ТМОИС 01

1. Тема 1. Цели и задачи курса. Введение в теорию множеств

"ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЕ
ОСНОВЫ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ СИСТЕМ“
Лекция 1

2. Множества, элементы, семейства

Множество - неопределяемое понятие;
некоторая совокупность объектов.
Объекты в составе множества – элементы.
х ∈ М - «элемент х принадлежит множеству М»;
х ∉ М - «элемент х не принадлежит множеству М».
Множество множеств - класс или семейство.

3. Универсальное и пустое множества

Универсальное множество U – некоторое
достаточно широкое множество, из которого
берутся все возможные элементы.
Определяется рассматриваемой задачей
(важно!).
Пустое множество ∅ не содержит ни
одного элемента.

4. Мощность множества

Мощность множества X – количество
элементов в нем. Обозначение - |Х|.
Если элементы множества X можно
занумеровать натуральными числами {1,2, ...,n},
то оно конечное, |Х| = n.
|∅ | = 0 (и только его), так что ∅ тоже конечное.
Остальные множества бесконечны.

5. Подмножество, надмножество. Равенство множеств

Пусть каждый элемент множества A входит во
множество B. Тогда A - подмножество B,
а B – надмножество A. Обозначение: A ⊆ B, B ⊇ A.
Если одновременно A ⊆ B и B ⊆ A, то A = B .
Заметим:
• ∅ входит в любое множество.
• A = B, значит |A| = |B|. Но не наоборот!

6. Собственные подмножества и надмножества

Пусть множество A входит во множество B, но в B
есть и какие-то другие элементы,
т.е. A ⊆ B, но A ≠ B.
В таком случае A - собственное подмножество B, а
B - собственное надмножество A.
Обозначение: A⊂ B, B⊃ A .
Заметим:
• A ≠ ∅ или А ⊃∅ означает, что A - непустое.
• Ситуация A⊂ B и B⊂ A невозможна!

7. Элементы vs. Подмножества

Заметим:
• Обозначения ∈, ∉ относятся и применимы к
элементам множеств
• Обозначения ⊆, ⊂ относятся и применимы
к самим множествам, но не к отдельным
элементам (!)
Важно различать а как элемент и {a} как
множество, состоящее из одного элемента а

8. Примеры

Пусть A – множество, состоящее из двух
элементов a и b.
• Правильные записи:
а ∈ А, {a}⊂ A, A={a,b}, A ∈ {А}
• Неправильные записи:
а ⊂ А, {a}∈ A, A={{a},{b}}, A={A}

9.

Продолжение темы –
на следующей лекции