Teoriya veroyatnostey Lektsiya 1 MTI

1. Теория вероятностей

Автор: Кийко П.В.

2. ТЕМЫ КУРСА:

Тема1. Основные комбинаторные объекты
Тема 2. Элементы теории вероятности

3. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности
случайных явлений, случайные события, случайные величины, их свойства и
операции над ними. Теория вероятностей возникла как наука из убеждения,
что в основе массовых случайных событий лежат детерминированные
закономерности, теория вероятностей изучает эти закономерности.
Математическая статистика – математическая наука, разрабатывающая
математические методы систематизации и использования статистических
данных для научных и практических выводов.

4. Тема 1. Основные комбинаторные объекты

Задачи называются комбинаторными, если в них определяется число способов осуществления
того или иного действия
Наука, изучающая способы решения комбинаторных задач, называется комбинаторикой.
Комбинаторика - это раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора
элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составленной
по заданным правилам. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова
«combinare», которое означает «соединять, сочетать».

5. Принцип умножения

Задача:
Требуется совершить путешествие по маршруту Оренбург-Самара-Казань. Известно, что из Оренбурга до Самары можно
добраться поездом, самолетом или на автомобиле; из Самары
до Казани: самолетом, поездом, пароходом или на автомобиле.
Сколькими способами можно осуществить такое путешествие?
Решение
ПОЕЗД
ПОЕЗД
Оренбург
САМОЛЕТ
САМОЛЕТ
Самара
АВТОМОБИЛЬ
Из Оренбурга до Самары можно
добраться 3 способами, для каждого из
них из Самары до Казани – 4 способами.
Таким образом, такое путешествие можно
осуществить 12 способами.
ТЕПЛОХОД
АВТОМОБИЛЬ
Казань
12 способов

6. Принцип умножения

Теорема
Если требуется выполнить одно за другим k действий, причем первое
действие можно выполнить n1 способами, второе – n2
способами,…,
k-ое – nk способами, то все k действий вместе можно выполнить
n1*n2*…*nk способами
4 мальчика 4 девочки садятся на 8 расположенных подряд стульев, причем
мальчики садятся на места с четными номерами, а девочки – на места с
нечетными номерами. Сколькими способами это можно сделать ?
Первый мальчик может сесть на любое из четырех четных мест, второй - на любое из
оставшихся трех мест, третий – на любое оставшихся двух мест. Последнему мальчику
предоставляется всего одна возможность. Согласно правилу умножения, мальчики
могут занять четыре места 4·3·2·1=24 способами. Столько же возможностей имеют и
девочки. Таким образом, согласно правилу умножения, мальчики и девочки могут
занять все стулья
24 · 24=576 способами.

7. Правило сложения

Если два действия взаимно исключают друг друга, при чем одно из
них можно выполнить m способами, а другое – n способами, то
выполнить одно любое из этих действий можно m+n способами.
Это правило легко распространить на любое конечное число
действий

8. Размещения

Размещением из n элементов по m называется любое
упорядоченное подмножество из m элементов множества,
состоящего из n различных элементов
Теорема: число размещений из n по m равно
n!
An (n m)!
m

9. 1) В журнале 10 страниц , необходимо на страницах поместить 4 фотографии. Сколькими способами это можно сделать , если ни одна

страница газеты не должна содержать более одной фотографии ?
10!
10!
А10 (10 4)! 6! 7 8 9 10 5040СП
4
2)Сколько можно записать четырехзначных чисел , используя без
повторения все десять цифр?
10!
А10 6! 7 8 9 10 5040СП
9!
9!
3
А9 (9 3)! 6! 7 8 9 504СП
4
Ответ : 5040 504 4536способов

10. Перестановки

Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное
множество, в которое входят по одному разу все n различных
элементов данного множества
Теорема: Число перестановок n различных элементов равно n!
n
!
Рn

11.

1) Записать все возможные перестановки для чисел 3,5,7
3,5,7 ; 3,7,5 ; 5,3,7 ; 5,7,3 ; 7,3,5 ; 7,5,3
2) Сколькими способами можно расставить десять различных книг на
полке, чтобы определенные четыре книги стояли рядом?
Р 6! 720
6
Р 4! 24
4
Р Р 720 24 17280
6
4

12. Сочетания

Сочетанием
из n элементов по m называется любое
подмножество из m элементов, которые принадлежат
множеству, состоящему из n различных элементов
Теорема: Число сочетаний из n по m равно
n!
C n m!(n m)!
m
Следствие: Число сочетаний из n элементов по
n-m
m n
m
равно числу сочетаний из n элементов по m С n C n
n
0
1
n 1
n
n
n
n
С 1 С 1 С n С
n

13. Способов выбора былых шаров

1) Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 7
шаров , что бы среди них были 3 черных ?
Решение: среди выбранных шаров 4 белых и 3 черных.
10!
210
4! 6!
5!
3
С 5 3! 2! 10
С10
4
Способов выбора былых шаров
Способов выбора черных шаров
4
3
По правилу умножения искомое число способов равно
С10 С 5 2100
2) Сколькими способами можно группу из 12 человек разбить на две подгруппы, в
одной из которых должно быть не более 5 , а во второй- не более 9 человек ?
С
С
С
3
12
4
12
5
12
220
Подгруппа из 3 человек
495
Подгруппа из 4 человек
792
Подгруппа из 5 человек
Выбор первой подгруппы однозначно определяет вторую, по правилу сложения
искомое число способов равно:
3
4
5
С С С 1507
12
12
12

14. Случайные события. Операции над событиями

Событие- явление , которое происходит в результате осуществления какого-либо
определенного комплекса условий. Осуществление комплекса условий называется
опытом или испытанием. Событие- результат испытания.
Случайным событием называется событие, которое может произойти или не произойти
в результате некоторого испытания ( при бросании монеты может выпасть орел , а может и
не выпасть).
Достоверным событием называется событие, которое обязательно произойдет в
результате испытания ( извлечение белого шарика из ящика с белыми шарами).
Невозможным считается событие, которое не может произойти в результате данного
испытания( извлечение черного шарика из ящика с белыми шарами).

15. Случайные события

Событие А называется
благоприятствующим событию В , если
появление события А влечет за собой появление события В.
События А и В называются не совместными, если в результате данного
испытания появление одного из них исключает появление другого (
испытание: стрельба по мишени ; А-выбивание четного числа очков; В- не
четного).
События А и В называются совместным, если в результате данного
испытания появление одного из них не исключает появление другого( А- в
аудиторию вошел учитель; В- вошел студент).

16. Случайные события

___
Два события А и А называются противоположными, если не появление ___
одного
из них в результате испытания влечет появление другого( А
отрицание А).
Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно
должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны,
то эта группа событий называется полной группой событий.
События называются равновозможными , если по условию испытания
нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое
другое ( А-орел; В-решка).

17. Операции над событиями

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в
наступлении хотя бы одного из них в результате испытания.
Пример: в ящике находится красный, черный и белый шары.
А- извлечение черного шара
В- извлечение красного шара
С- извлечение белого шара
А+В – извлечен черный или красный шар
В+С – извлечен красный или белый шар
А+С – извлечен черный или белый шар

18. Операции над событиями

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее
в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания.
Пример: происходят следующие события:
А- из колоды карт вынута ”дама”
В- вынута карта пиковой масти
А∙В – событие – вынута карта “дама пик”

19. Классическая формула вероятности

Вероятность события- это численная мера объективной возможности ее появления.
Если имеется полная группа попарно несовместных и равновозможных событий, то
вероятность Р(А) наступления события А вычисляется как отношение числа исходов,
благоприятствующих наступлению события, к числу всех исходов испытания.
М
Р ( А)
N
N – число всех исходов испытания
М – число исходов благоприятствующих событию А
Свойство вероятности:
1) Вероятность достоверного события равна 1
2) Вероятность невозможного события равна 0
М N
1
N N
М 0
Р( А)
0
N N
Р( А)
3) Вероятность события А удовлетворяет двойному неравенству
0 Р( А) 1

20.

1) В ящике 4 черных и 6 белых шаров, извлекают 1 шар , какова
вероятность что шар будет белым, черным ?
6
0,6
10
N=10; М=6; А- Извлечение белого шара
Р ( А)
N=10; М=4; А- Извлечение черного шара
Р ( А)
4
0,4
10
2) В ящике 10 шаров 2 черных, 4 белых, 4 красных, извлекают 1 шар.
Какова вероятность, что он:
А- черный; В- белый; С- красный; D- зеленый
N=10; М=2
Р ( А)
2
0,2
10
N=10; М=4
Р( В)
4
0,4
10
N=10; М=4
Р (С )
4
0,4
10
N=10; М=0
Р( D)
0
0
10

21. Статистическая и геометрическая вероятности

Было замечено , что при многократном повторении опытов относительная частота
появления события в этих опытах стремится к устойчивости. Под относительной частотой
появления события понимается отношение М/N , где N- число опытов; М-число появления
события. При увеличении опытов относительная частота появления события будет
практически сколь угодно мало отличаться от некоторого постоянного числа, которое и
принимается за вероятность события в отдельном опыте. Относительную частоту
появления события называют статистической вероятностью. С возрастанием числа опытов,
относительная частота стремится к вероятности Р(Г)=0,5. Относительную частоту при
достаточно большем числе опытов , можно считать приближенным значению вероятности.
Геометрической вероятностью события называется отношение меры области,
благоприятствующей появлению события , к мере всей области.

22. Теорема сложения вероятностей

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, равна
сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных
событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р( А1 А2 А3 ... Аn) Р( А1) Р( А2) Р( А3) ... Р( Аn)
Р( i 1 Аi) i 1 Р( Аi)
n
n
Сумма вероятностей попарно несовместных
событий, образующих полную группу , равна 1.
А А А ..., А
1,
2,
3,
n,

23. Теорема сложения вероятностей

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1
___
Р ( А) Р ( А ) 1
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий
равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их
совместного наступления:
Р ( А В ) Р ( А) Р ( В ) Р ( АВ)

24. Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность

Условной вероятностью Р А (В ) называется вероятность события В, вычисленная в
предположении, что событие А уже наступило.
Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности
одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что
первое событие уже наступило:
Р( АВ) Р( А) Р А ( В)
Два события называются независимыми, если появление любого из них не изменяет
вероятность появления другого:
Р( А) Р В ( А)
или
Р( В) Р А ( В)
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению
их вероятностей:
Р( АВ) Р( А) Р( В)

25. Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность

Вероятность совместного наступления конечного числа событий равна произведению
вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем условная
вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все
предыдущие уже наступили:
Р(А1А2А3…Аn)=Р(А1)РА1(А2)РА1А2(А3)…РА1А2А3 …Аn-1(Аn);
РА1А2А3…Аn-1(Аn) – вероятность появления события Аn , __
вычисленная в предположении, что события А1А2А3…Аn-1 произошли
__ __ __
АА А А
1
2
3.....
n
Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности,
равна произведению вероятностей этих событий:
Р( А1 А2 А3...Аn) Р( А1) Р( А2) Р( А3)...Р( Аn)
Вероятность появления хотя бы одного из событий А1А2А3…Аn , независимых в совокупности,
равна разности между единицей и произведением вероятностей
__ __ __ __противоположных
событий
А1 А2 А3..... Аn
Р( А1 А2 А3 ... Аn) 1 Р(
__
А
) Р(
1
__
А
2
) Р(
__
А
) Р...(
3
__
А
n
)

26. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Вероятность события А, которое может наступить только при условии
появления одного из событий H1, H2, H3,…,Hn , образующих полную
группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений
вероятностей каждого из событий H1, H2, H3,…,Hn на соответствующую
условную вероятность события А :
n
Р ( А) Р ( H i ) Р
i 1
Hi
( А)
Формула полной вероятности

27. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Рассмотрим события В1, В2, В3,…,Вn которые образуют полную группу
событий и при наступлении каждого из них Вi событие А может наступать
с некоторой условной вероятностью
РВi (А)
Тогда вероятность наступления события А равна сумме произведений
вероятностей каждого из событий на соответствующую условную
вероятность события А
Р( А) Р( В1) Р ( А) Р( В2) Р ( А) ... Р( Вn) Р ( А)
В1
В2
Вn
Сколько бы не было вероятностей:
Р( В1) Р( В2) ... Р( Вn) 1

28. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Рассмотрим событие А которое может наступить при условии
появления одного из несовместных событий, В1, В2, В3,…,Вn ,
которые образуют полную группу событий. Если событие А уже
произошло то вероятность событий может быть переоценена по
формуле Байеса, формуле вероятности гипотез:
Р А ( Вi )
Р( Вi) Р В ( А)
i
Р ( А)

29. Формула Бернулли

Вероятность того что в n независимых испытаниях в каждом из которых
вероятность появления события равна Р , Р(0<Р<1) , событие наступит К
раз безразлично в какой последовательности, вычисляется по формуле
Бернулли
к
Р (К ) С р q
к
n
n к
q=1-p ; q- вероятность противоположного
n
события
или
к
n m
n!
Рn ( К ) К!(n К )! р q

30. Асимптотические формулы

Если число испытаний велико, то использование формулы Бернулли будет
нецелесообразным в силу необходимости выполнения громоздких
вычислений. Теорема Муавра-Лапласа, дающая асимптотическую формулу,
позволяет вычислить вероятность приближенно.
Теорема: Если вероятность наступления события А в каждом из n
независимых испытаниях равна p и отлична от нуля и единицы, а число
испытаний достаточно велико, то вероятность Рn(m) того, что в n испытаниях
событие А наступит m раз, приближенно равна значению функции
y
f (u )
1
f (u), где
npq
2
1
u / 2 , u m np
e
2
npq

31. Асимптотические формулы. Распределение Пуассона

Если вероятность события в отдельном испытании близка к нулю, то
применяют другую асимптотическую формулу- формулу Пуассона. Теорема:
Если вероятность р наступления события А в каждом испытании
постоянна, но близка к нулю, число независимых испытаний n достаточно
велико, а произведение np= , то вероятность Рn(m) того, что в n
независимых испытаниях событие А наступит m раз, приближенно равна
e
m
m!
e
m
Рn (m)
m!