Основные понятия биометрии. Группировка первичных данных

1. Основные понятия биометрии. Группировка первичных данных.

Подготовила: к.т.н., доцент кафедры САПР,
Буткина Анна Александровна

2. Понятие экспериментального исследования

Эксперимент – это метод исследования, состоящий в
целенаправленном воздействии на объект в заданных
контролируемых условиях, позволяющих следить за ходом его
проведения с точным фиксированием значений заранее
намеченных параметров исследуемого объекта с требуемой
надежностью и точностью и воссоздать его каждый раз по мере
необходимости при повторении тех же условий его проведения.
Основной задачей любого эксперимента является не только
получение неизвестных ранее сведений об объекте
исследования, но и достоверное установление закономерностей
его поведения в изменяющихся условиях, совпадающих с
условиями его функционирования в природе, технике,
общественной жизни и т.д.

3. Возникновение биометрии:

Френсис Гальтон – «отец»
биометрии.
Впервые попытался
применить методы
математической статистики
для объяснения
биологических явлений.

4. Предмет и основные понятия биометрии

Предметом биометрии является любой
биологический объект, изучаемый с применением
счёта или меры, т. е. с количественной стороны с
целью более или менее точной оценки его
качественного состояния.
Статистической совокупностью называют
множество относительно однородных, но
индивидуально различимых единиц, объединённых для
совместного (группового) изучения.

5. Статистическая совокупность

единица наблюдения
единица наблюдения
единица наблюдения
Статистический комплекс
разнородная группа
разнородная группа
разнородная группа

6. Признаки и их свойства

Объекты каждого исследования (растения,
животные, микроорганизмы, урожаи с опытных
делянок или вегетационных сосудов, образцы
плодов, семян и пр.) образуют общую, или
генеральную, совокупность
В статистическую совокупность следует включать
лишь числа, относящиеся к качественно
однородным признакам (свойствам) объекта
исследования.
Колебания величины одного и того же признака,
наблюдаемые в массе однородных элементов
статистической совокупности, называют
вариациями, а отдельные числовые значения
варьирующего признака - вариантами.

7. Классификация признаков

Признаки
Качественные
(атрибутивные)
Количественные
Мерные
(метрические)
Счётные
(меристические)
На языке математики величина любого
варьирующего признака называется
переменной случайной величиной
x1, x2, x3, . . . , xn или y1, y2, y3, . . . , yn

8. Причины варьирования результатов наблюдений

Ошибки
Случайные
Систематические
Технические
Разность между результатами измерений и
действительными значениями измеряемой
величины называется погрешностью
(ошибкой)
Личные

9. Правила вычисления результатов (по П.М. Крылову)

Точность измерений. Действия над
приближёнными числами
Правила вычисления результатов
(по П.М. Крылову)
Правила 1-5. При сложении и вычитании, умножении и
делении, возведении в квадрат или куб, извлечении корня
квадратного или кубического, при использовании логарифмов - в
результате нужно сохранять столько десятичных знаков после
запятой, сколько их имеет “слагаемое” с наименьшим
количеством десятичных знаков.
Правило 6. Для промежуточного результата, получаемого по
правилам 1-5, необходимо сохранить одну дополнительную
“запасную” цифру; в конечном результате ее отбрасывают.
Правило 7. Если исходные данные имеют разное количество
десятичных знаков или значащих цифр, то их надо
предварительно округлить с сохранением одной “запасной”
цифры.

10. Способы группировки первичных данных

Процесс систематизации результатов массовых
наблюдений, объединения их в относительно
однородные группы по некоторому признаку
называется группировкой.
Наиболее распространённой формой группировки
являются статистические таблицы.

11. Примеры статистических таблиц

12. Статистические ряды

Статистическим рядом называется ряд
числовых значений признака, расположенных в
определённом порядке.
В зависимости от того, какие признаки
изучаются, статистические ряды подразделяются
на атрибутивные, вариационные, ряды
динамики и регрессии, а также ряды
ранжированных значений признаков и ряды
накопленных частот, которые являются
производными вариационных рядов.

13. Вариационные ряды

Пример 1.1. Из урожая картофеля, собранного
на опытной делянке, случайным образом
отобрано 25 клубней, в которых подсчитывали
число глазков. Результаты подсчёта оказались
следующими: 6, 9, 5, 7, 10, 8, 9, 10, 8, 11, 9, 12,
9, 8, 10, 11, 9, 10, 8,10,7,9,11,9,10. Чтобы
разобраться в этих данных, расположим их в ряд
в порядке регистрации результатов наблюдений с
учётом повторяемости вариант в этой
совокупности.

14. Вариационные ряды

Варианты, xi
Число
вариант, fi
8
6
1
9
7
Частота
6
4
2
0
0
5
10
15
Количество глазков в клубне
5
1
7
2
10
6
8
4
11
3
12
1

15. Вариационные ряды

Под ранжированием понимают расположение
элементов вариационного ряда в порядке
возрастания или убывания.
Варианты, xi
5
6
7
8
9
10
11
12
Число
вариант, fi
1
1
2
4
7
6
3
1
В зависимости от того, как варьирует признак -
дискретно или непрерывно, в широком или узком
диапазоне, - статистическая совокупность
распределяется в безынтервальный или
интервальный вариационный ряд.
Различают равно- и неравноинтервальные
вариационные ряды

16. Пример неравноинтервального вариационного ряда

17. Равноинтервальные вариационные ряды

(1.1)
K=1+3,32*lg(n)
(1.2)

18. Техника построения вариационных рядов

Пример 1.2. Жирномолочность 60 коров,
содержащихся на ферме, варьирует от 3,21% до
4,55%. Определить, какой тип вариационного
ряда необходимо построить для проведения
исследования.
(1.3)
Середины классовых интервалов приобретают
значения отдельных вариант и называются
классовыми вариантами в отличие от
конкретных вариант, составляющих данную
совокупность

19. Техника построения вариационных рядов

Пример 1.3. На свиноферме зарегистрировано
64 опороса. Количество поросят, полученных от
каждой свиноматки, варьировало следующим
образом:
8 10 6 10 8 5 11 7 10 6 9 7 8 7 9 11
8 9 10 8 7 8 11 8 7 10 8 8 5 11 8 10
12 7 5 7 9 7 10 5 8 9 7 12 8 9 6 7
8 7 11 8 6 7 9 10 8 10 6 11 6 7 12 6

20. Техника построения вариационных рядов

21. Техника построения вариационных рядов

Пример 1.4. На основании многолетних клинических
наблюдений, проводившихся в Сухумском питомнике
обезьян, составлена следующая выборка, включающая
100 анализов на содержание кальция (мг%) в сыворотке
крови низших обезьян (павианов-гамадрилов) :
13,6 12,9 12,3
9,9 12,7 11,7 10,8 10,4 10,9 10,2
10,2 10,4 11,6 11,7 12,1 10,9 12,1
9,2 10,7 11,5
13,1 10,9 12,0 11,1 13,5 11,2 13,5 10,1 14,0 10,0
11,6 12,4 11,9 11,4 12,8 11,4 10,9 12,7 13,8 13,2
11,9 10,8 11,0 12,6 10,0 10,3 12,7 11,7 12,1 13,8
12,2 11,9 11,6 10,6 11,1 10,7 12,3 11,5 11,2 11,5
12,7 10,5 11,2 11,9
9,7 13,0
9,6 12,5 11,6 9,0
11,5 12,3 12,8 12,6 12,8 12,5 12,8 11,4 12,5 12,3
14,5 12,3 12,6 11,7 12,2 12,3 11,6 12,0 13,5 12,5
11,6 11,9 12,0 11,4 14,7 11,3 13,2 14,3 13,2 14,2

22. Графики вариационных рядов

30
25
Частота
20
15
10
5
0
9,4
10,1
10,8
11,5
12,2
12,9
13,6
Количество поросят в отдельных помётах
14,3

23. Графики вариационных рядов

30
25
Частота
20
15
10
5
0
9,4
10,1
10,8
11,5
12,2
12,9
13,6
14,3
15
8,7
9,4
10,1
10,8
11,5
12,2
12,9
13,6
14,3
Границы классовых интервалов

24. Графики вариационных рядов

120
Кумулированные частоты
100
80
60
40
20
0
9,1
9,8
10,5
11,2
11,9
12,6
13,3
Значения классовых вариант
14,0
14,7

25. Основные характеристики варьирующих объектов.

Подготовила: к.т.н., доцент кафедры САПР,
Буткина Анна Александровна

26. Основные характеристики варьирующих объектов

Для полного описания варьирующих объектов
используются особые, логически и теоретически
обоснованные числовые показатели, называемые
статистическими характеристиками. К ним
относятся, прежде всего, средние величины и
показатели вариации.
В отличие от индивидуальных числовых
характеристик средние величины обладают
большей устойчивостью, способностью
характеризовать целую группу однородных
единиц одним (средним) числом.

27. Основные характеристики варьирующих объектов

В зависимости от того, как распределены
первичные данные, - в равно- или в
неравноинтервальный вариационный ряд, - для
их характеристики применяют разные средние
величины.
При распределении собранных данных в
неравноинтервальный вариационный ряд более
подходящей обобщающей характеристикой
изучаемого объекта является так называемая
плотность распределения, т. е. отношение
частот или относительных частот к длине
классовых интервалов

28. Основные характеристики варьирующих объектов

Средняя плотность показывает, сколько единиц
данной совокупности приходится в среднем на
интервал, равный единице измерения
учитываемого признака

29. Основные характеристики варьирующих объектов

30. Основные характеристики варьирующих объектов

В качестве статистических характеристик
равноинтервальных вариационных рядов
применяют степенные и структурные
(нестепенные) средние величины.
Степенные средние вычисляют по обобщенной
формуле

31. Степенные средние величины. Средняя арифметическая

Из общего семейства степенных средних наиболее
часто используют среднюю арифметическую.
Этот показатель является центром распределения,
вокруг которого группируются все варианты
статистической совокупности.
Средняя арифметическая может быть простой и
взвешенной.
Простую среднюю арифметическую определяют
как сумму всех элементов совокупности,
поделённую на их количество:
x1 + x2 + ... + xn 1 n
x=
= xi .
n
n i =1
(2.1)

32. Средняя арифметическая

Когда отдельные варианты повторяются, и в
совокупности имеется k различных вариант,
среднюю арифметическую вычисляют по формуле
1
x = x f.
n
k
i =1
i
i
(2.2)
и называют взвешенной средней, причём
весовыми коэффициентами являются частоты fi
вариант.

33. Средняя арифметическая

При объединении групповых средних их весовыми
коэффициентами будут объёмы ni групп, по которым
эти средние вычислены. Общую (взвешенную)
среднюю арифметическую нескольких однородных
групп вычисляют по формуле
k
x n
x = i =1k
i
i
n
i =1
(2.3)
i
Пример 2.1. Содержание гемоглобина в крови,
взятой у 30 взрослых мужчин, оказалось равным в
среднем 69,8%. Тот же самый показатель у 20
других мужчин того же возраста составил в среднем
64,9%. Нужно определить среднюю арифметическую
на основании этих двух средних.

34. Средняя арифметическая

С в о й с т в о 2. 1 . Если каждую варианту
статистической совокупности увеличить (уменьшить)
на некоторое произвольно взятое положительное
число A, то и средняя арифметическая увеличится
(уменьшится) на это же число.
x = x*+А
Пример 2.2. Пусть имеется шесть вариант: 7, 9, 15,
10, 11 и 8. Найти среднюю арифметическую.
7 + 9 + 15 + 10 + 11 + 8 60
А = 7.
x=
=
= 10.
6
6
0 + 2 + 8 + 3 + 4 + 1 18
x* =
= = 3, x = x * + А = 3 + 7 = 10.
6
6

35. Средняя арифметическая

С в о й с т в о 2. 2 . Если каждую варианту
статистической совокупности умножить (разделить)
на некоторое положительное число А 0, то и
средняя арифметическая изменится во столько же
раз.
x = x * А
Пример 2.3. Найти среднюю арифметическую,
используя свойство 2.2.
3,5 + 4,5 + 7,5 + 5 + 5,5 + 4 30
x* =
=
= 5.
6
6
А = 2,
x = x * А = 5 2 = 10.

36. Средняя арифметическая

С в о й с т в о 2. 3 . Сумма отклонений xi − x
вариант от их средней арифметической равна нулю.
Пример 2.4. Найти cумму отклонений
вариант от их средней арифметической.
x − x = (7 − 10) + (9 − 10) + (15 − 10) + (10 − 10) +
i
+ (11 − 10) + (8 − 10) = −3 − 1 + 5 + 0 + 1 − 2 = 0

37. Средняя арифметическая

С в о й с т в о 2. 4 . Сумма квадратов отклонений
вариант от их средней арифметической меньше
суммы квадратов отклонений тех же вариант от
любой другой величины A, т. е.
(x − x ) (x − A)
2
i
2
i
Пример 2.5. Для совокупности чисел из примера
2.2 вычислим сумму квадратов отклонений этих
чисел от их средней арифметической.
2
(
x
−
x
)
= 9 + 1 + 25 + 0 + 1 + 4 = 40
i
2
2
2
2
2
(
x
−
A
)
=
(
7
−
8
)
+
(
9
−
8
)
+
(
15
−
8
)
+
(
10
−
8
)
+
i
+ (11 − 8) 2 + (8 − 8) 2 = 1 + 1 + 49 + 4 + 9 + 0 = 64 40 = ( xi − x) 2

38. Средняя гармоническая

Среднюю гармоническую определяют как
количество вариант, делённое на сумму обратных к
вариантам значений. Для определения простой и
взвешенной средней гармонической
используются соответственно формулы
n
xh =
(1 xi )
или
n
xh =
,
( f i xi )
(2.4)
где n - число проведённых наблюдений, xi -
значения вариант, fi – частоты вариант.

39. Средняя гармоническая

Пример 2.6. Пять доярок в течение одного часа
надоили следующее количество молока: первая − 10 л,
вторая − 20 л, третья − 25 л, четвёртая − 30 л и пятая −
20 л. Таким образом, за один час было надоено 105 л
молока. Оценим эти итоги с помощью средней
арифметической и средней гармонической величин.
10 + 20 + 25 + 30 + 20 105
x=
=
= 21 л
5
5
xh =
5
5 300
=
=
1 10 + 1 20 + 1 25 + 1 30 + 1 20 30 + 15 + 12 + 10 + 15
1500
=
18,29 л.
82

40. Средняя гармоническая

60 x = 60 21 2,86
мин/л.
Первая доярка на выдаивание 1л молока затратила
60/10 = 6 мин, вторая и пятая по 60/20 = 3 мин,
третья 60/25 = 2,4 мин и четвёртая 60/30 = 2 мин.
В среднем получается (6 + 3 + 2,4 + 2 + 3)/5 =
=16,4/5 = 3,28 мин/л.
60
60
=
3,28 мин/л,
xh 18,29

41. Средняя квадратическая

Для более точной числовой характеристики мер
площади применяется средняя квадратическая
величина. Это показатель вычисляют по формулам
xq =
x
2
i
n
xq =
или
x f .
2
i
i
n
(2.5)
Пример 2.7. Измеряли площадь корзинок у десяти
наугад отобранных растений подсолнечника.
Результаты измерений распределились следующим
образом:
Площадь корзинок xi,см2 50 95
130
175
200
220
Число случаев fi
2
3
2
1
1
1

42. Средняя квадратическая

2
2
2
2
2
2
2
x
f
=
50
1
+
95
1
+
130
2
+
175
3
+
200
2
+
220
1 =
i i
= 2500 + 9025 + 16900 2 + 30625 3 + 40000 2 + 48400 =
= 11525 + 33800 + 91875 + 80000 + 48400 = 265600 .
265600
xq =
= 26560 = 162,9 163 см 2 .
10
(
50 + 95 + 220 ) 1 + (130 + 200 ) 2 + 175 3
x=
=
10
365 + 660 + 525 1550
=
=
= 155 см2 163 см2 = xq .
10
10

43. Средняя кубическая

В качестве характеристики объёмных признаков более
точной является средняя кубическая величина,
которая определяется по одной из формул
xQ =
3
x
3
i
n
xQ =
или
3
x f .
3
i
(2.6)
i
n
Пример 2.8. Измеряли объём наугад отобранных 18
куриных яиц, учитывая полусумму большого и малого
диаметров. Результаты измерений оказались
следующими:
Диаметр яиц xi,см
4,7
4,8
5,0
5,4
5,6 6,0
Число случаев fi
2
4
6
3
2
1

44. Средняя геометрическая

Этот показатель представляет собой корень n-й
степени из произведений элементов совокупности, т.е.
xg = n x1 x2 x3 xn ,
Обычно среднюю геометрическую вычисляют с
помощью десятичных логарифмов по одной из
следующих рабочих формул:
lg x
lg x =
,
i
g
n
lg (xi xi−1 )
lg xg =
,
n
lg xк − lg xн
lg xg =
.
n
(2.7)
(2.8)
(2.9)

45. Средняя геометрическая

Пример 2.9. По данным Дональдсона, масса тела
лабораторных мышей изменялась с возрастом
следующим образом:

46. Средняя геометрическая

7,58892
lg xg =
= 0,94861, откуда xg = 10 0 , 94861 = 8,88 8,9 г.
8
x = 77 / 8 = 9,62 9,6 г.
0,93806
lg xg =
= 0,11726 , откуда xg = 10 0 ,11726 = 1,3099 1,310 г.
8
x = 10,50 / 8 = 1,3125 1,313
г.
lg 87 − lg 10
lg xg =
0,11744 , откуда xg = 10 0,11744 = 1,3105 1,311 г.
8

47. Средняя геометрическая

Пример 2.10. По данным М. А. Ольшанского (1950 г.),
в результате пятилетнего отбора (1936-1940 гг.) длина
волокна у гибридного сорта хлопчатника увеличилась с
26,3 мм до 31,0 мм. Определить среднегодовой эффект
селекции этого признака.
lg 31,0 − lg 26,3 1,49136 − 1,41996
lg xg =
=
0,01428 ,
5
5
откуда xg = 10 0 , 01428 = 1,03343 1,0334 мм, что составляет
(1,0334 / 26,3) 100 % 3,9% от начальной ( базисной)
величины (26,3 мм) этого признака.

48. Средние степенные величины

xQ xq x xg xh .
ряд мажорантности

49. Показатели вариации

Для характеристики варьирующих признаков наряду
со средними используют также показатели
вариации.
Одними из таких показателей являются лимиты,
обозначаемые символом lim. В биометрии под этим
термином понимают значения минимальной xmin и
максимальной xmax вариант совокупности.
Ещё одним показателем является размах
вариации, представляющий собой разность
максимальной и минимальной вариант совокупности,
т. е. R = xmax − xmin

50. Показатели вариации

Пример 2.11. Рассмотрим два вариационных ряда с
одними и теми же равными единице частотами
входящих в их составы вариант:
x1
10
15
20
25
30
35
40
45
50
x1 = 30
x2
10
28
28
30
30
30
32
32
50
x2 = 30
Сумма отклонений вариант от их средней
арифметической, вычисленная без учёта знаков и
приведённая к числу наблюдений, называется
средним линейным отклонением:
d=
x −x
i
n
.
(2.10)

51. Показатели вариации

Пример 2.12 Если вычислить суммы отклонений
вариант от их средней арифметической для рядов x1 и
x2 из примера 2.11, то получим следующие
результаты:
d1
20
15
10
5
0
5
10
15 20
d = 100
d2
20
2
2
0
0
0
2
2
d = 48
100
48
d1 =
= 11,1 и d 2 =
= 5,3.
9
9
20
1
2

52. Дисперсия

Дисперсия представляет собой средний квадрат
отклонений вариант от их средней арифметической.
(x − x )
n
s =
2
x
i =1
(x − x ) f
k
2
i
s =
2
x
или
n
i =1
2
i
(2.11)
i
n
Дисперсия, вычисляемая по формулам (2.11) ,
оказывается смещённой по отношению к своему
генеральному параметру на величину, равную
n/(n−1). Чтобы получить несмещённую дисперсию,
нужно использовать поправку Бесселя, в результате
чего первая из формул (2.11) изменится следующим
n
n
2
2
образом:
xi − x
xi − x
n
(2.12)
2
i =1
i =1
sx =
(
)
n
n −1
=
(
n −1
)
.

53. Дисперсия

С в о й с т в о 2.5. Если каждую варианту
совокупности уменьшить или увеличить на одно и то
же постоянное значение A, то дисперсия не
изменится.
Пример 2.13 Снова рассмотрим совокупность
вариант 7, 9, 15, 10, 11 и 8 из примера 2.2. Найти
среднюю
арифметическую.
n
(x − x )
2
2
2
2
(
7
−
10
)
+
(
9
−
10
)
+
(
15
−
10
)
+
2
i =1
sx =
=
=
n −1
6 −1
+ (10 − 10) 2 + (11 − 10) 2 + (8 − 10) 2 (−3) 2 + (−1) 2 + 52 + 02 + 12 + (−2) 2
=
=
6 −1
5
9 + 1 + 25 + 1 + 4 40
=
=
=8
5
5
i

54. Дисперсия

Уменьшим каждую из вариант совокупности на
значение A = 6. Тогда по свойству 2.1
x* = x − А = 10 − 6 = 4
(x − x *)
n
s =
2
x*
i =1
*
i
n −1
2
9 + 1 + 25 + 0 + 1 + 4 40
=
=
= 8 = sx2 .
5
5

55. Дисперсия

С в о й с т в о 2.6. Если каждую варианту
совокупности умножить (разделить) на одно и то же
постоянное число A<>0, то дисперсия увеличится
(уменьшится) в A2 раз.
Пример 2.14 Проиллюстрируем это свойство также
на данных из примера 2.2. Разделим каждую
варианту совокупности на A = 2. В этом случае,
согласно свойству 2.2, средняя арифметическая
также уменьшится в два раза
x* = x / А = 10 / 2 = 5

56. Дисперсия

(x − x *)
n
s =
2
x*
i =1
*
i
2
2,25 + 0,25 + 6,25 + 0,00 + 0,25 + 1,00
=
=
5
n −1
10
8 sx2
= =2= 2 = 2.
5
2
A

57. Поправки, вносимые при вычислении средней арифметической и дисперсии

58. Дисперсия

Рабочие формулы, которые используются при
вычислении дисперсии непосредственно по значениям
варьирующего признака
2
n
x
i
n
1
s x2 =
xi2 − i =1 ,
n − 1 i =1
n
n 2 n 2
xi xi
n i=1
2
i =1
sx =
−
,
2
n −1 n
n
2
1 n 2
2
,
sx =
x
−
n
x
i
n − 1 i =1
(2.13)
(2.14)
(2.15)

59. Дисперсия

или, с учётом повторяемости отдельных вариант,
2
n
xf
i i
n
1
,
s x2 =
xi2 f i − i=1
n − 1 i=1
n
2
n
n 2
xf
xi f i i i
n
s x2 =
− i =1 2 ,
i=1
n −1 n
n
2
1 n 2
2
.
sx =
x
f
−
n
x
i
i
n − 1 i =1
(2.16)
(2.17)
(2.18)

60. Среднее квадратическое отклонение

Наряду с дисперсией важнейшей характеристикой
варьирования является среднее квадратическое
отклонение − показатель, представляющий собой
квадратный корень из дисперсии:
sx =
(x − x ) .
30
30
2
2
i
(2.19)
Пример 2.15 Вернёмся к рассмотренным в примере
2.11 вариационным рядам, у которых одинаковые
размах вариации и средние показатели, но различный
характер варьирования.
x1
10
15
20
25
30
35
40
45
50
x2
10
28
28
n −1
30
32
32
50

61. Среднее квадратическое отклонение

62. Среднее квадратическое отклонение

(x − x ) = 2 (25 + 100 + 225 + 400 ) = 2 750 = 1500,
n
i =1
2
(i )
1
1
(x − x ) = 4 4 + 2 400 = 16 + 800 = 816,
n
i =1
(i )
2
2
2
1500
s =
= 187,5,
9 −1
816
s =
= 102,0,
9 −1
sx = 187,5 = 13,69 13,7,
sx = 102,0 = 10,09 10,1.
2
x1
1
2
x2
2

63. Поправка Шеппарда

При вычислении обобщающих характеристик для
непрерывно варьирующих признаков допускают
систематическую погрешность, величина которой
зависит от длины классового интервала, чем длиннее
интервал, тем больше погрешность.
У. Шеппард (1898 г.) установил, что разность между
расчётным и фактическим значениями дисперсии
составляет 1/12 квадрата длины классового
интервала.
При вычислении дисперсии по формуле (2.12) следует
вносить поправку Шеппарда,т. е. вычитать величину
λ2/12 из значения s2x.

64. Поправка Шеппарда

Пример 2.16 Рассмотрим распределение кальция в
сыворотке крови обезьян, для которого известны
величины s2x = 1, 58 и sx = 1,3. Учитывая длину λ =
0,7 мг% классового интервала и внося поправку
Шеппарда, получим, что
2
0
,
7
0,49
2
sx = 1,58 −
= 1,58 −
= 1,58 − 0,040833 = 1,539167 1,54
12
12
sx2 = 1,54 = 1,24 1,2.
Поправку Шеппарда обычно применяют или при
высокой точности расчётов, или при наличии
большого (более 500) числа наблюдений,
распределяемых в интервальный вариационный ряд.

65. Коэффициент вариации

Одним из относительных показателей вариации
является коэффициент вариации, который
представляет собой среднее квадратическое
отклонение, выраженное в процентах от средней
арифметической:
sx
C x = 100 %.
x
Пример 2.17 Сравнивают два варьирующих
(2.20)
признака. Один из них характеризуется средней
арифметической 2,4 кг и средним квадратическим
отклонением 0, 58 кг, а другой величинами — 8,3 см
и 1,57 см. Значение среднего квадратического
отклонение второго признака почти в три раза
больше, чем первого. Следует ли отсюда, что второй
признак варьирует сильнее, чем первый?

66. Коэффициент вариации

sx1
0,58
Cx1 = 100 % =
100% = 24,2,
2,4
x1
s x2
1,58
C x2 =
100% =
100 % = 18,9.
8,3
x2
Варьирование считается слабым, если коэффициент
вариации не превышает 10%, средним, если он
находится в пределах от 11% до 25%, и
значительным, если коэффициент вариации выше
25%.
Применяя коэффициент вариации в качестве
характеристики варьирования, следует учитывать
единицы измерения учитываемого признака —
линейные или объёмные.

67. Коэффициент вариации

Пример 2.18 Ю. Г. Артемьевым, который исследовал
варьирование величины внутренних органов у малых
сусликов в зависимости от того, какими единицами
измерения выражены признаки, были получены
результаты (1939 г.) , представленные в таблице:

68. Нормированные отклонения

Отклонение той или иной варианты от средней
арифметической, приведённое к величине среднего
квадратического отклонения, называют
нормированным отклонением и вычисляют по
формуле:
xi − x
ti =
.
sx
(2.21)
Пример 2.19 При обследовании группы подростков в
возрасте от 15 до 16 лет установлено, что средний
рост юношей характеризуется следующими
показателями: средней арифметической — 164, 8 см и
средним квадратическим отклонением — 5, 8 см. В
группе оказался юноша, рост которого равен 172,4
см. Как велико отклонение роста этого юноши от
средней величины данного признака в группе?

69. Нормированные отклонения

172,4 − 164,8 7,6
ti =
=
= 1,31.
5,8
5,8
Пример 2.20 Пусть, например, нормированное
отклонение у рассматриваемого в примере 2.19
юноши по ширине плеч равно (−0, 41). Тогда можно
утверждать, что его рост отклоняется от среднего
значения в сторону больших величин этого признака,
а ширина плеч в сторону меньших, т. е. характерен
относительно узкоплечий тип телосложения.

70. Структурные средние и способы их вычисления

Во многих случаях в качестве обобщающих
характеристик статистической совокупности более
полезными могут оказаться так называемые
структурные средние.
Эти величины обычно представляют собой конкретные
варианты статистической совокупности, которые
занимают особое место в ряду распределения.

71. Медиана

Одной из структурных средних величин является
медиана – средняя, относительно которой ряд
распределения делится на две равные части, т. е. по
обе стороны от медианы располагается одинаковое
число вариант.
При наличии небольшого числа вариант медиана
определяется довольно просто. Для этого собранные
данные ранжируют, и при нечётном числе членов
ряда центральная варианта и будет являться его
медианой.
При чётном числе членов ряда медиана определяется
как полусумма двух соседних вариант, находящихся в
центре ранжированного ряда.

72. Медиана

Пример 2.21. Для ранжированных значений
12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28 признака медианой
будет являться центральная варианта, т. е. Me = 20,
поскольку по обе стороны от неё находятся по четыре
варианты.
Для ранжированного ряда
6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24 с чётным числом
членов медианой будет являться полусумма двух
центральных вариант, т. е.
14 + 16 30
Ме =
=
= 15.
2
2

73. Медиана

Для данных, сгруппированных в вариационный ряд
сначала определяют классовый интервал, в котором
содержится медиана. Для этого частоты ряда
кумулируют в направлении от меньших значений
классовых вариант к большим. Первая из величин в
ряду накопленных частот ∑fi, которая превышает
значение n/2, соответствует медианному классу.
Затем вычисляют разность между величиной n/2 и
суммой ∑fi накопленных частот, предшествующей
медианному классу, и относят вычисленную разность
к частоте fMe медианного класса. Полученный
результат умножают на длину L классового интервала.
Найденное таким образом значение прибавляют к
нижней границе xн медианного класса.
Если же исходные данные распределены в
безынтервальный вариационный ряд, эту величину
прибавляют к полусумме соседних классовых вариант.

74. Медиана

n
−
f
i
Me = xн + L 2
f Me
(2.22)
где xн - нижняя граница классового интервала,
содержащего медиану, либо полусумма соседних
классов безынтервального ряда, в промежутке между
которыми находится медиана;
L - длина классового интервала;
n - общее число наблюдений (объём статистической
совокупности);
∑fi - сумма накопленных частот, предшествующая
медианному классу;
fMe - частота медианного класса.

75. Медиана

Пример 2.22 Вычислим медиану для ряда
распределения кальция в сыворотке крови обезьян.
Результаты построения вариационного ряда
приведены в таблице :
Классовые интервалы Срединные значения xi Частоты fi
8,7-9,4
9,05
2
9,4-10,1
9,75
5
10,1-10,8
10,45
9
10,8-11,5
11,15
17
11,5-12,2
11,85
25
12,2-12,9
12,55
24
12,9-13,6
13,25
9
13,6-14,3
13,95
5
14,3-15,0
14,65
4
Сумма
100

76. Медиана

Пример 2.23 Определить медиану для ряда
распределения количества поросят в пометах 64
свиноматок. Результаты построения вариационного
ряда приведены в таблице :
Варианты xi
Частоты fi
5
4
6
7
7
13
8
15
9
7
10
9
11
6
12
3

77. Мода

Модой называется величина, наиболее часто
встречающаяся в данной статистической
совокупности.
Класс с наибольшей частотой называется
модальным. Модальный класс достаточно просто
определяется в безынтервальных вариационных
рядах: это варианта, соответствующая наибольшей
частоте.

78. Мода

Для определения моды интервальных
вариационных рядов используется формула
(2.23)
где xн - нижняя граница модального класса (класса с
наибольшей частотой f2);
f1 - частота класса, предшествующего модальному;
f3 - частота класса, следующего за модальным;
L - длина классового интервала.

79. Мода

Пример 2.24 Вычислим моду ряда распределения
кальция в сыворотке крови обезьян. Результаты
построения вариационного ряда приведены в таблице:
Классовые интервалы Срединные значения xi
8,7-9,4
9,05
9,4-10,1
9,75
10,1-10,8
10,45
10,8-11,5
11,15
11,5-12,2
11,85
12,2-12,9
12,55
12,9-13,6
13,25
13,6-14,3
13,95
14,3-15,0
14,65
Сумма
Частоты fi
2
5
9
17
25
24
9
5
4
100

80. Квантили

Наряду с медианой и модой к структурным
характеристикам вариационного ряда относятся так
называемые квантили, отсекающие в пределах
вариационного ряда определённую часть его членов.
К ним относятся квартили, децили и персентили.
Квартили - три значения Q1, Q2 и Q3 признака,
которые делят ранжированный вариационный ряд на
четыре равные части.
Аналогичным образом девять децилей делят
вариационный ряд на 10 равных частей, а 99
персентилей - на 100 равных частей.

81. Персентили

На практике обычно используют персентили P3, P10,
P25, P50, P75, P90 и P97. При этом персентили P25 и P75
соответствуют первому и третьему квартилям, между
которыми находится 50% всех членов вариационного
ряда, а персентиль P50 соответствует второму
квартилю и равен медиане, т. е. P50 = Me.
Любой персентиль определяется формулой
(2.24)
где xн - нижняя граница класса, содержащего
персентиль Pj, которая определяется по величине
K=Ljn/100%, превосходящей ∑fi или равной ей в ряду
накопленных частот; L - длина классового интервала;
fp - частота класса, содержащего персентиль Pj;
Lj – порядок персентиля; n – объем совокупности.

82. Персентили

Пример 2.25 Найти 50-й персентиль ряда
распределения годового удоя коров. Результаты
построения вариационного ряда приведены в таблице:
Классовые интервалы
2500-2600
2600-2700
2700-2800
2800-2900
2900-3000
3000-3100
3100-3200
3200-3300
Частоты fi
2
5
13
20
16
17
4
3

83. Персентили

Пример 2.26 Определить 50-й персентиль для ряда
распределения численности поросят в помётах 64
свиноматок. Результаты построения вариационного ряда
приведены в таблице:
Варианты xi
Частоты fi
5
4
6
7
7
13
8
15
9
7
10
9
11
6
12
3

84. Статистические характеристики при альтернативной группировке вариант

При альтернативной группировке исходных
данных одной группа вариант противопоставляется
другая.
Их статистическими характеристиками будут являться
как абсолютные, так и относительные численности
противопоставляемых друг другу групп (альтернатив).
Если абсолютную численность вариант, обладающих
данным признаком, обозначить через m, то
численность вариант противоположной группы, не
имеющих данного признака, будет равна (n − m), где
n - общий объём рассматриваемой статистической
совокупности.

85. Статистические характеристики при альтернативной группировке вариант

Пример 2.27 Например, среди n = 408
новорождённых оказалось m = 208 мальчиков. Тогда
число новорождённых девочек оказалось равным
(n−m) = 408−208 = 200.
Численность альтернатив можно выразить в долях
единицы, а также в процентах от их общего числа n.
Обозначив долю вариант, обладающих учитываемым
признаком, через p, получим p = m/n. Тогда доля
вариант, не обладающих этим признаком и
обозначаемая буквой q, выразится отношением

86. Статистические характеристики при альтернативной группировке вариант

Для того чтобы численность противопоставляемых групп
была выражена в процентах, достаточно каждую долю
умножить на 100%
(2.25)
В качестве характеристики альтернативного
варьирования выступает среднее квадратическое
отклонение sp, которое определяют по формуле
(2.26)
Если же численность групп (альтернатив) выражена в
процентах от их общего числа n, то
(2.27)

87. Статистические характеристики при альтернативной группировке вариант

Когда альтернативы выражены абсолютными
числами, среднее квадратическое отклонение
определяют по формуле
(2.28)
Пример 2.28 Для данных из примера 2.27 доля
мальчиков составила p = 208/408 ≈ 0, 51, а доля
новорождённых девочек: q = 200/408 ≈ 0, 49.

88. Законы распределения

Подготовила: к.т.н., доцент кафедры САПР,
Буткина Анна Александровна

89. Характерные черты варьирования

В любом более или менее симметричном
вариационном ряду заметна одна характерная
особенность - накопление вариант в центральных
классах и постепенное убывание их численности по
мере удаления от центра ряда.

90. Характерные черты варьирования

Отмеченная черта варьирования обнаруживается не
только в распределении людей по росту, но и по
многим другим признакам.
Впервые на эту закономерность варьирования обратил
внимание Адольф Кетле (1835 г.), исследовавший
распределение нескольких тысяч американских
солдат по росту (длине тела).
Описанная закономерность относится не только к
человеку. Примеров можно привести много. Особенно
примечательно, что не только распределения живых
существ и продуктов их жизнедеятельности, но и
случайные ошибки измерений подчиняются этой
закономерности.

91. Случайные события

На языке теории вероятностей любой результат
(исход) однократного испытания называется
событием.
Под испытанием, которое может повторяться
бесконечно большое число раз, подразумевают
комплекс условий, необходимых для того, чтобы тот
или иной исход мог осуществиться.
События называются достоверными, если у них есть
только один заранее предсказуемый исход.
Если же при осуществлении комплекса условий
события заведомо произойти не могут, они
называются невозможными.

92. Случайные события

События, исход которых при осуществлении
комплекса условий точно предсказать нельзя,
называют случайными.
Случайные события называются несовместными,
если в серии испытаний каждый раз возможно
осуществление только одного из них.
События, которые в данных условиях могут произойти
одновременно, называются совместными.

93. Вероятность события и ее свойства

Случайное событие можно предсказать лишь с
некоторой уверенностью или вероятностью, которую
данное событие имеет. При этом вероятность
рассматривают как числовую меру объективной
возможности осуществления события А при единичном
испытании и обозначается символом Р(А).
Вероятность события A выражается отношением числа
m благоприятствующих осуществлению этого события
исходов к числу n всех равновозможных и
несовместных исходов:
(3.1)

94. Вероятность события и ее свойства

Вероятность представляется числом, заключенным
между нулем и единицей (0 ≤ Р(А) ≤ 1), т.е.
выражается в долях единицы.
Вероятность достоверного события равна единице, а
вероятность невозможного события равны нулю.
Вероятность события А и вероятность
противоположного события в сумме равны единице,
т.е.
Для упрощения символики принято значение
вероятности ожидаемого события обозначать буквой
p, а значение вероятности противоположного события
– буквой q, т.е.
а отсюда p+q=1.
Вероятность, которую можно указать до опыта,
называют априорной.

95. Вероятность события и ее свойства

Встречаются, однако, и такие события, исход которых,
как правило, отклоняется от их вероятности.
В таких случаях о вероятности событий принято
судить по предельным значениям относительной
частоты, которая обладает устойчивостью. В отличие
от «классической» вероятности относительные
частоты случайных событий (а точнее - их
предельные значения, обладающие определённой
устойчивостью) принято называть статистической
вероятностью этих событий.

96. Нормальное распределение. Случайные величины

Случайные величины могут быть дискретными и
непрерывными.
Случайная величина называется дискретной, если
она может принимать только определённые
фиксированные значения, которые обычно
выражаются целыми числами.
Если же случайная величина способна принимать
любые числовые значения, то она называется
непрерывной.
Очевидно, что счётные признаки относятся к
дискретным случайным величинам, в то время как
мерные признаки являются величинами
непрерывными.

97. Закон распределения случайных величин

Функция f(x), связывающая значения хі переменной
случайной величины х с их вероятностями Pi,
называется законом распределения этой величины.
Закон распределения случайной величины можно
задать таблично, выразить графически в виде кривой
вероятности и описать соответствующей формулой.
Функция нормального распределения задается
следующей формулой:
ti2
1 −2
f (ti ) =
e
2
где ti – нормированные отклонения;
(3.2)
≈ 3, 1416,
e ≈ 2, 7183 - число пи и число e соответственно

98. Закон распределения случайных величин

Для того чтобы ордината выражала не вероятность, а
абсолютные числовые значения случайной величины,
т.е. теоретические значения частот распределения,
используется следующая формула
n l
f i теор =
f (ti )
sx
(3.3)
l - длина классового интервала;
n – объем выборки;
sx – среднее квадратическое отклонение.
Сравнивая частоты эмпирического вариационного
ряда с теоретическими частотами, можно проверить,
следуют ли эмпирическое распределение
нормальному закону.

99. Закон распределения случайных величин

Пример 3.1 По выборке, состоящей из 267 взрослых
мужчин, для длины тела построен вариационный ряд,
который представлен в таблице
Варианты xi (см)
Эмпирические частоты fi
158
3
161
9
164
31
167
71
170
82
173
46
176
19
179
5
182
1

100.

101.

102. Измерение асимметрии и эксцесса

Среди эмпирических распределений асимметрия и
эксцесс встречаются довольно часто.
Графически асимметрия выражается в виде
скошенной вариационной кривой, вершина которой
может находится левее или правее центра
распределения. В первом случае асимметрия
называется левосторонней или положительной, а
во втором –правосторонней или отрицательной (по
знаку числовой характеристики).

103. Измерение асимметрии и эксцесса

Островершинность кривой распределения вызывается
чрезвычайным накапливанием частот в центральных
классах вариационного ряда, вследствие чего
вершина вариационной кривой оказывается сильно
поднятой вверх. В таких случаях говорят о
положительном эксцессе распределения
Плосковершинная кривая соответствует
отрицательному эксцессу распределения

104. Измерение асимметрии и эксцесса

Для измерения асимметрии и эксцесса используются
следующие формулы:
(x − x ) f
K
As = i =1
3
i
(n s )
3
(x − x ) f
K
Ex =
i =1
i
;
(3.4)
4
i
(n s )
4
i
−3
xi – варианта; fi – частота;
n – объем выборки;
s – среднее квадратическое отклонение.
(3.5)

105. Проверка нормальности распределения

Данные имеют нормальное распределение, если
одновременно выполняются следующие неравенства
для эмпирических значений коэффициентов
асимметрии As и эксцесса Ex
Ex
3
S2
(3.6)
6 (n − 1)
S1 =
((n + 1) (n + 3))
(3.7)
As
3,
S1
S2 =
24 n (n − 2) (n − 3)
2
(n + 1) (n + 3) (n + 5)
(
)
(3.8)

106. Критерий согласия Пирсона 2

Критерий согласия Пирсона 2
В 1900 году был изобретен критерий 2 (хи-квадрат),
который проверяет значимость расхождения
эмпирических (наблюдаемых) и теоретических
(ожидаемых) частот.
Наблюдаемые (эмпирические или опытные) частоты
обозначим fi, ожидаемые (теоретические) – fiтеор.
Если гипотеза о согласии наблюдаемых и ожидаемых
частот верна, то, при большом количестве
наблюдений, выражение
(f − f )
i
i теор
f i теор
будет иметь стандартное нормальное распределение.

107. Критерий согласия Пирсона 2

Критерий согласия Пирсона 2
Важно помнить, что нормальность будет проявляться
только при достаточно больших частотах.
В статистике принято считать, что общее количество
наблюдений (сумма частот – объем выборки) должна
быть не менее 50 и ожидаемая частота в каждой
градации должна быть не менее 5. Только в этом
случае величина, показанная выше, будет иметь
стандартное нормальное распределение.
Предположим, что это условие выполнено.
Тогда фактическое значение критерия 2
определяться по формуле
(f − f )
будет
2
2
факт
=
i
i теор
f i теор
(3.9)

108. Критерий согласия Пирсона 2

Критерий согласия Пирсона 2
Выдвигается нулевая гипотеза о том, что
наблюдаемые частоты соответствуют ожидаемым,
далее фактическое значение 2 сравнивается с
критическим, вычисленным с использованием
функции =ХИ2ОБР(0,05;r-3), где r- число частот,
удовлетворяющее предъявленному условию.
Если 2факт < 2крит, значит данные распределены по
нормальному закону.

109. Проверка статистических гипотез.

Подготовила: к.т.н., доцент кафедры САПР,
Буткина Анна Александровна

110. Статистические гипотезы

Следующей задачей статистического анализа,
решаемой после определения основных (выборочных)
характеристик и анализа одной выборки, является
совместный анализ нескольких выборок.
Важнейшим вопросом, возникающем при анализе двух
выборок, является вопрос о наличии различий между
выборками. Обычно для этого проводят проверку
статистических гипотез о принадлежности обеих
выборок одной генеральной совокупности или о
равенстве средних или дисперсий.

111. Статистические гипотезы

Гипотезу, утверждающую, что различие между
сравниваемыми характеристиками отсутствует, а
наблюдаемые отклонения объясняются лишь
случайными колебаниями в выборках, на основании
которых производится сравнение, называют нулевой
(основной) гипотезой и обозначают Н0.
Наряду с основной гипотезой рассматривают и
альтернативную (противоречащую) ей гипотезу Н1.
И если нулевая гипотеза будет отвергнута, то будет
иметь место альтернативная гипотеза.

112. Методы проверки гипотез

Задача оценки различий двух групп независимых
наблюдений может решаться с использованием
параметрических критериев статистики: либо
критерия Стьюдента (t), если сравнение выборок
ведется по средним значениям (X и У), либо с
использованием критерия Фишера (F), если
сравнение выборок ведется по их дисперсиям.

113. Критерий Стьюдента (t-критерий)

Критерий позволяет найти вероятность того, что оба
средних значения в выборке относятся к одной и той
же совокупности. Данный критерий наиболее часто
используется для проверки гипотезы: «Средние двух
выборок относятся к одной и той же совокупности».
В первом случае его применяют для проверки
гипотезы о равенстве генеральных средних двух
независимых, несвязанных выборок.

114. Критерий Стьюдента (t-критерий)

В этом случае есть контрольная группа и
экспериментальная (опытная) группа, количество
испытуемых в группах может быть различно.
Во втором случае, когда одна и та же группа объектов
порождает числовой материал для проверки гипотез о
средних, используется так называемый парный tкритерий. Выборки при этом называют
зависимыми, связанными.

115. Парный критерий Стьюдента

В данном случае рассматриваются связанные выборки
с равным числом измерений в каждой.
Фактическое значение критерия Стьюдента находится
в этом случае по формуле:
d
T = ,
sd
(4.1)
факт
(
d )
d −
2
sd =
2
n
n (n − 1)
i
i
=
s
n
2
di=xi-yi — разности между соответствующими
(4.2)
значениями переменной x и переменной у
(исследуемые выборки), а d - средняя арифметическая
данных разностей; s2 - общая дисперсия исследуемых
выборок.

116. Парный критерий Стьюдента

tкрит=СТЬЮДРАСПОБР( ; k), где - уровень значимости,
число степеней свободы k определяется по формуле
k=n-1.
Если |tфакт|<|tкрит|, то гипотеза H0 принимается, в
противном случае нулевая гипотеза отвергается и
принимается альтернативная гипотеза.

117. Парный критерий Стьюдента

Пример 4.1 У 9 девочек измеряли значение форсированного выдоха
за 1 с. Результаты наблюдений приведены в следующей таблице
Форсированный выдох за 1 с
до занятий, x
1843,3
1907,4
382,3
1756,7
1022,2
1119
1702,4
1451,3
1406,2
Форсированный выдох за 1 с после
полугода занятий бегом, y
2716
2112,4
2078,2
2470,1
2351,7
2425,1
1571,6
2620,1
1967,8
С помощью парного критерия Стьюдента выяснить, влияют ли
периодические занятия бегом на значение форсированного
выдоха за 1 с

118. F — критерий Фишера

Критерий Фишера позволяет сравнивать величины
выборочных дисперсий двух независимых выборок.
Для вычисления Fфакт нужно найти отношение
дисперсий двух выборок, причем так, чтобы большая
по величине дисперсия находилась бы в числителе, а
меньшая – в знаменателе:
2
sx
2
2
,
если
sx
sy
sy 2
Fфакт = 2
sy , если sy 2 sx 2
sx 2
(4.3)

119. F — критерий Фишера

= FРАСПОБР( ; n x - 1; n y - 1), если sx 2 sy 2
Fкрит =
2
2
=
F
РАСПОБР(
;
n
1;
n
1)
,
если
sy
sx
y
x
(4.4)
Если |Fфакт|<|Fкрит|, то гипотеза H0 принимается, в
противном случае нулевая гипотеза отвергается и
принимается альтернативная гипотеза H1.

120. Критерий Стьюдента для независимых выборок

В данном случае вычисления ведутся на основе
вывода о равенстве дисперсий данных выборок.
Фактическое значение критерия Стьюдента всегда
находится по формуле:
x− y d
T =
=
sd
sd
факт
(4.5)
Критическое значение критерия Стьюдента всегда
находится по формуле:
Tкрит = СТЬЮДРАСПОБР( ; k)
где k - число степеней свободы;
- уровень значимости.
(4.6)

121. Критерий Стьюдента для независимых выборок

Если было установлено, что гипотеза H0 принимается,
то sd и k определяются по следующим формулам:
(
(
(n − 1) sx + (n − 1) sy ) (n + n ))
sd =
, k = n + n - 2 . (4.7)
((n + n − 2) n n )
2
2
x
y
x
y
x
x
y
x
y
y
Если было установлено, что гипотеза H0 отвергается,
то sd и k определяются по следующим формулам:
(
sx nx + sy ny )
sx
sy
sd =
+
,k =
.
2
2
2
nx
ny
(sx 2 nx ) (sy ny )
+
(nx − 1)
(
)
n
−
1
y
2
2
2
2
2
Если |tфакт|<|tкрит|, то гипотеза H0 принимается, в
противном случае нулевая гипотеза отвергается и
принимается альтернативная гипотеза.
(4.8)

122. Корреляционный и регрессионный анализ.

Подготовила: к.т.н., доцент кафедры САПР,
Буткина Анна Александровна

123. Корреляция

Корреляционный анализ позволяет:
1) оценить зависимость одной переменной от другой;
2) дать характеристику тесноты связи между
переменными, выраженной одним числом.
Эта характеристика называется коэффициентом
корреляции (r)

124. Корреляция

По результатам расчетов делается вывод о характере
связи:
связь между признаками прямая (r>0) или обратная
(r< 0);
теснота связи близка к функциональной
r= 0.901-0.999 связь очень высокая;
r= 0.701-0.900 высокая;
r= 0.501-0.700 значительная;
r= 0.301-0.500 слабая;
r= 0 -0.300 отсутствует.
r =1.0;

125. Корреляция

Прямая связь – при положительном r
Обратная связь – при отрицательном r
Чем ближе абсолютное значение r к 1, тем теснее
связь

126. Коэффициент корреляции Пирсона

предназначен для описания линейной связи
количественных признаков
требует нормального распределения

127. Оценка статистической значимости коэффициента корреляции Пирсона

В случае, когда нужно определить значимость
выборочного коэффициента корреляции rXY, можно
воспользоваться неравенством
rXY
t / 2 (n − 2 )
n−2+t
(n − 2)
2
/2
t /2(n-2) – критические значения для уровня
значимости , равного 0,05 или 0,01 и для степеней
свободы df=n-2.
Если это неравенство верно, то между признаками X и
Y существует значимая линейная корреляционная
зависимость. В противном случае зависимость между
признаками X и Y следует признать незначимой.

128. Регрессия

Регрессионный анализ позволяет оценить, как одна
переменная зависит от другой и предсказать значения
одной переменной по значению другой.
Уравнения линейной регрессии записывается в виде
y=a+bx.
Величина а отсекает на оси У от нуля тот отрезок, с
которого начинается линия регрессии.
Величина b определяет угол подъема линии регрессии
над горизонталью, т.е. это расстояние на оси У между
двумя соседними теоретическими точками.

129. График уравнения линейной регрессии

а - коэффициент сдвига
b - коэффициент наклона

130. Прямая регрессии

Х – независимая переменная
Y – зависимая переменная

131. Оценка параметров уравнения регрессии по выборке

( Y )( X )− ( X )( XY )
a=
Коэффициент сдвига
2
2
n( X ) − ( X )
2
b=
n( XY ) − ( Y )( X )
(
n X
2
) − ( X )
2
Коэффициент наклона

132. Стандартные ошибки коэффициентов регрессии

(
n −1 2
2 2
SY | X =
SY − b S X
n−2
)
Остаточное
стандартное
отклонение
( )
2
X
1
+
n (n − 1)S 2
S a = SY | X
X
Sb =
1
SY | X
n −1 SX
Ошибки
коэффициентов

133. Проверка статистической значимости линейной зависимости

b
t
sb
t /2(n-2) – критические значения для уровня
значимости и для степеней свободы df=n-2.
Если |t|>t , то зависимость статистически значима.

134. Проверка значимости коэффициента регрессии b

ta/2(n-2)=СТЬЮДРАСПОБР(0,05/2;n-2)
Если Tфакт > Tтабл, то коэффициент b считается
значимым с вероятностью, соответствующей выбранному
уровню значимости , в противном случае – незначимым.

135. Оценка значимости уравнения линейной регрессии (F-критерий):

Н0: уравнение статистически не значимо
F =
2
R
2
1− R
( n − 2)
где n – число единиц совокупности.
Fтабл=Fa/2(1;n-2)=FРАСПОБР(0,05/2;1;n-2)
Если Fфакт > Fтабл, то Н0 о случайной природе связи
отклоняется и признается статистическая значимость и
надежность уравнения на выбранном уровне значимости.
Если Fфакт < Fтабл, то Н0 не отклоняется и признается
статистическая незначимость уравнения регрессии.

136. График подбора

График подбора
100
90
80
70
60
Ряд y
50
Ряд yt
40
30
20
10
0
16,8
15,6
16,7
17,3
17,4
17,9
18,5
18,6
19,5
20,2

137. График остатков

График остатков
0,6
0,4
0,2
0
16,8
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
15,6
16,7
17,3
17,4
17,9
18,5
18,6
19,5
20,2
Ряд e=yt-y

138.

Корреляционный анализ
Пример 4.1 Изучали зависимость уровня гемоглобина
крови ( г%) от дня приема железосодержащего препарата:
День приема препарата
6
10
12
16
18
25
27
35
37
40
Уровень гемоглобина, г%
9,5
9,7
9,9
10,1
10,5
10,1
11,7
12,5
12,3
12,7
Вычислить коэффициент корреляции и осуществить
его проверку. Сделать выводы.

139.

Регрессионный анализ
Пример 4.2 Изучали зависимость обхвата груди (см)
мужчин от их роста (см):
Рост, см
Обхват груди, см
165,4
169,5
170,8
180,3
183,5
184,6
185,3
183,5
188,5
183,6
80,1
74,7
80,2
82,6
82,3
85,3
87,6
85,4
88,1
88,6
Вычислить коэффициенты уравнения линейной регрессии
xt=a+by и проверить значимость коэффициента
регрессии b и значимость модели xt=a+by. Сделать
выводы.

140. Дисперсионный анализ.

Подготовила: к.т.н., доцент кафедры САПР,
Буткина Анна Александровна

141. Появление дисперсионного анализа

Фундаментальная концепция дисперсионного анализа
предложена Фишером в 1920 году
Цель дисперсионного анализа (ANOVA - ANalysis Of
VAriance) - проверка значимости различия между
средними с помощью сравнения (т.е. анализа) дисперсий.
Основа метода - разложение общей дисперсии
статистического комплекса на составляющие ее
компоненты, которые сравниваются друг с другом
посредством F-критерия
какая доля общей вариации учитываемого
результативного признака (зависимой переменной)
обусловлена действием регулируемых и не регулируемых
в опыте факторов.
MANOVA – Multivariate ANalysis Of VAriance

142. Связь с t-критерием

Если сравнивать средние в двух выборках,
дисперсионный анализ =
= обычный t-критерий для независимых выборок (если
сравниваются две независимые группы объектов или
наблюдений)
или
= t-критерий для зависимых выборок (если сравниваются две
переменные на одном и том же множестве объектов или
наблюдений).

143. Связь с t-критерием

Основная причина, по которой использование
дисперсионного анализа предпочтительнее повторного
сравнения двух выборок при разных уровнях факторов с
помощью серий t-критерия:
дисперсионный анализ существенно более эффективен
и
более информативен, особенно для малых выборок

144. Дисперсионный анализ

Разделение общей дисперсии на несколько источников
позволяет сравнить дисперсию,
вызванную различием между группами,
с дисперсией,
вызванной внутригрупповой изменчивостью.
При истинности нулевой гипотезы (о равенстве
средних в нескольких группах наблюдений, выбранных
из генеральной совокупности), оценка дисперсии,
связанной с внутригрупповой изменчивостью,
должна быть
близкой к оценке межгрупповой дисперсии.

145. Дисперсионный анализ

Внутригрупповая и межгрупповая (в данном
случае – между биологическими видами)
изменчивости

146. Девиаты

Внутри каждой группы, входящей в статистический
(дисперсионный) комплекс, - варьирование, вызванное
влиянием на признак не регулируемых в опыте факторов.
Зависимость между этими источниками варьирования
выразится следующим равенством:
Dx – межгрупповая девиата
2
1
1
Dx = xi − xi
N j =1
j =1 n j i =1
Dy – общая девиата - сумма квадратов отклонений от
общей средней комплекса в целом.
2
N
N
1
2
Dy = x j − xi
N j =1
j =1
De – внутригрупповая девиата
De = D y − D x
a
nj
N
2

147. Выборочные дисперсии

Деление сумм квадратов отклонений (девиат) на числа
степеней свободы k дает выборочные дисперсии
sy²=Dy/ky; sx²=Dx/kx; se²=De/ke, которые служат
оценками соответствующих генеральных параметров:
sy² - оценка общей дисперсии комплекса,
sx² - оценка межгрупповой дисперсии,
se² - оценка внутригрупповой или остаточной дисперсии.

148. Критерий Фишера

Основа метода - разложение общей дисперсии
статистического комплекса на составляющие ее
компоненты, которые сравниваются друг с другом
посредством F-критерия какая доля общей вариации
зависимой переменной обусловлена действием
регулируемых и не регулируемых в опыте факторов.
Отношение межгрупповой дисперсии (называется
также факториальной, т.к. зависит от действия
регулируемых факторов) к внутригрупповой
(остаточной) дисперсии – критерий оценки влияния
регулируемых в исследовании факторов на
результативный признак:
F=sx²/se²

149. Критерий Фишера

Нулевая гипотеза: генеральные межгрупповые средние
и дисперсии равны между собой и различия,
наблюдаемые между выборочными показателями,
вызваны случайными причинами, а не влиянием на
признак регулируемых факторов.
Нулевую гипотезу отвергают, если Fфакт≥Fкрит для
принятого уровня значимости α и чисел степеней
свободы kx и ke,
Нулевую гипотезу принимают, если
Fфакт<Fкрит. при
этом различия, наблюдаемые между групповыми
средними комплекса, признают статистически
недостоверными.

150. Классификация дисперсионного анализа

Если испытывают действие на признак одного
регулируемого фактора, дисперсионный комплекс
будет однофакторным, если одновременно исследуют
действие на признак двух, трех или большего числа
регулируемых факторов, комплекс называется двух-,
трех- и многофакторным.
Числовые значения (даты) результативного признака
могут распределяться по градациям комплекса
равномерно, пропорционально и неравномерно. Поэтому
дисперсионные комплексы называют равномерными,
пропорциональными и неравномерными.
Равномерные и пропорциональные комплексы носят
общее название ортогональные, а неравномерные
комплексы называют неортогональными.

151. Условия применения ДА

Правильное применение дисперсионного анализа
предполагает нормальное или близкое к нормальному
распределению совокупности, из которой взяты выборки,
объединяемые в дисперсионный комплекс.
!!! Важно, чтобы дисперсии выборочных групп были
одинаковыми или не очень сильно отличались друг от
друга
Статистические, или дисперсионные, комплексы могут
формироваться как в планах намечаемых исследований,
так и на основании уже собранных данных,
подвергаемых дисперсионному анализу.

152. Условия применения ДА

При образовании дисперсионных комплексов
необходимо соблюдать два важных условия,
гарантирующих правильное применение дисперсионного
анализа:
1) Действующие на признак регулируемые факторы
должны быть независимыми друг от друга.
2) Выборки, группируемые в статистический комплекс,
должны производиться по принципу рандомизации,
т.е. способом случайного отбора из нормально
распределяющейся совокупности.

153. Двуфакторный ДА

Однофакторный дисперсионный анализ обладает
информативностью, не большей, чем методы
множественного сравнения средних. Информативность
дисперсионного анализа возрастает при одновременном
изучении влияния нескольких факторов.
Рассмотрим случай, когда анализируется влияние
одновременно двух факторов A и B.

154. Двуфакторный ДА

Пусть результаты эксперимента представлены таблицей:
B
Уровни фактора A
Σ
A1
A2
…
Ai
…
Ak
B1
x11
x21
…
xi1
…
xk1
X1’
B2
x12
x22
…
xi2
…
xk2
X2’
….
…
…
…
…
…
…
…
Bj
x1j
x2j
…
xij
…
xkj
Xj’
…
…
…
…
…
…
…
…
Bm
x1m
X2m
…
xim
…
xkm
Xm’
Σ
X1
X2
…
Xi
…
Xk

155. Двуфакторный ДА

Дисперсионный
анализ для двухфакторных таблиц
проводится
в
следующей
последовательности.
Вычисляются суммы:
m
k
2
2
k m
2
1
1
k
m
k
m
'2
2
2
1
1
1
xij =
X j Q1 = xij Q2 = X i Q3 = X j
H=
X
=
i
k j =1
m i =1
mk i =1 j =1 mk i =1 mk j =1
i =1 j =1
/
Далее находятся оценки дисперсий:
Q1 + H − Q2 − Q3
S =
(k − 1)(m − 1)
2
e
Q2 − H
S =
k −1
2
A
Q3 − H
S =
m −1
2
B
S A2
Если 2 F (k − 1, (k − 1)(m - 1)) , то влияние фактора A признается значимым.
Se
S B2
Если 2 F (m − 1, (k − 1)(m − 1)) , то влияние фактора B признается значимым.
Se

156. Двуфакторный ДА с повторениями

Приведенный
анализ предполагает независимость
факторов
A
и
B.
Если
они
зависимы,
то
взаимодействие факторов C=AB также является
фактором, которому соответствует своя дисперсия.
Для того чтобы выделить такое взаимодействие,
необходимы параллельные наблюдения в каждой
клетке таблицы, т.е. при каждом сочетании факторов
A и B на уровнях Ai и Bj соответственно необходимо
указать не одно наблюдение, а серию наблюдений.

157. Двуфакторный ДА с повторениями

Для
оценки влияния взаимодействия факторов AB с
учетом n
повторений вычисляется дополнительная
k m n
сумма:
Q4 = xijl2
i =1 j =1 p =1
Далее анализ проводится, как и ранее, с той лишь разницей,
что в клетках таблицы вместо отдельных значений
используется их средние значения. Вычисляется оценка
дисперсии и проверяется значимость взаимодействия
факторов:
Q − nQ
2
S AB
=
4
1
mk (n − 1)
nS e2
F ((k − 1)(m − 1), mk (n − 1) ) , то влияние взаимодействия
Если
2
S AB
факторов А и B признается значимым.