дома Арифметические операции с действительными числами

1.

Алгебра, 10 класс
Арифметические операции с
действительными числами

2.

Возведение в степень и извлечение
корня
Определение степени:
an = a × a × … × a (n раз),
где a ∈ R, n ∈ N; a0 = 1 при a ≠ 0.
Свойства степеней:
am × an = am+n ;
(am ) n = amn ;
(ab) n = an × bn ;
am
= am−n (a ≠ 0).
an
Корень n-й степени: a – число, которое
при возведении в n-ю степень даёт a (для
чётных n: a ≥ 0).
Свойства корней:
ab =
a×
b (a, b ≥ 0);
Пример:
(2 3) 2 = 4 × 3 = 12;
50 =
(25 × 2) = 5 2.
a
a
=
(a ≥ 0, b > 0).
b
b

3.

Приближенные вычисления с
иррациональными числами
Необходимость приближений: иррациональные числа ( 2, π, e) нельзя записать
конечной десятичной дробью, поэтому используют приближённые значения.
Округление: округляем до нужного разряда: 2 ≈ 1,414 (до тысячных);
π ≈ 3,14 (до сотых).
Действия с приближениями: при сложении/вычитании погрешности складываются;
при умножении/делении – относительные погрешности.
Важно: при решении задач с
иррациональными числами в ответе
оставляем точное значение ( 2, 3π),
если не указана точность приближения.
Пример:
вычислим π + 2 ≈ 3,1416 + 1,4142 ≈
4,5558 → округляем до 4,556.

4.

Преобразование выражений с
радикалами
Вынесение множителя из-под знака корня: 50 = (25 × 2) = 25 × 2 = 5 2.
Внесение множителя под знак корня: 3 2 = (9 × 2) = 18.
Рационализация знаменателя: умножаем числитель и знаменатель на
сопряжённое выражение, чтобы избавиться от иррациональности.
Пример рационализации:
1
3 + 1
3+ 1
3 + 1
=
=
.
3− 1
2
3 − 1 ( 3 − 1)( 3 + 1)
Приведение подобных: 2 3 + 5 3 −
3 = (2 + 5 − 1) 3 = 6 3.

5.

Практическая часть
01 Вычислите: (−7) + 12 − (−3).
02 Вычислите: (−15) × (−4) + 36 : (−9).
03 Вычислите: 48 − 3 3 + 12.
04 Вычислите: (2 5)2 − 45 × 5.
05 Рационализируйте знаменатель: 7 3− 4.
06 Вычислите приближённо с точностью до сотых: π + 3.

6.

Домашнее задание
01 Вычислите: а) (−9) + 15 − (−6); б) 14 × (−3) − 42 : (−7).
02 Вычислите: а) 2 7 + 3 7 − 5 7; б) (3 2)2 − 32 × 2.
03 Рационализируйте знаменатель: а) 5 2+ 3; б) 65− 1.
04 Вычислите приближённо с точностью до сотых: а) 5 + π;
б) 2e − 2.