Решение треугольников и вписанные окружности

1.

Решение треугольников и вписанные
окружности
Подготовка к СОР №3 по геометрии • 9 класс

2.

Раздел 1
Радиус вписанной окружности в многоугольник и четырехугольник

3.

ОБЩАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ МНОГОУГОЛЬНИКА
Для любого описанного многоугольника площадь S
связана с радиусом вписанной окружности r следующей
формулой:
Важное условие
Окружность можно вписать в многоугольник только
Где p — полупериметр многоугольника:
если биссектрисы всех его углов пересекаются в
одной точке (центре окружности).

4.

ПРАВИЛЬНЫЕ N-УГОЛЬНИКИ
В правильный многоугольник всегда можно вписать
окружность. Её радиус зависит от стороны a и числа сторон
n:
Частные случаи:
Треугольник (n=3):
Квадрат (n=4):

5.

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ В ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и
только тогда, когда суммы длин его противолежащих
сторон равны:
Центр вписанной окружности лежит на пересечении
биссектрис всех четырех углов.

6.

Раздел 2
Решение произвольных треугольников

7.

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух
других сторон минус удвоенное произведение этих сторон
на косинус угла между ними:
Применяется для:
Нахождения стороны по двум другим и углу
Нахождения углов по трем сторонам

8.

ТЕОРЕМА СИНУСОВ
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны к синусу угла равно
диаметру описанной окружности:
Применение
Связь с R
Если известны два угла и сторона или две стороны и
Позволяет найти радиус описанной окружности R, зная
угол против одной из них.
любую сторону и противолежащий угол.

9.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА
Название
Формула
Когда использовать
S
=
1
Через две стороны и угол
2
a
Даны две стороны и угол между ними

10.

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ В ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Почему это удобно?
Эта формула позволяет найти радиус вписанной
окружности без вычисления площади и периметра, если
известны стороны.
Где a, b — катеты, c — гипотенуза.
Решение: (3 + 4 - 5) / 2 = 1. Ответ: 1.

11.

Раздел 3
Устные упражнения (1-10)

12.

УСТНО: ЗАДАНИЯ 1-4
№
1
№
2
№
3
№
4
Периметр описанного
В четырехугольник
Квадрат имеет сторону
Радиус вписанной
n-угольника равен 40
вписана окружность.
10 см. Чему равен
окружности 3, площадь
см, а его площадь 100
Стороны по порядку: 5,
радиус вписанной в
27. Найдите
см². Чему равен радиус
8, 7. Найдите четвертую
него окружности?
полупериметр p.
r?
сторону.
Ответ: 5 см
Ответ: 4 см
Ответ: 9
Ответ: 5 см

13.

УСТНО: ЗАДАНИЯ 5-7
№
5
№
6
№
7
Угол A в треугольнике равен 30°,
Две стороны треугольника 4 и 6,
Стороны треугольника 6, 8, 10.
сторона a = 10. Чему равен радиус
угол между ними 30°. Найдите
Определите вид треугольника.
описанной окружности R?
площадь.
Ответ: Прямоугольный
Ответ: 6
Ответ: 10

14.

УСТНО: ЗАДАНИЯ 8-10
№
8
№
9
№1
0
Стороны правильного
В треугольнике sin A = 0.5, sin B =
Существует ли треугольник со
треугольника 2√3. Найдите
0.4, сторона a = 5. Найдите
сторонами 3, 4, 10?
радиус вписанной окружности r.
сторону b.
Ответ: Нет
Ответ: 1
Ответ: 4

15.

Раздел 4
Задачи на закрепление материала

16.

ЗАДАЧА 1: ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ
Условие: Основания равнобедренной трапеции равны 4 см и 16 см. В трапецию вписана окружность. Найдите её радиус.
Решение:
1. Т.к. окружность вписана, сумма оснований равна сумме боковых сторон: . Значит, боковая сторона c = 10 см.
2. Проведем высоту h. Кусочек основания равен (16 - 4) / 2 = 6 см.
3. По т. Пифагора для боковой стороны и высоты: см.
4. Радиус вписанной окружности равен половине высоты: r = h / 2 = 4 см.
Ответ: 4 см.

17.

ЗАДАЧА 2: РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА
Условие: В треугольнике ABC стороны AB = 5 см, BC = 8 см, а угол B = 60°. Найдите сторону AC и площадь треугольника.
Решение:
По теореме косинусов: см.
Площадь: см².
Ответ: AC = 7 см, S = 10√3 см².

18.

Раздел 5
Итоговый тест (самопроверка)

19.

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ (1-3)
1. Можно ли вписать окружность в прямоугольник со сторонами 4 и 6?
2. По какой теореме можно найти сторону треугольника, если известны две другие стороны и угол между ними?
3. Чему равно отношение a / sin A в треугольнике?

20.

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ (4-5) И ОТВЕТЫ
4. Если площадь описанного многоугольника 50, а r = 2, то
периметр равен:
5. В ромб вписана окружность r=3. Найдите высоту ромба.

21.

22.

Задачи для подготовки к СОР №3
1. Равнобедренная трапеция: В равнобедренную трапецию с основаниями 4 см и 16 см
вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.
2. Прямоугольный треугольник: В прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см
вписана окружность. Найдите её радиус.
3. Описанный четырехугольник: В четырехугольник ABCD вписана окружность. Известно,
что AB = 7 см, BC = 9 см, CD = 10 см. Найдите длину стороны AD.
4. Правильный многоугольник: Найдите радиус окружности, вписанной в правильный
шестиугольник со стороной 4√3 см.
5. Решение треугольников: В треугольнике ABC стороны a = 5 см, b = 8 см, а угол между
ними C = 60°. Найдите третью сторону c и площадь треугольника.