Метод площадей. Теория

1.

Теория
Задачи

2. Метод площадей. Теория.

Теорема 1.
h
S1
m
Если треугольники имеют общую
вершину и их основания лежат
на одной прямой, то площади
треугольников
пропорциональны длинам их
оснований :
S2
n
S1 m
S2 n
Доказательство:
S1 0,5 m h m
S2 0,5 n h n

3. Метод площадей. Теория.

Теорема 2.
S2
S
S 1mx S6 nx
5
S3 my
m
S4 ny
n
Доказательство:
Если треугольники имеют
общую сторону, то их площади
пропорциональны длинам
отрезков, высекаемых
продолжением их общей
стороны на прямой,
соединяющей их вершины:
S1
m
S2
n
S1
S5 S 3
mx my m ( x y ) m
S2
S6 S 4
nx ny
n ( x y)
n

4. Метод площадей. Теория.

B
D
S1
A
H
S2
C K
Доказательство:
S ABC S ADC BH DK
Прямая BD параллельна прямой АС.
Теорема 3.
Если основания
треугольников
совпадают, а вершины
лежат на прямой,
параллельной основанию,
то площади треугольников
– одинаковы.
(Обратная) Если площади
треугольников АВС и АВD
равны, то прямые АС и ВD
параллельны.

5. Метод площадей. Теория.

B
m
a
N
n
b
M
Теорема 4.
Если два треугольника
имеют общий угол, то их
площади относятся как
произведения сторон,
содержащих этот угол.
C
S ABC
AB BC
S BMN BN BM
Доказательство:
A
S ABC 0,5ab sin B ab
S BMN 0,5mn sin B mn

6. Метод площадей. Теория.

a
S1
b
ka
S2
kb
Теорема 5.
Площади подобных
треугольников
относятся как квадрат
коэффициента
подобия.
Доказательство:
Углы треугольников равны, поэтому по
предыдущей теореме получаем
S1
a b
1
2
S2
ka kb k

7. Метод площадей. Задачи-иллюстрации.

B
Метод площадей.
Задачи-иллюстрации.
x
В треугольнике АВС
проведены
медианы, М – точка их
пересечения. Найти
площадь треугольника
АВМ, если площадь
исходного треугольника
равна 9.
A1
M
2x M
A
C
Решение:
B1
1) S ABA1 : S ACA1 1 : 1 S ABA1 0,5 9 4,5
2
2) S ABM : S BMA1 2 x : x 2 : 1 S ABM 4,5 3
3

8. Метод площадей. Задачи-иллюстрации.

10 n
SS1 1 10
S4 ?
S22 15
m S3 24
Диагонали разделили
четырехугольник на
треугольники, площади
трех из которых равны 10,
15 и 24.
Найти площадь четвертого
треугольника.
Решение:
1)S1 : S2 10 : 15 2 : 3 n : m
2
2) S4 : S3 n : m 2 : 3 S4 24 16
3

9. Метод площадей. Задачи-иллюстрации.

В?
5
P
А
12
M
24
3x
2x
10
Метод площадей.
Задачи-иллюстрации.
К
y
2y
6x
N 18
?
В треугольнике АВС проведены
чевианы, которые пересекаются
в одной точке и высекают на
стороне АВ отрезки 5 и 10, а на
стороне АС отрезки 12 и 18.
Найти длины отрезков,
высекаемых на стороне ВС, если
ее длина 24.
С
Решение:
1) S ABK : SBKC AN : NC 12 : 18 2 : 3
2) S ACK : SBKC AP : PB 10 : 5 2 : 1
3) y 3x 2 y 6 x
4) BM : MC S ABK : S AKC 2 x : 6 x 1 : 3
Ответ: ВМ=6, МС=18.

10. Метод площадей. Задачи-иллюстрации.

B
2x C
4?y
O
z
z
?
O
6?y
6y
9?y
9y
A
3x
3) Используем отношение площадей:
В трапеции проведены обе
диагонали. Ее основания
относятся как 2:3. Площадь всей
трапеции равна 75. Найти площади ее
кусочков.
Решение:
1) ΔАОD подобен ΔСОВ
с коэффициентом 2:3. Следовательно,
SBOSC : S AOD 4 : 9
D
2) Площади треугольников ABD и
ACD одинаковы, треугольник AOD –
их общая часть, поэтому площади
треугольников АОВ и СOD равны.
S ABO
AO
S
z
9y
AOD
S BOC
OC
S DOC
4y
z
Тогда z 4 y 9 y 6 y. Таким образом, 4 y 6 y 6 y 9 y 25 y 75
y 3 S ABO SCOD 6 3 18, S ADO 9 3 27, SCOВ 4 3 12.

11. Метод площадей. Задачи-иллюстрации.

B
C
Площадь параллелограмма ABCD
2a NN S 2
равна 10. Найти площадь
P
S 2
четырехугольника MNPQ.
2a Р
Решение:
a
S
?
K
M
1) Найдем площадь треугольника ВКС:
S 2
M
S
0,5 S
10 : 4 2,5.
QQ
2
a
2a
S 2
2) Найдем площадь треугольника BPL:
D
S
BР 4
BKC
A
BPC
S BKC
BDC
BK
5
S BPC 0,8 2,5 2.
3) Аналогично, площади треугольников ABN, ADM и CQD равны 2.
4) Тогда
S MNPQ 10 4 2 2