Множества. Операции над множествами и законы теории множеств

1.

1. Множества. Комплекты. Нечеткие множества
1.1. Определение множества
Немецкий математик Гео́рг
Ка́нтор
нем. Georg Ferdinand Ludwig
Philipp Cantor
3 марта 1845, Санкт-Петербург —
6 января 1918, Галле (Заале)
«Множество – это объединение в одно целое объектов, хорошо
различимых нашей интуицией или мыслью».
1

2.

Множество – совокупность различных элементов, обладающих общим
характеристическим свойством.
Обозначение: A, B, C...
Множество – совокупность элементов, обладающих двумя свойствами:
1) все элементы различны;
2) относительно каждого элемента можно сказать, принадлежит или не
принадлежит он этому множеству.
Способы задания множества
1) перечисление элементов
A {2,4,6,8,10}
2) характеристическое свойство
A {x | x четные числа, 1 x 11}
2

3.

Запись a A означает, что элемент a принадлежит множеству A .
Запись a A означает, что элемент a не принадлежит множеству A .
Множества,
конечными.
состоящие
из
конечного
числа
элементов,
называются
Множества, состоящие из бесконечного числа элементов, называются
бесконечными.
Число элементов в конечном множестве
множества A . Обозначение: | A | .
A называется мощностью
Пример.
1. Конечное множество A {1,3,5,7}. Его элементы – нечётные числа.
При этом 5 А , но 6 А. Мощность множества: | A | 4 .
2. Бесконечное множество В = {1, 8, 27, …, т3, …}.
Его элементы – кубы натуральных чисел. При этом 27 В , но 30 В .
3

4.

Характеристическое свойство может представлять собой формулу.
Пример.
1. Множество A {x | x 2n 1, n N , n 10} содержит конечное число
элементов: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.
3
n, n Z содержит бесконечное число
2
3 5 7
, , ,
элементов: , , ,
2 2 2 2 2
2. Множество B x | x
4

5.

Множество A является подмножеством множества B , если каждый элемент
множества A принадлежит также и множеству B . Обозначение: A B .
В частности, каждое множество есть подмножество самого себя.
Запись A
B означает, что множество A не является подмножеством
множества B .
Пример.
Пусть A {a, c, d }, B {a, b, c, d , e}, C {a, c, k}. Тогда
A B, C
B.
Множества A и B равны, если они содержат одни и те же элементы:
A B A B и B A.
Если A B , но B
A , то говорят, что множество A является собственным
подмножеством множества B : A B .
5

6.

Пустое множество – множество, не содержащее элементов.
Обозначение: или {}.
Мощность пустого множества равная нулю: | | 0 .
Пустое множество является подмножеством любого множества, в том числе и
самого себя.
Универсальное множество – множество, которое содержит все возможные
элементы, встречающиеся в данной задаче.
Обозначение: U .
Множество-степень P ( A) – множество всех подмножеств множества A .
Если | A | n , то | P( A) | 2 .
n
Пример.
Пусть A {a, b}.
Тогда P( A) { , {a}, {b}, {a, b}}.
2
При этом | A | 2, | P ( A) | 2 4 .
6

7.

Характеристическая функция множества A представляет собой вектор,
элементами которого являются 0 или 1. Если множество A конечно, то
A [ A ( x1 ),..., A ( xn )], n | U |,
1, x A,
A ( x)
0, x A,
В частности
x U .
[0 0 ... 0], U [1 1 ... 1].
7

8.

1.2. Операции над множествами
1. Объединением множеств A и B называется множество, элементами
которого являются элементы множества A или множества B :
A B {x | x A или
x B}
A B ( x) max( A ( x), B ( x))
2. Пересечением множеств A и B называется множество, элементами
которого являются элементы обоих множеств A и B :
A B {x | x A и
x B}
A B ( x) min( A ( x), B ( x))
3. Дополнением множества A называется множество, которое состоит из
элементов универсального множества U , не принадлежащих множеству A :
A {x | x U
и
x A}
A ( x ) U ( x ) A ( x ) 1 A ( x )
8

9.

4. Разностью множеств A и B называется множество, которое состоит из
элементов множества A , не принадлежащих множеству B :
А \ В {x | x А и x В}
А\ В А В
А\ В ( x) max( А ( x) В ( x), 0)
5. Симметрической разностью множеств A и B называется множество,
которое состоит из элементов множества A или множества B за исключением их
общих элементов:
A B ( A \ B) ( B \ A) .
A B ( x) max A ( x) B ( x), B ( x) A ( x) .
Приоритет выполнения операций: сначала выполняется операция
дополнения, затем пересечения и только потом объединения и разности.
Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками.
Пример. Сравнить:
2
3 1 4
4
2 1 3
A B C \ D и A (( B C ) \ D)
9

10.

Пример.
Даны множества: A {b, d , k , l , s}, B {a, b, k , o, v}, C {a, m, s, t , v}. Составить
универсальное множество, характеристические функции. Выполнить следующие
действия: A B, C B, C , B \ A, A C .
Решение.
Универсальное множество
U {a, b, d , k , l , m, o, s, t , v}.
Характеристические функции
U [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1],
A [0 1 1 1 1 0 0 1 0 0],
B [1 1 0 1 0 0 1 0 0 1],
C [1 0 0 0 0 1 0 1 1 1].
10

11.

Операции:
1. Объединение
2. Пересечение
3. Дополнение
A B {a, b, d , k , l , o, s, v},
A B [1 1 1 1 1 0 1 1 0 1].
C B {a, v},
C B [1 0 0 0 0 0 0 0 0 1].
C {b, d , k , l , o},
C [0 1 1 1 1 0 1 0 0 0].
4. Разность
B \ A {a, o, v},
B \ A [1 0 0 0 0 0 1 0 0 1].
5. Симметрическая разность
A C ( A \ C ) (C \ A) {b, d , k , l} {a, m, t , v} {a, b, d , k , l , m, t , v},
A C [1 1 1 1 1 1 0 0 1 1].
11

12.

1.3. Законы теории множеств
1. Законы коммутативности
а) A B B A ,
б) A B B A .
6. Законы поглощения
а) A ( A B) A,
б) A ( A B) A.
2. Законы ассоциативности
а) A ( B C ) ( A B) C ,
б) A ( B C ) ( A B) C.
7. Законы тождества
а) A A,
б) A U A.
3. Законы дистрибутивности
8. Законы констант
а) A U U ,
б) A .
4. Законы де Моргана
а) ( A B) A B,
9. Законы дополнения
а) A A U , б) A A ,
в) U , г) U .
а) A ( B C ) ( A B) ( A C ),
б) A ( B C ) ( A B) ( A C ) .
б) ( A B) A B.
5. Законы идемпотентности
а) A A A, б) A A A.
10. Закон инволюции
(снятие двойного отрицания)
A A.
12