Лекция 7_3гр

1. Формулы алгебры предикатов

2.

Формулы алгебры предикатов определяются по
индукции следующим образом:
1) для любого n-местного предикатного символа P и
любых n предметных переменных x1 ,..., xn
выражение P x1 ,..., xn есть формула, которая
называется элементарной (или атомарной)
формулой;
2) если , – формулы, то формулами являются
также выражения
( ) , , , , ;
3) если – формула и x – предметная переменная,
то формулами являются также выражения x ,
x ; при этом переменная x и формула
называется областью действия соответствующего
квантора.

3. Интерпретации формул алгебры предикатов

4.

Область интерпретации – непустое множество
M, которое является областью возможных
значений всех предметных переменных.
P
n-местным
предикатным
символам
присваиваются конкретные значения PM nместных предикатов на множестве M.
P PM
Соответствие
:
называется
интерпретацией предикатных символов.
Область
интерпретации
M
вместе
с
интерпретацией
предикатных
символов
называется интерпретацией формул алгебры
предикатов и обозначается (M , ) или просто M.

5.

При наличии интерпретации M конкретные
значения предметным переменным формул
алгебры
предикатов
присваиваются
с
помощью отображения множества всех
предметных переменных X в область
интерпретации M.
Такие отображения называются оценками
предметных переменных.

6.

Выполнимость формулы в интерпретации M
при оценке обозначается M | - читается
«формула истинна в интерпретации M при
оценке » и определяется следующим образом:
1) если P x1 ,..., xn для n-местного предикатного
символа P и предметных переменных x1 ,..., xn ,
то M | тогда и только тогда, когда
высказывание PM ( x1 ),..., ( xn ) истинно;
2) если для формулы , то M | тогда
и только тогда, когда неверно, что M | ;
3) если 1 2 для формул 1 , 2 , то M |
тогда и только тогда, когда M | 1 и M | 2 ;

7.

4) если 1 2 для формул 1 , 2 , то M | тогда
и только тогда, когда M | 1 или M | 2 ;
5) если 1 2 для формул 1 , 2 , то M |
тогда и только тогда, когда неверно, что M | 1 и
M | 2 ;
6) если 1 2 для формул 1 , 2 , то M |
тогда и только тогда, когда M | 1 , M | 2
одновременно верны или нет;
7) если x для некоторой формулы , то M |
тогда и только тогда, когда M | для всех оценок
, отличающихся от оценки возможно только на
элементе x;
8) если x для некоторой формулы , то M |
тогда и только тогда, когда M | для некоторой
оценки , отличающейся от оценки возможно
только на элементе x.

8.

9. Классификация формул алгебры предикатов

10.

Определение. В интерпретации M формула
называется:
общезначимой
(или
тождественно
истинной), если M | при любых оценках
;
выполнимой, если M | для некоторой
оценки ;
опровержимой, если для некоторой оценки
неверно, что M | ;
тождественно ложной, если для любой
оценки неверно, что M | .

11.

Формула общезначима в интерпретации M (с
интерпретаций PM n-арных предикатных символов
P ), если она превращается в тождественно
истинный
на
множестве
M
предикат.
Символическая запись M | .
Формула в интерпретации M выполнима,
опровержима или тождественно ложна, если она
превращается соответственно в выполнимый,
опровержимый или
тождественно ложный на
множестве M предикат PM .

12.

13.

Определение. Формула называется тождественно
истинной, если она тождественно истина в любой
интерпретации M. Такая формула называется также
общезначимой формулой, или тавтологией алгебры
предикатов и обозначается | . Множество всех
тавтологий алгебры предикатов обозначим TАП. .
Определение. Формула называется тождественно
ложной или противоречием, если она тождественно
ложна в любой интерпретации M.
По определению противоречивость формулы
равносильна условию | .
Определение. Формула называется выполнимой, если
она выполнима хотя бы в одной интерпретации M,
которая называется моделью этой формулы.

14.

Таким образом, формула :
общезначимая (или тождественно истинная,
M |
тавтология),
если
в
любой
интерпретации M при любых оценках ;
запись | ;
выполнимая, если M | в некоторой
интерпретации M для некоторой оценки ;
опровержимая, если в некоторой
интерпретации M для некоторой оценки
неверно, что M | ;
тождественно ложная, если в любой
интерпретации M для любой оценки
неверно, что M | .

15.

Замечание 1.
Если формула является предложением, то она
не содержит свободных вхождений переменных
и, следовательно, не зависит от оценок
предметных
переменных
в
области
интерпретации M.
Значит, предложение в интерпретации M
общезначимо в том и только том случае, если оно
выполнимо (т.е. выполняется хотя бы при одной
оценке предметных переменных в области
интерпретации M).