашкалова Анастасия

2.

Содержание:
• Бонавентура Кавальери
• Архимед
• Платон
• Связь между объёмом
многогранников и площадью
плоских фигур

3.

Бонавентура Кавальери (1598–1647)
Вклад в математику:
• Принцип Кавальери: один из первых методов вычисления объёмов тел, основанный на
идее, что объёмы двух тел равны, если их сечения, проведённые на одной и той же
высоте, имеют одинаковую площадь. Это позволило Кавальери решать задачи на
вычисление объёмов тел вращения, конусов и пирамид.
• Сравнение площадей и объёмов через сумму бесконечно малых сечений: Кавальери
использовал метод бесконечно малых для вычисления площадей и объёмов. Он
представлял себе, что объём тела можно вычислить, суммируя площади его
поперечных сечений, а площадь фигуры — как сумму площадей её бесконечно малых
элементов.

4.

Архимед (около 287 до н.э. — около 212 до н.э.)
Вклад в понимание связи между объёмом многогранников и площадью плоских фигур:
• Использовал метод исчерпывания Евдокса для вычисления площадей и объёмов
криволинейных фигур (параболы, сферы).
• Показал, как площади плоских фигур (треугольников, многоугольников) можно
использовать для приближения и вычисления объёмов тел (пирамиды, конусы).

5.

Платон (427 до н.э.— 347 до н. э.)
В своих работах Платон акцентировал внимание на геометрических и философских
свойствах этих фигур, но не занимался математическим анализом зависимостей между
их объёмами и площадями граней. Эти связи были позднее описаны через
геометрические соотношения и формулы
Вклад в понимание связи между объёмом многогранников и площадью плоских фигур:
• Использовал метод исчерпывания Евдокса для вычисления площадей и объёмов
криволинейных фигур (параболы, сферы).
• Показал, как площади плоских фигур (треугольников, многоугольников) можно
использовать для приближения и вычисления объёмов тел (пирамиды, конусы).

6.

Связь между объёмом многогранников и площадью плоских фигур
Объём многогранника часто определяется через площади его граней и высоту или
длину ребра.
Примеры:
• Призма: объём равен площади поперечного сечения, умноженной на длину ребра.
- Пирамида: объём определяется как площадь основания, умноженная на высоту.
Площадь плоских фигур (граней многогранника) играет ключевую роль в расчёте
объёма многогранника.

7.

Связь между объёмом многогранников и площадью плоских фигур
Для поверхностей вращения, таких как цилиндр или конус, объём также связан с площадью основания и
высотой или радиусом.
При изменении формы многогранников объёмы и площади поверхности могут изменяться по-разному:
Изгибаемые многогранники: При изгибании объём остаётся постоянным, если рёбра не меняются, но
форма поверхности меняется за счёт изменения двугранных углов. Площадь поверхности остаётся
постоянной, так как грани не меняют своих размеров.
Обычные многогранники: При изменении формы многогранника, например, растяжении или сжатии,
объём и площадь поверхности могут меняться. Объём прямо пропорционален кубу масштабного
коэффициента, а площадь поверхности — квадрату этого коэффициента.
Достроение до параллелепипеда: Если многогранник достраивается до параллелепипеда, то объём и
площадь поверхности изменяются в зависимости от добавленных частей.