Презентация к уроку вероятности и статистики _Условная вероятность. Умножение вероятностей._ (10 класс) (1)

1. Условная вероятность. Умножение вероятностей.

Условная вероятность.
Умножение вероятностей
Подготовила:
учитель математики
МБОУ Г.ГОРЛОВКИ «ШКОЛА № 42»
Рыбина М.В.
.

2.

Очень часто мы оказываемся в ситуации, когда в процессе проведения
случайного опыта нам приходится пересмотреть наше первоначальное
представление о вероятности какого-либо события.
До начала футбольного матча мы оценивали вероятность выигрыша
любимой команды примерно как 0,9, а после того, как в первом тайме она
пропустила три безответных мяча, наша уверенность в её победе упала до 0,2.
Готовясь к экзамену, Борис выучил только 10 билетов из 20, и его шансы
1
сдать экзамен были равны . Пятеро его товарищей уже зашли в аудиторию и
2
вытащили билеты, причём всем попались те, что выучил Борис. Его шансы
1
сдать экзамен упали до (так как осталось всего 15 билетов, и из них он может
3
ответить на 5).
Перед тем как трижды бросить монету, мы вычислили вероятность того, что
1
все три раза выпадет орёл: она оказалась равной . Вы бросили монету, и на
8
ней выпал орёл. Очевидно, вероятность нашего события увеличилась и стала
1
равна .
4

3.

Почему вероятность в приведённых примерах меняется? Ответ
простой:
происходят
события,
из-за
которых
какие-то
элементарные исходы вовсе исключаются из рассмотрения, а
вероятность каждого из оставшихся исходов увеличивается.
Например, в опыте с монетой было изначально 8
равновозможных исходов: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО,
РРР.
Из них только один был благоприятным для нашего события A
1
(все три раза выпадет «орел»), поэтому P(A) = .
8
После того как в первом испытании выпал орёл, осталось только
4 равновозможных исхода: ООО, ООР, ОРО, ОРР, поэтому
1
вероятность P(A) стала равняться .
4

4.

В такой ситуации говорят об условной вероятности события
A при условии, что произошло некоторое событие B. Эта
вероятность обозначается P(A | B). Обычная вероятность P(A),
которую мы вычисляем до начала опыта, называется при этом
безусловной вероятностью.
Условной вероятностью события A при условии события B
называется вероятность события A, вычисленная при
условии, что событие B произошло. В отличие от обычной
(безусловной) вероятности она обозначается как P(A | B).
Таким образом, в приведённых выше примерах мы вычисляли
две разных вероятности: сначала безусловную P(A), а потом
условную P(A | B).
Например, в последнем примере с монетой безусловная
1
1
вероятность P(A) = , а условная вероятность P(A | B) = , где
8
4
событие B = «при первом подбрасывании выпал орёл».

5.

Задача 1. В кармане у Макара лежат 6 орехов, 2 из которых
пустые. Он вынимает из кармана и раскалывает один за другим
2 ореха. Рассмотрим события:
A = {первый орех будет полным},
B = {второй орех будет полным}.
4
2
Очевидно, что P(A) = = .
6
3
А как вычислить P(B)?
Если событие A произошло (то есть у нас всего осталось 5
орехов, из них 3 полных), то вероятность события B снижается
3
до , а если не произошло (то есть первый вытянул пустой, то
5
осталось всего 5 орехов, но из них по – прежнему 4 полных) —
4
наоборот, увеличивается до . Обе этих вероятности есть не что
5
иное, как условные вероятности события B: первая — при
условии, что A произошло, а вторая — при условии, что A не
произошло (А = {первый орех будет пустым}
3
P(B | A) = = 0,6,
5
4
P(B | А) = = 0,8.
5

6.

Конечно, у события B есть и безусловная вероятность.
По комбинаторному правилу умножения наш опыт имеет
6 · 5 = 30 равновозможных исходов (первый орех можно
вытащить 6 способами, после чего второй орех — 5
способами). Чтобы посчитать благоприятные для B
исходы, разобьём их на два непересекающихся
множества:
- первый орех полный, и второй полный: 4 · 3 = 12
исходов;
- первый орех пустой, а второй полный: 2 · 4 = 8 исходов.
Теперь сложим эти два числа: 12 + 8 = 20. Получаем, что
20
2
P(B) =
= . Вероятности событий A и B оказались
30
3
одинаковыми. Ничего удивительного в этом нет — ведь
мы нашли безусловную вероятность события B,
полученную до того, как мы вынули первый орех. После
того как событие A произошло (или не произошло),
2
вероятность события B меняется и
= 0,66(6)
3

7. Задача 2

При подбрасывании двух кубиков в сумме выпало 6 очков. С какой вероятностью оба выпавшие
числа чётные?
Разберёмся, о какой вероятности идёт речь. Вот два события, которые рассматриваются в задаче:
A = {в сумме выпало 6 очков},
B = {на кубиках выпали чётные числа}.
Поскольку говорится, что событие A произошло, то нужно найти условную вероятность P(B | A).
В отличие от предыдущего примера, в котором опыт состоял из двух шагов, здесь событие A не
предшествует событию B во времени. Но оказывается, это не мешает вычислению условной
вероятности. Посмотрим, как это делается.
Если событие A произошло, то множество возможных исходов опыта сократилось: теперь вместо
36 возможных пар чисел остались только такие, которые дают в сумме 6:
(1, 5); (2, 4); (3, 3); (4, 2); (5, 1).
2
В двух из этих пяти исходов оба числа чётные, значит, P(B | A) = = 0,4. Заметим, что безусловная
5
вероятность события B равнялась 0,25. Её можно найти, если посчитать благоприятные исходы
для события B по правилу умножения: 3 · 3 = 9 (3 варианта выбрать чётное число для первого
9
1
кубика, и 3 варианта — для второго). Отсюда P(B) = = = 0,25. Как видите, событие A сильно
36 4
увеличило шансы события B — с 0,25 до 0,4.

8.

ПРИМЕР 3. Предположим, что в некотором городе 48 % населения – мужчины, а среди мужчин 15 % –
пенсионеры. Какова вероятность того, что случайно выбранный житель города окажется мужчиной на пенсии?
Решение
Эта вероятность равна доле мужчин – пенсионеров среди всех жителей города.
Пусть событие В «выбранный житель – мужчина». Тогда Р(В) = 0,48.
Обозначим А событие «выбранный житель – пенсионер». Тогда наша задача состоит в вычислении Р (А В).
Мы не знаем долю пенсионеров в городе, но знаем долю пенсионеров среди мужчин. Поэтому мы знаем
условную вероятность Р(А|В). Она равна 0,15. Цепочка событий в этой задаче изображена на рисунке.
Найти долю мужчин – пенсионеров несложно. Если численность населения обозначить n, то всего мужчин в
городе n 0,48, а мужчин – пенсионеров
n 0,48 0,15 = n 0,072,
т. е. вероятность события АВ равна 0,072. Эта вероятность получена умножением Р(В) на Р(А|В). Получилось
равенство Р(А В) = Р(В) Р(А|В).
Эту формулу мы получили на примере, но она верна для любых случайных событий в любых случайных
опытах.

9. Правило умножения вероятностей

Р(А В) = Р(В) Р(А|В)
Очерёдность событий в цепочке может быть
другой. Если поменять события местами,
получится равенство
Р(А В) = Р(А) Р(В|А)

10. Пример 4

В коробке 3 синих и 7 красных карандашей. По очереди два карандаша.
Найдём вероятность того, что сначала появится красный, а затем – синий
7
карандаш. Вероятность сначала извлечь красный карандаш равна . После
10
этого в коробке останется 3 синих и 6 красных карандашей. Значит,
3
вероятность извлечь теперь синий карандаш равна . Эта вероятность
9
условная. Для простоты обозначим цвета (для нас цвет это событие)
буквами К и С и по правилу умножения получаем
7
3
7
Р(КС) = Р(К) Р(С|К) = ∗ = .
10 9
30
Подумайте, как найти вероятность последовательности КСК при извлечении
трёх карандашей.
7
3 6
7
Р(КСК) = * * =
10 9 8
40

11. Формула условной вероятности.

Если вероятность события В больше нуля, то из
Р А∩В
Р(А В) = Р(В) Р(А|В) следует Р(А|В) =
Р(В)
Если вероятность события А больше нуля, то из
Р(А В) = Р(А) Р(В|А) следует
Р А∩В
Р(В|А) =
Р(А)

12. Пример 5

В торговом центре установлены два автомата, продающие кофе. Вероятность того, что к
концу дня кофе закончится в каждом отдельном автомате, равна 0,3. В обоих автоматах
кофе заканчивается к вечеру с вероятностью 0,21. Вечером пришёл мастер, чтобы
обслужить автоматы, и обнаружил, что в первом автомате кофе закончился. Какова
теперь вероятность того, что во втором автомате кофе тоже закончился?
Решение
Обозначим события:
А «кофе закончился в первом автомате»,
В «кофе закончился во втором автомате».
По условию Р(А) = 0,3, Р(А В) = 0,21. Нужно найти Р(А|В):
Р А∩В
Р(В|А) =
Р(А)
0,21
=
= 0,7.
0,3

13. Задание 6

При двукратном бросании игральной
кости сумма выпавших очков равна 8.
Найдите
условную
вероятность
события:
а) «в первый раз выпадет 3 очка»;
б) «при одном из бросков выпадет 3
очка»;
в) «в первый раз выпадет меньше 5
очков»;
г) «во второй раз выпадет меньше 2
очков».

14. Задание 7

В торговом центре рядом установлены два
автомата, продающие кофе. Вероятность
того, что к концу дня кофе закончится в
первом автомате, равна 0,2. Если это
случилось, то нагрузка на второй автомат
растёт, и кофе может закончиться в нём с
вероятностью 0,8. Найдите вероятность
того, что:
а) к концу дня в обоих автоматах закончится
кофе;
б) к концу дня кофе закончится только в
первом автомате. (Указание: найдите
сначала условную вероятность того, что
кофе во втором автомате не закончится)

15. Задание 8

В некотором городе 7 %
населения – студенты. Из всех
студентов 60 % учатся в
университете.
Найдите
вероятность
того,
что
случайно выбранный житель
этого
города
является
студентом университета.

16. Домашнее задание:

Выучить определения и формулы конспекта.
Выполнить в тетради
1. При двукратном бросании игральной кости сумма выпавших очков равна 9. Найдите условную
вероятность события:
а) «в первый раз выпадет 5 очков»; б) «при одном из бросков выпадет 4 очка»;
в) «в первый раз выпадет меньше очков, чем во второй»;
г) «во второй раз выпадет меньше чем 3 очка».
2. В посёлке 40 % взрослого населения занято в сельском хозяйстве, причём 5 % взрослого
населения посёлка работают в агропромышленном холдинге- «Нива». Для опроса случайно
выбран житель этого посёлка, и оказалось, что! он занят в сельском хозяйстве. При этом условии
найдите условную вероятность того, что он работает в холдинге «Нива».
3. В коробке было 2 красных и 3 синих фломастера. Ваня не глядя достал из коробки 3
фломастера, причём оказалось, что среди них есть и синий, и красный. Какова вероятность того,
что Ваня достал:
а) два синих фломастера и один красный;
б) два красных фломастера и один синий?