Целые и рациональные числа

1. Целые и рациональные числа

2. Что такое число?

Число
—
основное
понятие
математики,
используемое
для
количественной
характеристики (т.е. про
сколько),
сравнения
(больше/меньше),
нумерации
объектов
(порядок) и их частей
(дроби).
Число — это наш язык для
разговора о количестве. Оно
нужно, чтобы:
1. Сказать, сколько штук (5
яблок).
2. Понять, чего больше (5 > 3).
3. Указать очередность (занял 1-е
место).
4. Отмерить часть (отрезал
полпирога).

3. Какие бывают числа?

1.Натуральные
2.Целые
3.Рациональные
4.Иррациональные
5.Действительные
(вещественные)
6.Комплексные
1. Натуральные числа
Представьте, что числа — это как кирпичи.
Самый первый кирпичик — это 1. Чтобы получить
следующее число, мы просто добавляем ещё один
кирпичи: 1, потом 1+1=2, потом 2+1=3, и так дальше.
Это и есть натуральные числа — все, которые
получаются, если считать предметы: 1, 2, 3, 4…
Множество натуральных чисел обычно обозначают буквой
N.
2. Целые числа — это все числа, которые ты можешь
встретить на обычной линейке (или числовой прямой),
если идёшь в обе стороны от нуля.
Это расширение натуральных чисел: к ним добавили ноль
и все числа, противоположные натуральным (–1, –2, –3,
…). Множество целых чисел обозначают буквой Z.

4. Какие бывают числа?

1.Натуральные
2.Целые
3.Рациональные
4.Иррациональные
5.Действительные
(вещественные)
6.Комплексные
3. Рациональные числа — это все те числа, которые
можно записать в виде дроби. Обозначаются буквой
Q.
В эту категорию попадают:
• Все целые числа. Например, 5 можно записать
как 5/1, поэтому оно рациональное.
• Конечные десятичные дроби. Скажем, 0,25 это то
же самое, что 1/4.
• Бесконечные периодические дроби. Это такие
дроби, где после запятой какая-то цифра или
группа цифр повторяется бесконечно. Например,
0,333… (это 1/3) или 0,142857142857… (это 1/7).

5. Какие бывают числа?

1.Натуральные
2.Целые
3.Рациональные
4.Иррациональные
5.Действительные
(вещественные)
6.Комплексные
4. Иррациональные числа — это бесконечная
непериодическая дробь. «Бесконечная»
означает, что у дроби есть бесконечное
количество цифр после запятой.
«Непериодическая» — что у этих цифр нет
никакой повторяющейся закономерности.
Обозначаются буквой I.
Например, число √2 — иррациональное. Если
попробовать извлечь из него корень с помощью
калькулятора, получится число 1,4142135623…
Цифры после запятой будут высчитываться
бесконечно, а в их последовательности не
будет никакой логики.

6. Какие бывают числа?

1.Натуральные
2.Целые
3.Рациональные
4.Иррациональные
5.Действительные
(вещественные)
6.Комплексные
Чем отличаются
рациональные и
иррациональные
числа?
Слово «рациональный» происходит от
«рацио» (разум). Можно сказать, что
рациональные числа — это «логичные»,
«правильные», которые мы можем точно
и чётко записать.
А иррациональные как будто
«нелогичные» — их точную запись в виде
дроби невозможна.

7.

8. Какие бывают числа?

1.Натуральные
2.Целые
3.Рациональные
4.Иррациональные
5.Действительные
(вещественные)
6.Комплексные
5. Действительные числа — это объединение
рациональных и иррациональных чисел.
Их множество обозначают R. Проще говоря, это
все числа, которые можно изобразить на
числовой прямой.

9. Для чего вообще людям понадобились числа?

• Учёт добычи. Древним охотникам нужно было считать
добычу. Чтобы окружить зверя, вождь должен был
распределить людей: «пять справа, семь сзади, четыре
слева» — тут без счёта не обойтись.
• Обмен. Когда одно племя меняло рыбу на каменные
ножи, важно было понять, поровну ли получено и отдано.
• Сельское хозяйство. Чтобы понять, когда засевать поле,
когда начинать полив или ждать приплода у животных,
нужно было вести счёт дням.
• Хранение ресурсов. Пастухи стали использовать глиняные
фигурки: по одной на каждую овцу в стаде. Позже
появились зарубки на палках, узелки на верёвках (как в
кипу у инков).
• Фиксация долгов. Чтобы не забыть о сделке, делали
зарубки на деревянной бирке, а потом раскалывали её
пополам — одна часть оставалась у должника, другая у
кредитора.

10. Почему можно смело пользоваться обыкновенными дробями при вычислениях с рациональными числами?

Нам говорят, что одно и то же рациональное число (например, 0,5) можно записать
разными дробями: 1/2, 2/4, 3/6. И мы в вычислениях спокойно используем любую из них —
ответ всегда будет верным. Почему?
Есть теорема, которая доказывает простую
вещь: Если первая дробь равна второй, и
вторая дробь равна третьей, то первая дробь
обязательно равна третьей.
Допустим, 1/2 = 2/4, а 2/4 = 3/6.
Значит, 1/2 обязательно равна 3/6.

11. Как выполняют арифметические действия над обыкновенными дробями?

1. Сокращение дроби
Представь, что у тебя есть пицца, разрезанная на 60 кусочков, и ты взял 28. Это
дробь 28/60.
Но можно сделать число кусочков поменьше, но оставить тот же самый кусок
пиццы.
Как это делается:
Смотришь, на что делятся и верхнее число (числитель), и нижнее (знаменатель).
Например, 28 и 60 оба делятся на 4. Делим 28 на 4 = 7, и 60 на 4 = 15. Получаем
7/15. Это та же самая часть пиццы, просто записана короче.
Дробь 7/15 уже нельзя уменьшить, потому что 7 и 15 не делятся больше ни на что
общее (кроме 1). Такие числа называют взаимно простыми.

12. Как выполняют арифметические действия над обыкновенными дробями?

2. Сложение и вычитание
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

13. Как выполняют арифметические действия над обыкновенными дробями?

2. Сложение и вычитание
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

14. Как выполняют арифметические действия над обыкновенными дробями?

2. Сложение и вычитание
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

15. Как выполняют арифметические действия над обыкновенными дробями?

2. Сложение и вычитание
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

16. Как выполняют арифметические действия над обыкновенными дробями?

2. Сложение и вычитание
Сложение дробей с разными знаменателями

17.

18. Как выполняют арифметические действия над обыкновенными дробями?

2. Сложение и вычитание
Сложение дробей с разными знаменателями

19. Как выполняют арифметические действия над обыкновенными дробями?

2. Сложение и вычитание
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

20. Как выполняют арифметические действия над обыкновенными дробями?

2. Сложение и вычитание
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

21. Как выполняют арифметические действия над обыкновенными дробями?

2. Сложение и вычитание
Вычитание дробей с разными знаменателями

22.

23. Как выполняют арифметические действия над обыкновенными дробями?

2. Сложение и вычитание
Вычитание дробей с разными знаменателями

24. Как выполняют арифметические действия над обыкновенными дробями?

2. Сложение и вычитание
Вычитание дробей с разными знаменателями

25. Как выполняют арифметические действия над обыкновенными дробями?

3. Деление и умножение
Умножение двух обыкновенных дробей

26. Как выполняют арифметические действия над обыкновенными дробями?

3. Деление и умножение
Умножение двух обыкновенных дробей

27. Как выполняют арифметические действия над обыкновенными дробями?

3. Деление и умножение
Умножение обыкновенной дроби на натуральное число

28. Как выполняют арифметические действия над обыкновенными дробями?

3. Деление и умножение
Умножение обыкновенной дроби на натуральное число

29. Как выполняют арифметические действия над обыкновенными дробями?

3. Деление и умножение
Умножение обыкновенной дроби на натуральное число

30. Как выполняют арифметические действия над обыкновенными дробями?

3. Деление и умножение
Деление двух обыкновенных дробей

31. Как выполняют арифметические действия над обыкновенными дробями?

3. Деление и умножение
Деление двух обыкновенных дробей

32. Как выполняют арифметические действия над обыкновенными дробями?

3. Деление и умножение
Деление двух обыкновенных дробей