Функции нескольких переменных

1. Функции нескольких переменных

Определение функции двух переменных
Графическое изображение функции двух
переменных
Частное и полное приращение функции
Частные производные функции двух
переменных
Полный дифференциал
Производная сложной функции

2. Определение функции двух переменных (ФДП)

При изучении многих явлений приходится сталкиваться с функциями
двух и более переменных.
Если каждой паре (х; у) значений двух не зависимых друг от друга
переменных величин х и у из некоторой области их изменения D,
соответствует определенное значение величины z, то мы говорим,
что z есть функция двух переменных, определенная на области D.
z f ( x; y )
Совокупность пар (х; у) значений независимых переменных, при
которых определяется функция z называется одластью
определения этой функции.
Область определения ФДП наглядно иллюстрируется геометрически
в виде некоторой совокупности точек на плоскости XOY

3. Определение функции двух переменных (ФДП)

Линия, ограничивающая
область D, называется
границей области
D
Точки области D, не лежащие на
Область,
состоящая
из одних
Такая область
называется
границе
называются
Если
к области
относятся
внутренних точек,
называется
неограниченной
внутренними
области
внутренниеточками
точки и точки
открытой или незамкнутой
x
границы, то область называется
0
замкнутой
Найти и изобразить на плоскости область определения функции
y
z ln( x y )
Так как логарифм определен только для положительных чисел, то
должно выполняться неравенство:
y
x y 0 y x
Таким образом, областью определения
функции z является половина плоскости,
расположенная над прямой y = -x, не
включая самой прямой
0
x

4. Графическое изображение ФДП

Рассмотрим функцию z = f(x; y), определенную в области D на
плоскости XOY.
Возьмем в области D точку М(x; y),
z
Восстановим в точке М перпендикуляр к
плоскости XOY и на нем отложим
Р
расстояние, равное f(x; y)
f(x; y)
Так мы получим в пространстве точку P с
y
0
DM
x
координатами: x; y; z = f(x;y)
Геометрическое место точек Р,
координаты которых удовлетворяют
уравнению z = f(x;y), называется
графиком функции двух переменных.
Таким образом, графиком ФДП является поверхность,
проектирующаяся на плоскость XOY в область определения
функции.

5.

Линии уровня ФДП
Линией уровня функции двух переменных
z=f(x,y) называется множество точек на
плоскости, таких, что во всех этих точках
значение функции одно и то же и равно С
Число С называется уровнем

6.

Пример
Построить линии уровня функции:
z x y 2y
2
2

7.

Решение
Линия уровня z=C – это кривая на плоскости
xOy, которая задается уравнением
C x y 2y
2
2
или
C x ( y 1) 1
2
2
x ( y 1) C 1
2
2

8.

Это будет окружность с центром в точке (0,1) и
радиусом R C 1
При С=-1 имеем точку (0,1).
При С=0 имеем окружность с R 1
При С=0,5 имеем окружность с R
1,5
При С=1 имеем окружность с R
2
И так далее.

9.

y
z 1
z 0
z 0.5
z 1
z 1.5
x

10.

Линии уровня ФДП
Линия
уровня
позволяют
представить
график данной функции.
Расстояния между линиями с одинаковым
шагом уровня уменьшаются при удалении
от центра.

11.

Поверхности уровня функции трех переменных
Поверхностью уровня функции трех
переменных называется геометрическое
место точек пространства Oхуz, для которых
данная функция имеет одно и то же значение
(изоповерхность).

12. Частное и полное приращение функции

Рассмотрим поверхность с уравнением z = f(x; y).
Рассмотрим линию PS пересечения
поверхности с плоскостью x = const,
параллельной плоскости YOZ.
z
S
Р
Δyz
0Δy
y
Переменная z вдоль линии PS будет
меняться только в зависимости от
изменения переменной y.
Дадим переменной y приращение Δy.
x
Тогда z получит приращение , которое называется частным
приращением z по y:
y z f ( x; y y ) f ( x; y )

13. Частное и полное приращение функции

Если пересечь поверхность плоскостью,
y = const, то вдоль линии пересечения
переменная z меняется только в
зависимости от переменной x
z
S
Δ xz
Р
x
Δx
0
y
Дадим переменной x приращение Δx ,
тогда z получит приращение , которое
называется частным приращением z
по x:
x z f ( x x; y ) f ( x; y )
Наконец, сообщив переменной x приращение Δx , а переменной y
приращение Δy, получим для z новое приращение , которое
называется полным приращением функции z :
z f ( x x; y y ) f ( x; y )

14. Замечание

Полное приращение функции не
равно сумме частных приращений
функции:
.
f ( x, y) f x ( x, y) f y ( x, y)

15.

Найти полное и частные приращения
функции
z x y

16.

x z ( x x) y x y
x y x y x y x y
y z x ( y y ) x y
x y x y x y x y

17.

z ( x x) ( y y ) x y
x y x y x y x y x y
x y x y x y
Действительно,
z x z y z

18. Пример

Найти полное приращение функции
f ( x, y ) x xy 2 y
2
2
если х: 2 до 2,2; y: от 1 до 0,9.
f (2,2;0,9) 2,22 2,2 0,9 2 0,9 2 5,20
f (2;1) 22 2 1 2 12 4
f (2,1) 5,20 4 1,20

19. Замечание

Аналогично определяются и записываются
частные и полные приращения функции с
числом переменных, большим двух.
.

20. Частные производные ФДП

Частной производной по х от функции z = f(x;y) называется
предел отношения частного приращения по x к приращению Δх при
стремлении Δх к нулю.
z
;
Частная производная по х обозначается одним из символов:
x
z
xz
f ( x x; y ) f ( x; y )
lim
lim
x x 0 x x 0
x
z x
Частной производной по у от функции z = f(x;y) называется
предел отношения частного приращения по у к приращению Δу при
стремлении Δу к нулю.
y z
z
f ( x; y y ) f ( x; y )
lim
lim
y
0
y
y y 0
y

21. Частные производные ФДП

Заметив, что Δxz вычисляется при неизменном y, а Δyz при
неизменном x, можно определение частных производных
сформулировать так:
Частной производной по x от функции z называется производная,
вычисленная в предположении, что y – постоянная, частной
производной по y от функции z называется производная,
вычисленная в предположении, что x – постоянная
Вычислить частные производные от функции:
2
z
(
x
y ) x
2
ln( x y ) x
x
x2 y
2
(
y ) y
x
z
2
ln( x y ) y 2
y
x y
2x
2
x y
1
x2 y
z ln( x 2 y )

22. Полный дифференциал ФДП

Если функция z = f(x;y) имеет непрерывные частные производные в
некоторой точке, то она дифференцируема в этой точке и имеет
полный дифференциал, определяемый выражением:
z
z
dz
x
y
x
y
Так как x; y – независимые переменные, то их приращения равны
дифференциалам: x dx; y dy
Поэтому формулу полного дифференциала можно записать в виде:
z
z
dz
dx
dy
x
y
Можно доказать, что полное приращение функции Δz и полный
дифференциал dz связаны друг с другом с помощью соотношения:
z dz 1 x 2 y

23. Полный дифференциал ФДП

z dz 1 x 2 y
В этом выражении γ1 и γ2 - бесконечно малые функции, когда Δx и Δy
стремятся к нулю.
Таким образом, полное приращение дифференцируемой функции
может быть представлено в виде полного дифференциала и
величины бесконечно малой высшего порядка относительно x 2 y 2
Поэтому, имеет место приближенная формула, которая применяется
в приближенных вычислениях:
z dz
f ( x x; y y ) f ( x; y ) dz
f ( x x; y y ) f ( x; y ) dz
(1)

24. Полный дифференциал ФДП

3.012 4.022
2
2
Введем функцию: z x y
Вычислить приближенно:
Необходимо вычислить значение этой функции в точке (3,01; 4,02)
x 3;
x 0.01;
x x 3.01;
y 4;
y 0.02;
y y 4.02
z(3.01; 4.02) z(3;4) dz ( 3;4 )
Тогда, согласно формуле (1):
z(3;4) 32 42 5
x y x x y
z
y
x y
y
x y
z
x
2
2
dz
2
2
x
y
2
2
2
2
3
4
0.01 0.02 0.022
5
5
3
5
4
5
(3;4)
(3;4)
z(3.01; 4.02)
5 0.022 5.022

25. Производная сложной функции

Предположим, что в уравнении:
z F (u;v )
u и v являются функциями независимых переменных x и y:
u ( x; y ), v ( x; y )
В этом случае z есть сложная функция от аргументов x и y.
Предположим, что функции F (u;v ), ( x; y ), ( x; y )
имеют непрерывные частные производные по всем аргументам, тогда
частные производные функции z по переменным x и y вычисляются
по формулам:
z z u z v
x u x v x
z z u z v
y u y v y
(2)

26. Производная сложной функции

z ln( u v ), u e
2
x y 2
, v x 2 y Вычислить частные производные
функции z по переменным x и y.
1
z
2
ln( u v ) v
u2 v
v
u
x y 2
x y 2
2y
e
y e
y
v
2
x y y 1
y
z
2u
2
ln( u v ) u 2
u
u v
u
x y 2
x y 2
e
x
e
x
v
2
x y x 2x
x
Подставим найденные производные в формулы (2):
z
z
u
yx
u
xy
z
v
v
xy

27. Производная сложной функции

Если задана функция
z F (u;v )
где u и v зависят только от одной переменной x , то в конечном итоге
z также является функцией одной переменной и можно ставить
вопрос о нахождении производной dz
dx
dz z du z dv
dx u dx v dx
(3)
z F ( x; y ) , где y зависит только от x: y f (x )
Тогда, для нахождения производной dz
dx используют формулу:
В частном случае
dz z z dy
dx x y dx
(4)

28. Производная сложной функции

z x 2 y , y sin x
Вычислить производную функции z по x.
Подставим найденные производные в формулу (4):
dz
dx
z
x
z
y
1
z
2
x y y
2 y
y
z
2
x y x 2x
x
dy
sin x cos x
dx
dy
dx