Лекция_3_формулы_17.09.2024

1. Лекция №3 Разработка программного обеспечения для моделирования физических процессов

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого
Лекция №3
Разработка программного обеспечения
для моделирования физических
процессов
Воскобойников С.П.
Доцент ВШ ПИ ИКНТ, к.ф.-м.н.
voskob_sp@spbstu.ru
17.09.2024

2. Содержание

• Невязка разностной схемы
• Структура погрешности решения
краевой задачи
• Разложение невязки и порядок
аппроксимации

3. Пример краевой задачи

d
du x
k x
q x u x f x ,
dx
dx
0 C1 k x C2 ,
Краевые условия третьего рода
k x
du x
1u x x a 1 ,
dx x a
1 0
du x
2u x x b 2 ,
dx x b
2 0,
k x
x a, b

4. Интегро-интерполяционный метод (метод баланса)

N число разбиений интервала a, b
x0 x1 ... xN ,
xi a, b ,
x0 a, xN b
hi xi xi 1 , i 1,2,..., N
xi 1/ 2
xi xi 1
,
2
i 1,2,..., N
hi 1
i 0
2 ,
h hi 1
i i
, i 1,2,..., N 1
2
hi
i N
2 ,
ui u xi
vi v xi
vi ui

5. Интегро-интерполяционный метод (метод баланса) Разностная схема с граничными условиями третьего рода

vi 1 vi
ki 1/ 2
1vi 1 i qi vi i f i , i 0
h
i 1
vi 1 vi
vi vi 1
ki 1/ 2
ki 1/ 2
i qi vi i f i , i 1,2,..., N 1
h
h
i 1
i
v v
2vi 2 ki 1/ 2 i i 1 i qi vi i f i , i N
hi

6. Интегро-интерполяционный метод (метод баланса) Разностная схема с граничными условиями третьего рода

ci
ki 1/ 2
i qi 1 ,
hi 1
k
bi i 1/ 2 , g i f i 1 ,
hi 1
k
k
k
ai i 1 / 2 , ci i 1 / 2 i 1 / 2 i qi ,
hi
hi
hi 1
k
ai i 1/ 2 ,
hi
ci
ki 1/ 2
i qi 2 ,
hi
b0
c1
.
g i f i 2 ,
b1
.
.
i 1,2,..., N 1
i N
A N 1 N 1 , v, g R( N 1)
Av g ,
c0
a
1
A
k
bi i 1 / 2 , g i f i ,
hi 1
i 0
.
.
.
.
.
.
a N 1
cN 1
aN
,
bN 1
cN
v0
v
1
.
v . ,
.
v
N 1
v
N
g0
g
1
.
g .
.
g
N 1
g
N

7. Невязка разностной схемы

Av g ,
v0
u0
v
u
1
1
.
.
v . , u . ,
.
.
v
u
N 1
N 1
v
u
N
N
A N 1 N 1 , v, g R( N 1)
v~0
v~
1
.
v~ . ,
.
~
vN 1
v~
N
v~ u,
z v~ v,
Невязка разностной схемы g Au
Невязка алгебрической системы r g Av~
v u

8. Структура погрешности разностной схемы

v~ u v~ v v u z z
g Au A A 1 g u A v u
A
A 1
r g Av~ A A 1g v~ A v v~
Az r
z A 1r
A 1r A 1 A 1 r
A 1 r
A 1 C

9. Вклад от погрешности решения системы алгебраических уравнений

z A
1
r A A
z A A 1
1
r
A
g
A
v
r
v
g
cond A A A 1
r
~ M
g
z cond ( A)
r
v ~ cond ( A) M v
g
10 7 ,
M ~ 16
10 ,
4 bytes
8 bytes

10. Разложение невязки для уравнения

xi 1 / 2
xi xi 1
h
xi ,
2
2
i 1,2,..., N
h
i 0
2 ,
i h, i 1,2,..., N 1
h
,
i N
2
i hf i ki 1/ 2
ui 1 ui
u ui 1
ki 1/ 2 i
hqi ui , i 1,2,..., N 1
h
h

11. Разложение невязки для уравнения

dui h 2 d 2ui h3 d 3ui h 4 d 4ui
5
ui 1 u xi h ui h
O
h
dx 2 dx 2
6 dx 3 24 dx 4
ui 1 ui dui h d 2ui h 2 d 3ui h3 d 4ui
O h4
2
3
4
h
dx 2 dx
6 dx
24 dx
h
h dki h2 d 2 ki h3 d 3ki
4
ki 1 / 2 k xi ki
O
h
2
2 dx 8 dx 2 48 dx3
1 d 2ui 1 dki dui
ui 1 ui
dui
d 3ui 1 dki d 2ui 1 d 2 ki dui
2 1
ki 1 / 2
ki
h ki 2
h 6 ki dx 3 4 dx dx 2 8 dx 2 dx
h
dx
2
dx
2
dx
dx
1 d 4ui 1 dki d 3ui 1 d 2 ki d 2ui 1 d 3ki dui
4
h ki 4
O
h
12 dx dx 3 16 dx 2 dx 2 48 dx 3 dx
24 dx
3

12. Разложение невязки для уравнения

dui h 2 d 2ui h 3 d 3ui h 4 d 4ui
5
ui 1 u xi h ui h
O
h
dx
2 dx 2
6 dx 3 24 dx 4
ui ui 1 dui h d 2ui h 2 d 3ui h3 d 4ui
4
O
h
h
dx 2 dx 2
6 dx 3 24 dx 4
h
h dki h2 d 2ki h3 d 3ki
4
ki 1 / 2 k xi ki
O
h
2
2 dx 8 dx 2 48 dx3
1 d 2ui 1 dki dui
ui ui 1
dui
d 3ui 1 dki d 2ui 1 d 2 ki dui
2 1
ki 1 / 2
ki
h ki
h ki
2
3
2
2
h
dx
2
dx
2
dx
dx
6
dx
4
dx
dx
8
dx
dx
1
d 4ui 1 dki d 3ui 1 d 2 ki d 2ui
1 d 3 ki dui
4
h ki
O
h
4
12 dx dx 3 16 dx 2 dx 2 48 dx 3 dx
24 dx
3

13. Разложение невязки для уравнения

i hf i ki 1 / 2
ui 1 ui
u ui 1
ki 1 / 2 i
hqiui , i 1,2,..., N 1
h
h
dui
1 d 2ui 1 dki dui
d 3ui 1 dki d 2ui 1 d 2 ki dui
2 1
k
h
k
h
k
i
2 i dx 2 2 dx dx
6 i dx 3 4 dx dx 2 8 dx 2 dx
dx
d 4ui 1 dki d 3ui 1 d 2 ki d 2ui 1 d 3ki dui
3 1
h ki 4
3
2
2
3
12 dx dx
16 dx dx
48 dx dx
24 dx
i hf i
2
3
2
2
k dui h 1 k d ui 1 dki dui h 2 1 k d ui 1 dki d ui 1 d ki dui
2 i dx 2 2 dx dx
6 i dx 3 4 dx dx 2 8 dx 2 dx
i dx
3 1 d 4ui 1 dki d 3ui 1 d 2 ki d 2ui 1 d 3ki dui
4
h
k
O
h
hq
u
i i
24 i dx 4 12 dx dx 3 16 dx 2 dx 2 48 dx 3 dx

14. Разложение невязки для уравнения

d 2u dk du
d 4u 1 dk d 3u 1 d 2 k d 2u 1 d 3k du
3 1
i h f k 2
qu
h k 4
O h4
3
2
2
3
dx
dx dx
6 dx dx 8 dx dx
24 dx dx x x
x xi
12 dx
i
d 2u dk du
d du
k
k
dx 2 dx dx
x xi dx dx x xi
d du
d 4u 1 dk d 3u 1 d 2 k d 2u 1 d 3k du
3 1
i h f k qu h k 4
O h4
3
2
2
3
dx dx
6 dx dx 8 dx dx
24 dx dx x x
x xi
12 dx
i
f
d du
k
qu 0
dx dx
1 d 4u 1 dk d 3u 1 d 2 k d 2u 1 d 3k du
i h k 4
O h4
3
2
2
3
6 dx dx 8 dx dx
24 dx dx x x
12 dx
3
i
p 3 1 2

15. Разложение невязки для уравнения

v v
v v
ki 1 / 2 i 1 i ki 1 / 2 i i 1 hqi vi hf i , i 1,2,..., N 1
h
h
v v
v v
ki 1/ 2 i 1 2 i ki 1/ 2 i 2 i 1 qi vi f i , i 1,2,..., N 1
h
h
i f i ki 1 / 2
ui 1 ui
ui ui 1
k
qiui , i 1,2,..., N 1
i 1 / 2
2
2
h
h
d du
d 4u 1 dk d 3u 1 d 2 k d 2u 1 d 3k du
2 1
3
i h f k qu h k 4
O
h
dx dx
6 dx dx 3 8 dx 2 dx 2 24 dx 3 dx x x
x xi
12 dx
i
0
p 2 0 2
ki 1/ 2 vi 1 vi ki 1/ 2 vi vi 1 h 2 qi vi h 2 f i , i 1,2,..., N 1
i h 2 f i ki 1 / 2 ui 1 ui ki 1 / 2 ui ui 1 h 2 qiui , i 1,2,..., N 1
d du
d 4u 1 dk d 3u 1 d 2 k d 2u 1 d 3k du
4 1
i h f k qu h k 4
O h5
3
2
2
3
dx dx
6 dx dx 8 dx dx
24 dx dx x x
x xi
12 dx
i
2
p 4 2 2

16. Разложение невязки для граничного условия слева

Краевое условие третьего рода
du x
1u x x a 1 ,
dx x a
1 0,
v v
h
h
ki 1 / 2 i 1 i 1vi 1 qi vi f i , i 0
h
2
2
i
u u
h
h
f i ki 1/ 2 i 1 i 1ui 1 qi ui , i 0
2
h
2
1 d 2ui 1 dki dui
ui 1 ui
dui
d 3ui 1 dki d 2ui 1 d 2 ki dui
2 1
ki 1 / 2
ki
h ki 2
h ki 3
O h3
2
2
h
dx
2 dx dx
4 dx dx
8 dx dx
2 dx
6 dx
1 d 2ui 1 dki dui
h
dui
d 3ui 1 dki d 2ui 1 d 2 ki dui
2 1
i f i ki
h ki 2
h ki 3
O h3
2
2
2
dx
2 dx dx
4 dx dx
8 dx dx
2 dx
6 dx
h
1ui 1 qiui , i 0
2

17. Разложение невязки для граничного условия слева

1 d 2ui 1 dki dui 1
dui
1
i h ki
1ui 1 h f ki
q
u
i i
2
2 dx
2 dx dx 2
dx
2
0
1 d 3ui 1 dki d 2ui 1 d 2 ki dui
3
h ki
O
h
,
3
2
2
6
dx
4
dx
dx
8
dx
dx
2
k x
i 0
du x
1u x x x 1 0, i 0
i
dx x xi
1
1 d 2ui 1 dki dui 1
1
d du
f ki
q
u
f
k
qu
0
i i
2
2
2 dx
2 dx dx 2
2
dx dx
1 d 3ui 1 dki d 2ui 1 d 2ki dui
3
i h ki 3
O
h
,
2
2
4 dx dx
8 dx dx
6 dx
2
p 2 0 2
i 0

18. Разложение невязки для граничного условия справа

Краевое условие третьего рода
k x
du x
2u x x b 2 ,
dx x b
2 0
v v
h
h
2vi 2 ki 1 / 2 i i 1 qi vi f i , i N
h
2
2
1 d 2ui 1 dki dui 2 1 d 3ui 1 dki d 2ui 1 d 2 ki dui
ui ui 1
dui
ki 1/ 2
ki
h ki 2
h ki 3
O h3
2
2
h
dx
2 dx dx
4 dx dx
8 dx dx
2 dx
6 dx
1 d 2ui 1 dki dui 2 1 d 3ui 1 dki d 2ui 1 d 2 ki dui
dui
h
i f i 2 ui 2 k i
h ki
h ki
2
3
2
2
2
dx
2 dx dx
4 dx dx
8 dx dx
2 dx
6 dx
h
O h3 qi ui , i N
2

19. Разложение невязки для граничного условия справа

dui 1
1 d 2ui 1 dki dui 1
i h 2 ui 2 k i
h f i ki
qi ui
2
dx
2
2
dx
2
dx
dx
2
0
1 d 3ui 1 dki d 2ui 1 d 2 ki dui
h ki 3
O h3 , i N
2
2
4 dx dx
8 dx dx
6 dx
2
k ( x)
du x
2u x x x 2 0, i N
i
dx x xi
1
1 d 2ui 1 dki dui 1
1
d du
f ki
q
u
f
k
qu
0
i i
2
2
2 dx
2 dx dx 2
2
dx dx
1 d 3ui 1 dki d 2ui 1 d 2ki dui
3
i h ki 3
O
h
, i N
2
2
4 dx dx
8 dx dx
6 dx
2
p 2 0 2

20. Разложение невязки для уравнения в цилиндрической и сферической системе координат

1 d n du
n
r
k
qu
r
f,
dr
r dr
d
du
r n k r n qu r r n f ,
dr
dr
~
k r nk ,
d ~ du ~
~
k
q
u
r
f,
dr dr
q~ r q,
n
~ n
f r f,
~
~
~
4
~ d ~ du ~
1 dk d 3u 1 d 2 k d 2u 1 d 3k du
3 1 ~ d u
i h f k
O h4
qu h k 4
3
2
2
3
dr dr
6 dr dr
8 dr dr
24 dr dr r r
r ri
12 dr
i
4
n
d n du n
1 d r n k d 3u 1 d 2 r n k d 2u 1 d 3 r n k du
3 1
n d u
i h r f r k r qu h r k 4
O h4
3
2
2
3
dr
dr
dr
6 dr dr
8 dr
dr
24 dr
dr r r
r ri
12
i
p 2 0 2

21. Разложение невязки для граничных условий 3-его рода в цилиндрической и сферической системе координат

du r
du r
k r
u r ,
0
rn ,
r n k r
r n u r r n ,
dr
r R
r R
~
k r n k r ,
r R
~ r n ,
i h 0 ~u ~ k~
dr
~ r n ,
r R
r R
~ du r
k r
~u r r R ~,
dr r R
~ d ~ du ~
du
h
f
k
q
u
r
dx r ri
dr dr
r r
i
1 ~ d 3u 1 dk~ d 2u 1 d 2 k~ du
3
h k 3
O
h
, i N
2
2
4 dr dr
8 dr dr r r
6 dr
i
2
i h 0 r n u r n k
n
du
d n du ~
h
r
f
r
k
q
u
r
dr r ri
dr
dr
r r
i
1 n d 3u 1 d r n k d 2u 1 d 2 r n k du
h r k 3
O h3 , i N
2
2
dr
4 dr dr
8 dr
dr r r
6
i
2
p 2 0 2
r R

22. Разложение невязки для условия ограниченности

1 d n du
n
r
k
qu
r
f,
dr
r dr
0 C1 k r C2 ,
u r 0 ограничено k r
r 0, R
du
0
dr r 0
n
vi 1 vi
h
ri n 1 / 2 h ri n 1 / 2
ri 1/ 2 k i 1/ 2
0 qi vi
fi
, i 0
h
2
n 1 2 n 1
h ri n 1 / 2
ui 1 ui
h
ri n 1 / 2
n
i f i
ri 1/ 2 k i 1/ 2
0 qiui
, i 0
2 n 1
h
2
n 1
1 d 2ui 1 dki dui
ui 1 ui
dui
d 3ui 1 dki d 2ui 1 d 2 ki dui
2 1
3
ki 1 / 2
ki
h ki 2
h ki 3
O
h
h
dr
2 dr dr
4 dr dr 2 8 dr 2 dr
2 dr
6 dr

23. Разложение невязки для условия ограниченности

dui
1 d 2ui 1 dki dui
k
h
k
i
2 i dr 2 2 dr dr
dr
h ri n 1 / 2
h
ri n 1 / 2
n
i f i
r
0 qiui
, i 0
2 n 1 i 1/ 2 2 1 d 3ui 1 dki d 2ui 1 d 2 ki dui
2
n
1
h ki 3
O h3
2
2
4 dr dr
8 dr dr
6 dr
i r
d 2ui dki dui
dui
h ri n 1/ 2
qi ui
k
0
f i n 1 ki
2
dr
2 n 1
dr dr
dr
n
i 1 / 2 i
1 d 3ui 1 dki d 2ui 1 d 2 ki dui
ri 1 / 2 h ki 3
O h3 ,
2
2
4 dr dr
8 dr dr
6 dr
n
k
2
du
0
dr r 0
i 0
d du
f r 0 n 1 k qu 0
dr dr
r 0
1 d 3ui 1 dki d 2ui 1 d 2ki dui
3
i h ri 1/ 2 ki 3
O
h
, i 0
2
2
4 dr dr
8 dr dr
6 dr
2 n
p 2 0 2

24. Зависимость погрешности решения от шага