103 параллел прямых и плоскостей

1.

Параллельность
прямых и плоскостей
в пространстве

2. Параллельные прямые в пространстве

Случаи взаимного расположения
прямых в пространстве
прямые пересекаются
прямые не пересекаются
прямые
параллельны
прямые
скрещиваются

3.

Определение:
Две прямые в пространстве называются параллельными
если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Параллельность прямых a и b обозначается так: a||b
d
На рисунке прямые
a и b параллельны,
а прямые a и c, a и d
не параллельны.
b
a
c
α

4.

Параллельность трёх
прямых
Лемма:
Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную
плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
b
a
M
α

5.

Теорема:
Если две прямые параллельны
третьей, то они параллельны.
с
b
a
α

6. Способы задания плоскости

●А
●В
●С
а
α
b
а
α
●М
α
а
b
О
α

7. Скрещивающиеся прямые

Две прямые называются скрещивающимися,
если они не лежат в одной плоскости
b
а

8. Теорема:

Если одна из двух прямых лежит в
некоторой плоскости, а другая прямая
пересекает эту плоскость в точке, не
лежащей на первой прямой, то эти прямые
скрещивающиеся.
В
А
α
Допустим, что прямые
АВ и СD лежат в
некоторой плоскости β.
Доказательство от противного смотри
стр. 15 и запиши в тетрадь.

9.

Параллельность прямой и
плоскости
Случаи взаимного расположения
прямой и плоскости в пространстве
прямая лежит
в плоскости
В
А
α
прямая и
плоскость не
имеют ни одной
общей точки
прямая и плоскость
пересекаются (имеют
одну общую точку)
а
а
М
α
α

10.

Определение:
Прямая и плоскость называются параллельными,
если они не имеют общих точек.
Теорема:
Если прямая, не лежащая в данной
плоскости, параллельна какой-нибудь
прямой, лежащей в этой плоскости, то
она параллельна данной плоскости.
? Докажите теорему методом от противного

11. Материальные модели отношения параллельности прямой и плоскости

Каждое ребро прямоугольного
параллелепипеда параллельно
плоскостям двух его граней.
А прямая, проведённая в грани
бруска с помощью рейсмуса –
параллельна плоскостям трёх
граней.
Каменщики кладут стену под отвес,
шнур которого параллелен
плоскостям стены.
Если подводная лодка идёт
прямолинейно на одной глубине,
значит, параллельно поверхности
моря.

12.

Докажите еще два утверждения, которые
часто используются при решении задач
Если плоскость проходит через
данную прямую, параллельную
другой плоскости, и пересекает
эту плоскость , то линия
пересечения плоскостей
параллельна данной прямой.
Если одна из двух
параллельных прямых
параллельна данной
плоскости, то другая
прямая либо также
параллельна данной
плоскости, либо лежит
в этой плоскости.

13.

Параллельность
плоскостей
Случаи взаимного расположения
плоскостей в пространстве
плоскости
параллельны
плоскости
пересекаются
β
α
β
α

14.

Определение:
Две плоскости называются параллельными, если они
не пересекаются.
α
Теорема:
b
a
M
β
d
c
Если две пересекающиеся
прямые одной плоскости
соответственно параллельны
двум прямым другой
плоскости, то эти плоскости
параллельны.
? Докажите теорему (стр. 20-21)

15. Параллельные плоскости

В параллельных плоскостях
размещают перекрытия
этажей многоэтажных зданий,
стёкла двойных окон, верхние
грани лестничных ступенек.
Параллельны слои фанеры,
пилы, распиливающие бревно
на доски, противоположные
грани кирпича, швеллера,
двутавровой балки и др.

16.

Свойства параллельных плоскостей
Если две параллельные
плоскости пересечены
третьей, то линии их
пересечения
параллельны.
Отрезки параллельных
прямых, заключенные
между параллельными
плоскостями, равны.
? Докажите свойства (стр. 21)

17. Упражнение 1

В кубе A…D1 укажите плоскости, проходящие через вершины куба, параллельные прямой: а) AA1;
б) AB1; в) AC1.
Ответ: а) BCC1В1, CDD1C1, BDD1В1;
б) CDD1С1;
в) нет.

18. Упражнение 2

Сколько имеется пар параллельных прямых и плоскостей, содержащих ребра куба
A…D1?
Решение: Для каждого ребра имеется две грани, ей параллельные, у куба имеется 12 ребер.
Следовательно, искомое число пар параллельных прямых и плоскостей равно 24.

19.

А теперь небольшой тест!
1.
Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они
параллельны?
2.
Точка М не лежит на прямой а. Сколько прямых, не пересекающих прямую а,
проходит через точку М? Сколько из этих прямых параллельны прямой а?
3.
Прямые а и с параллельны, а прямые a и b пересекаются. Могут ли прямые b и с
пересекаться. Могут ли прямые b и c быть параллельны?
4.
Прямая а параллельна плоскости α. Верно ли, что эта прямая не пересекает ни одну
прямую, лежащую в плоскости α?
5.
Верно ли утверждение о том, что две прямые, параллельные одной и той же
плоскости, параллельны между собой?
6.
Прямая а параллельна плоскости α. Сколько прямых, лежащих в плоскости α,
параллельны прямой а? Параллельны ли друг другу эти прямые, лежащие в
плоскости α?
7.
Могут ли быть равны два непараллельных отрезка, заключенные между
параллельными плоскостями?
8.
Даны две параллельные прямые. Через каждую из них проведена плоскость. Эти
две плоскости пересекаются. Как расположена их линия пересечения относительно
данных прямых?
9.
Две стороны параллелограмма параллельны плоскости α. Параллельны ли
плоскость α и плоскость параллелограмма?