Математика профильная. ЕГЭ. 29 задач

1.

Математика профильная
ЕГЭ
29 задач
Задачи для тренировки
Задача №1
Даны векторы
a (−3; 2) и b (−1; −9) . Найдите длину вектора 3 a − 2 b .
Задача №2
Даны векторы
a (1; 2) , b (−3; 6) и c (4; −2) . Найдите длину вектора a − b + c .
Задача №3
Даны векторы
a (1; −3) и b (2; 4) . Найдите скалярное произведение векторов 2 a − b и
a +3b .
Задача №4
В группе
21 человек, среди них — Нюра и Фрося. Группу случайным образом делят на 7
одинаковых по численности подгрупп. Найдите вероятность того, что Нюра и Фрося окажутся в
одной подгруппе.
Задача №5
Перед каждым теннисным матчем судья подбрасывает монетку, чтобы определить, кто подаёт
первым. Теннисист играет 3 матча. Найдите вероятность того, что он будет подавать первым
только в первом и третьем матчах.
Задача №6
На олимпиаде по химии участник случайным образом получает одну задачу. Вероятность того,
что задача будет по теме «Окислительно-восстановительные реакции», равна
Вероятность того, что задача будет по теме «Растворы», равна
0,27 .
0,14 . Задач, одновременно
относящихся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что участнику достанется задача
по одной из этих двух тем.
Задача №7
При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что
вероятность того, что масса окажется меньше, чем
масса окажется больше, чем
больше, чем
810 г, равна 0, 96 . Вероятность того, что
790 г, равна 0, 82 . Найдите вероятность того, что масса буханки
790 г, но меньше, чем 810 г.
Хочешь больше практики?
Продолжай в тренажёре на 100points.ru

2.

Математика профильная
ЕГЭ
29 задач
Задача №8
На предприятии установлены три одинаковых автоматических выключателя. Вероятность отказа
0,1 . Выключатели работают независимо друг от друга.
одного выключателя за год равна
Найдите вероятность того, что за год хотя бы один выключатель не откажет.
Задача №9
150 лет, равна 0,87 . Вероятность того, что
Вероятность того, что дерево проживёт меньше
дерево проживёт больше
больше
80 лет, равна 0,65 . Найдите вероятность того, что дерево проживёт
80 , но меньше 150 лет.
Задача №10
10 000 билетов. Выигрыши распределены так:
Организаторы лотереи выпустили
X
N
​
100
800
В таблице
​
500
120
​
2 000
30
​
10 000
.
4
​
​
X — размер выигрыша одного билета в рублях, N — количество билетов с
соответствующим размером выигрыша. Остальные билеты не выигрывают. Найдите
математическое ожидание случайной величины
X — выигрыша на один билет. Ответ дайте в
рублях.
Задача №11
Вероятность того, что изготовленная деталь имеет дефект, равна
— число дефектных деталей среди
математическое ожидание
0,3 . Случайная величина X
20 независимо выбранных деталей. Найдите
M (X) .
Задача №12
На корпоративной лотерее компании выпущено
12000 билетов. Выигрыши распределены
следующим образом.
Выигрыш (в рублях)
Число выигрышных билетов
​
100
600
​
1000
120
​
3000
40
​
15000
12
​
75000
3
​
​
Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.
Хочешь больше практики?
Продолжай в тренажёре на 100points.ru

3.

Математика профильная
ЕГЭ
29 задач
Задача №13
Случайная величина
X равномерно распределена на отрезке [−5; 7] . Найдите её
математическое ожидание.
Задача №14
Случайная величина
вероятностью
X принимает значение −2 с вероятностью p и значение 6 с
1 − p . Известно, что M (X) = 0 . Найдите p .
Задача №15
Моторная лодка прошла против течения реки
на обратный путь на
99 км и вернулась в пункт отправления, затратив
2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если
скорость течения равна
1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Задача №16
Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью
спортивном самолёте со скоростью
21 км/ч. Обратно он летел на
273 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на
протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Задача №17
Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на
10 вопросов теста, а Ваня — на
24 . Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже
Вани на
70 минут. Сколько вопросов содержит тест?
Задача №18
Имеется два сплава. Первый содержит
35% никеля, второй — 50% никеля. Из этих двух
сплавов получили третий сплав, содержащий
45% никеля. Масса первого сплава равна 35 кг.
На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго сплава?
Задача №19
Дорога между пунктами A и B состоит из подъёма и спуска, а её длина равна
B занял у туриста
49 км. Путь из A в
14 часов, из которых 7 часов ушло на спуск. Найдите скорость туриста на
спуске, если она больше скорости на подъёме на
Хочешь больше практики?
Продолжай в тренажёре на 100points.ru
3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

4.

Математика профильная
ЕГЭ
29 задач
Задача №20
На рисунке изображён график функции вида
f (x) = kx + b . Найдите значение f (7) .
Задача №21
На рисунке изображены графики функций видов
пересекающихся в точках
f (x) = ax2 + bx + c и g(x) = kx ,
A и B . Найдите абсциссу точки B .
Задача №22
На рисунке изображён график функции вида
Хочешь больше практики?
Продолжай в тренажёре на 100points.ru
f (x) =
k
. Найдите значение f (10) .
x
​

5.

Математика профильная
ЕГЭ
29 задач
Задача №23
На рисунке изображены графики функций видов
в точках
f (x) = a x и g(x) = kx , пересекающиеся
​
A и B . Найдите абсциссу точки B .
Задача №24
На рисунке изображён график функции вида
Хочешь больше практики?
Продолжай в тренажёре на 100points.ru
f (x) = loga x . Найдите значение f (25) .
​

6.

Математика профильная
ЕГЭ
29 задач
Задача №25
1
1
sin2 x ⋅ cos x +
cos3 x − sin x ⋅ cos2 x = 0 .
3
3
3π π
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [−
;− ] .
2
2
а) Решите уравнение
sin3 x −
​
​
​
​
​
​
Задача №26
а) Решите уравнение
sin 2x +
2 cos (x −
​
π
π
) sin (x − ) = 0 .
2
4
​
​
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
[−4π; −
5π
].
2
Задача №27
а) Решите уравнение
2 sin (x +
​
π
) + 2 sin2 x = sin x + 2 .
4
​
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
[2π;
7π
].
2
Задача №28
sin4 x − sin (2x − π2 ) − cos2 x
а) Решите уравнение
=0 .
2 sin2 ( x4 − π4 ) + 3 cos ( π4 − x4 ) − 2
​
​
​
​
​
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Хочешь больше практики?
Продолжай в тренажёре на 100points.ru
[0; 4π] .
​
​

7.

Математика профильная
ЕГЭ
29 задач
Задача №29
a) Решите уравнение
3 sin 2x + 3 cos 2x = 0 .
​
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Хочешь больше практики?
Продолжай в тренажёре на 100points.ru
[π;
5π
].
2
​