Вектори у просторі

1.

ВЕКТОРИ У
ПРОСТОРІ

2. Зміст

1.Поняття вектора.
2.Координати вектора.
3.Абсолютна величина вектора.
4.Рівні вектори.
5.Колінеарні вектори.
6.Компланарні вектори.
7.Дії над векторами.
8.Скалярний добуток векторів.
9.Приклади.

3. Вектор

Герман Грассман
Гамільтон
Поняття вектора
з'явилося в роботах
німецького математика XIX
ст. Г. Грассмана та
ірландського математика У.
Гамільтона. Згодом воно
було охоче сприйняте
багатьма математиками і
фізиками. В сучасній
математиці це поняття
відіграє дуже важливу роль.

4. Поняття вектора

а
а
АВ, АВ, а, а
АА
АА 0
•Вектор - це величина, яка
характеризується
числовим значенням і
напрямком.
•Вектор - напрямлений
відрізок.
•Під направленим
відрізком розуміють
впорядковану пару точок,
перша з яких - точка A називається
його початком, а друга B - його кінцем.

5. Пригадаємо …

Вектор
Нульові
Співнапрямлені
Рівні
Протилежно
напрямлені
Колінеарні
Напрямлений
відрізок
називають …

6. Пригадаємо …

Нульові
Співнапрямлені
Рівні
Протилежно
напрямлені
Колінеарні
Колінеарні та
однаково
напрямлені
вектори
називають..

7. Пригадаємо …

Нульові
Рівні
Протилежно
напрямлені
Колінеарні
Вектори, що
лежать на
одній прямій,
або
паралельних
прямих
називають…

8. Пригадаємо …

Нульові
Рівні
Протилежно
напрямлені
Ненульові
вектори у яких
рівні модулі й
вони
співнапрямлені
називають …

9.

ТЕОРЕМА

10.

ТЕОРЕМА

11. Протилежні вектори

Два ненульові вектори називають
протилежними, якщо їхні модулі
рівні й вектори протилежно напрямлені.

12. Властивості додавання векторів

1)a b b a;
2) a b c a b c ;
3)a 0 a;

13. Координати вектора

AB( xB xA ; yB y A ; zB z A )
OA( x A ; y A ; z A )
•Координати вектора
дорівнюють різниці
координат його кінця та
початку
•Координати вектора, для
якого початком є початок
координат дорівнюють
координатам його кінця

14. Абсолютна величина вектора

AB x
2
AB
y
2
AB
z
2
AB
a x y z
2
a
2
a
0 0
2
a
Абсолютна величина
вектора
( модуль вектора,
довжина вектора)
дорівнює кореню
квадратному із
суми квадратів його
координат

15. Напрямленість векторів

•Вектори
і
називають протилежно
напрямленими, якщо
протилежно напрямлені
півпрямі AB і CD .
•Вектори
і
називають
співнапрямленими,
якщо співнапрямлені
півпрямі AB і CD.

16.

Рівні вектори
b
d
a
• Рівні вектори – це
вектори, що
мають рівні
a b
абсолютні
a b
величини та
однаковий напрям.
• Рівні вектори – це
a b,
вектори, що
xa xb ,
мають рівні
координати.
y y ,
a
b
z a zb

17. Колінеарні вектори

В
Колінеарні вектори
–
A
а
b
C
D
це вектори, що
лежать
на паралельних
прямих,
або на одній прямій

18. Компланарні вектори

Компланарні
вектори це вектори, що
лежать
с
b
у одній площині, або
паралельні одній
площині
a
d

19. Компланарні вектори

Компланарні
вектори
B1
C
D
BB1, OD и OE.
Некомпланарні
вектори
E
B
О
OA, OB и OC .
A

20. Дії над векторами

Додавання
(правило
трикутника)
Додавання
( правило
паралелограма)

21. Дії над векторами

Додавання (правило
трикутника)
•За правилом трикутника
обидва вектора
переносяться паралельно
самим собі так, щоб
початок одного з них
збігався з кінцем іншого.
•Вектор суми задається
третьою стороною
трикутника, що утворився,
причому його початок
збігається з початком
першого вектора.

22.  

23. Дії над векторами

•За правилом
паралелограма обидва
вектора переносяться
паралельно самим собі
так, щоб їх початки
збігалися.
•Вектор суми задається
діагоналлю побудованого
на них паралелограма, яка
виходить з їх спільного
початку.
Додавання
( правило
паралелограма)

24.

Дії над векторами
Додавання (правило
паралелепіпеда)
C
D
OA OB OC
OD
B
О
A

25. Дії над векторами

Додавання
a xa ; ya ; za b xb ; yb ; zb
xa xb ; ya yb ; za zb
Закони додавання:
1) переставний
2) сполучний
a b b a
( a b) с a (b c )

26. Дії над векторами

A
Віднімання
С
B
AС AB BC
a x a ; y a ; z a b xb ; y b ; z b
x a xb ; y a y b ; z a z b

27.  

28. №1 Знайдіть координати вектора АВ, якщо:

A 3;4;7
B 3;2;16
A 2;5;3
B 0;4; 9
A 0;0;0
B 7;8;12
A 3; 4;2
B 3; 6;11

29. №2 Знайдіть абсолютну величину вектора:

a 0;4; 3
a 0 4 3 5
b 2; 8;3
b 2 8 3 77
2
2
2
2
B 2; 8;3
A 0;4; 3
AB
2
2
0 2 4 8 3 3
2
184 2 46
2
2

30. №3 Знайдіть вектори, що дорівнюють:

D1
A1
AB
AA1
BС
AD1
C1
B1
D
C
A
B

31. №4 Знайдіть вектори, що є колінеарними до векторів:

D1
A1
AB
AA1
BС
AD1
C1
B1
D
C
A
B

32. №5 Знайдіть вектори, що є компланарними

D1
C1
AA1 , D1 A, B1B
D1B1 , D1С1 , AC
A1
B1
B1B, B1С , AA1
C
A
B

33. №6 Спростіть вираз

TR DK HK DF RT FH
KT AC AB TK XC BX
№7 Знайдіть вектор
С1
B1
A1
D1
AB C1 B1 BD1
BA D1 A1 CC1
С
B
A
D

34.

№8 ABCDA1B1C1D1 паралелепіпед.
Укажіть вектор початком і кінцем якого
є вершини паралелепіпеда, що дорівнює:
A1B1 BC DD1 CD
С1
B1
A1
AB CC1
D1
С
B
A
D