Решето Эратосфена

1. Проект на тему «Решето Эратосфена»

ВЫПОЛНИЛИ : МОИСЕЕНКО АРХИП И БАРАНОВ ГРИГОРИЙ
УЧЕНИКИ 5Г КЛАССА
РУКОВОДИТЕЛЬ: ГЛАУБЕРМАН О.В.

2. ЦЕЛЬ. ЗАДАЧИ. АКТУАЛЬНОСТЬ.

Цель: изучить и наглядно продемонстрировать алгоритм «Решета
Эратосфена» для нахождения простых чисел.
Задачи:
1.Познакомиться с различными методами нахождения простых чисел.
2.Научиться применять метод «Решето Эратосфена» для нахождения простых
чисел.
3.Приготовить наглядную демонстрацию метода «решето Эратосфена»
Проблема проекта: противоречие между простотой алгоритма и сложностью
выявления закономерностей в распределении простых чисел.
Считаю её актуальной по нескольким причинам:
1. В настоящее время этот способ компьютеризирован, а ручная работа,
наши собственные размышления и вычисления приносит, гораздо больше
пользы.
2. Знание алгоритма нахождения простых чисел будет очень полезно как в
школе на уроках, так и на экзаменах.

3. Глава 1. Теоретические основы простых чисел.

Решето Эратосфена — алгоритм для нахождения простых чисел в
заданном диапазоне, разработанный древнегреческим
математиком Эратосфеном в III веке до н. э.
Название «решето» метод получил потому, что во времена
Эратосфена писали числа на дощечке, покрытой воском, и
прокалывали дырочки в тех местах, где были написаны составные
числа. Поэтому дощечка являлась подобием решета, через
которое «просеивались» все составные числа, а оставались только
простые.

4. 1.1Способ нахождения простых чисел: Решето Эратосфена

Простые числа составляются с помощью так называемого
Решета Эратосфена. Все числа выписываются в квадратной
таблице (например 10 х 10) и дальше зачеркиваются те, что
делятся на 2, на 3, на 5 (т.к. те, что делятся на 4, уже зачеркнуты,
раз они делятся на 2), на 7 (так как те, что делятся на 6,
зачеркнуты, четные) и... все. Действует теорема, что больше
зачеркивать ничего не нужно - оставшиеся числа все сплошь
простые. Этот метод отсеивания чисел известен как «решето
Эратосфена». Любая таблица простых чисел создаётся по
этому принципу решета. В действительности, можно
продвинуться гораздо дальше по ряду простых чисел, если
использовать для их хранения память ЭВМ.
Представлю наглядную демонстрацию этого метода.
НЕ ВСЕ ЧИСЛА

5. Наглядная демонстрация метода

Здесь я вычеркнул те числа, которые делятся на 2

6. Здесь я вычеркнул те числа, которые делятся на 3

7. Здесь я вычеркнул те числа, которые делятся на 5

8. «Решето Эратосфена» - первая таблица простых чисел

Вычеркнул все числа, которые делятся на
2,3,4,5,6,7,8,9,10.
В итоге остались только ПРОСТЫЕ числа.

9. 1.2Историческая справка

Первые сведения о простых числах, встречаются в трудах древне - греческого математика
Эратосфена Киренского (276 год до н.э. – 194 год до н.э.).
Самым знаменитым математическим открытием Эратосфена
стало "решето Эратосфена", с помощью которого находятся
простые числа. Предложил свой способ великий греческий учёный
Эратосфен около 200г. до н. э.
Впервые доказал, что простых чисел бесконечно много,
великий учёный Евклид

10. Глава 2. Практическое применение простых чисел

Простые числа играют ключевую роль в математике и имеют бесконечное
количество практических применений. Простые числа также важны в
задачах факторизации, например, для упрощения дробей или решения
уравнений.
Обнаружение и исправление ошибок. Простые числа применяются в кодах
с исправлением ошибок для систем передачи и хранения данных.
Музыка. Структуру тональной музыки, такую как аккорды, гаммы, гармония,
модальность, можно математически представить в виде рациональных
структур простых чисел.

11. Простые числа в музыке

Математические основы музыкальной гармонии. Например, консонансы (созвучия,
вызывающие ощущение покоя, гармонии, устойчивости) выражаются простыми числовыми
отношениями: чистая октава — 1/2, чистая квинта — 2/3, чистая кварта — 3/4.
Ритмическая организация музыки. Длительности нот представляют собой дроби от целой ноты:
половинная (1/2), четвертная (1/4), восьмая (1/8)
Тактовые размеры — математические дроби. математические дроби, где числитель —
количество долей, знаменатель — длительность каждой доли.

12. 2.1 Виды задач на решето Эратосфена

Вид задач 1.
Какие из следующих чисел являются простыми:
а) год Вашего рождения
б) текущий год
в) номер Вашего дома
г) номер квартиры.
Решение:
а) Год моего рождения – 2014 – составное число, так как у него больше 2 делителей.
б) Текущий год –2025– не простое число, так как у него больше 2 делителей.
в) Номер моего дома 137 является простым числом, так как у него меньше 2 делителей.
г) Номер моей квартиры 85 является составным числом так как у него больше 2 делителей.

13. Вид задач №2.

1. Составьте таблицы простых чисел для каждой из сотен: 1 – 100, 101 – 200, …, 901 –
1000.
Решение: я продемонстрирую результат нахождения простых чисел 1 – 100, 101 – 200,
201 – 300
1)
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
2)
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193,
197, 199.
3)
211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293.
1 – 100
101 – 200
201 – 300

14. Вид задач №3.

В разные времена математики пытались найти формулу, которая позволяла бы вычислять
простые числа.
В своё время, Леонард Эйлер составил формулу: p = x •x – x + 41,
позволяющую вычислять сорок одно простое число, если х = 0, 1, 2… 40. С помощью этой
формулы найдите пять простых чисел.
Формула: p = x •x – x + 41
p = простое число
х = натуральное число от нуля до сорока.
1)
0 •0 - 0 + 41 = 41.
2)
13 •13- 13 + 41 = 201
3)
20 •20 – 20 + 41 = 421.
4)
32 •32 – 32 + 41 = 1033
5)
37*37-37+41 = 1337

15. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы изучил метод нахождения простых чисел. Научились пользоваться «Решетом Эратосфена»;
«Решето Эратосфена» работает, как вычислительная машина. Так, значит, Эратосфен изобрел
счётную машину. Эта счётная машина используется в математике и считается предметом для
точного вычисления простых чисел. Также «Решето Эратосфена» используется в информатике как
язык программирования и в олимпиадах по информатике.
Мы изучили алгоритм построения «решета Эратосфена», изучили литературу,. И мы узнали что
такое решето Эратосфена, кто такой Эратосфен Герасский, кто такой Эвклид, узнали как решать
задачи с решетом Эратосфена.
Мы изучили алгоритм построения «решета Эратосфена», изучили литературу, изготовили его
материальную модель. И мы узнали что такое решето Эратосфена, кто такой Эратосфен
Герасский, кто такой Эвклид, узнали как решать задачи с решетом Эратосфена.

16.

Спасибо за внимание!