第十二次课

1.

§5.1
向量范数
5.1.1 向量范数的概念与性质
定义1 设V是数域F(R或C)上的线性空间。如果对于
V 中任意一个向量 x 都有一个实数 x 与之对应
且满足
正定性
x 0 且 x = 0 x = 0
齐次性 kx = k x
三角形不等式
x+ y x + y
则称 为线性空间V上的向量范数 赋予了向量范数
结构的线性空间称为赋范线性空间 记为 (V , )

2.

5.1.2 Cn上常用的向量范数及性质
T
设 x = x1 , x2 , ..., xn 是向量空间 C n 上的任一向量
1 1 范数
n
x 1 = xi
i =1
n
2 2 范数
x 2 = ( xi ) 2 = ( x H x )1 2
3 ∞ 范数
x = max xi
4 p 范数
2 1
i =1
i
n
p
x p = xi
i =1
1
p
( p 1)
显然在p -范数中 令p=1, p=2或p→∞ 则它分别
对应了向量的1-范数,2-范数和∞-范数。

3.

T
例 3 设向量 x = [ x1 , x2 , , xn ] 对任意的数
证明
p 1
为向量 x 的范数。
证明:只需验证(1)正定性,(2)齐次性,(3)三角不等式
n
n
x
,
y
C
(
R
), x = x1 , x2 , xn , y = y1 , y2 ,
设
yn
(1) 正定性显然。
(2) 对任意的常数 k C ( R ),由实值函数的定义:

4.

1
p p
n
kx p = ( kxi ) = ( k
p
i =1
(3)
1
p p
n
x ) =k x
i =1
i
p
由Minkowski不等式知
1
p p
n
x + y p = ( x i + yi )
i =1
n
1
p p
n
1
p p
( x i ) + ( yi ) = x p + y p
i =1
i =1
证毕。
由此例可知 当p取不同的值时 就可以在同一个线
性空间中定义不同的向量范数。

5.

例5
设C[a,b]是由 [a,b]上所有连续函数f(x)所构成的
集合,按照通常意义下的加法和数乘构成线性空间 如
下三种映射是该空间中常用的三种范数
b
f ( t ) 1 = f ( t ) dt ,
f ( t ) C [a , b]
1-范数
a
b
1
p
f (t ) p = ( f (t ) dt ) ,
p
f (t ) C[a , b]
a
f (t ) = max f (t ) ,
a t b
f (t ) C[a, b]
p-范数
∞-范数

6.

5.1.3 向量范数的等价性
定义2
设n维线性空间 C n中定义了两种向量范数
若存在两个常数m>0 M>0 使得
有
则称n维线性空间V中 与 等价。
显然向量范数等价具有自反性、对称性和传递性。

7.

例6
C n ( R n ) 中的 1 ,
2
和 两两等价.
T
证明: (1) 设 x = x1 , x2 , , xn ,则有
n
x 1 = xi n max xi = n x
i
i =1
x 1 max xi = x
1 i n
即
x x 1 n x
所以
1 ,
等价

8.

n
x 2 = x i n max x i = n x
(2)
2
2
2
2
i =1
2
2
2
x 2 max x i = x
1 i n
即
x x2 n x
所以
2 ,
x x 1 n x , x x 2 n x
(3) 由
得
所以
等价
1
n
x 2 x 1 n x 2,
1 ,
2
等价

9.

定理1 设|| || 是 C n ( R n ) 中的一种向量范数 则 x C n
T
x = x1 , x2 , , xn , || x || 是其分量 x1 , x2 , , xn 的连续
函数。
定理2
n
n
C
R
n维线性空间
(或
)中任意两种向量范数等价.

10.

§ 5.2
矩阵范数
5.2.1
上常用的矩阵范数
线性空间
中任意一个
矩阵 都可以看
做是一个
维的向量 因此 可以用定义向量范
数的方法来定义矩阵的范数。
由于矩阵之间具有向量所没有的乘法运算 为
了计算上的方便 常常要求矩阵范数满足相容性
即
本节约定
我们仅在
或
上研究方阵的范数。

11.

是数域 F (R或C)上所有
矩阵全体构成
定义1 设
的线性空间。实值函数 : F n n → R 称为矩阵范数 是
指对于任意矩阵
(1) 正定性:
满足下列性质
|| A || 0
当且仅当: A = 0 ,
A =0
(2) 齐次性 kA = k A
称实数||A||
(3) 三角不等式 A + B A + B
是矩阵A 的
(4) 相容性
AB A B
范数。

12.

上常用的矩阵范数
n
n
A m = aij
1
m1-范数
i =1 j =1
n n
2
A m = aij
2
i =1 j =1
A m = n max aij
i, j
1
2
m2-范数
m∞-范数
下面我们验证m1-范数 其余范数请同学
自行验证。

13.

证明 (1) 验证
是范数。
n
n
A m = aij 0
➢ 满足正定性
1
i =1 j =1
当且仅当A为零矩阵时 ||A||=0。
➢ 满足齐次性
n
n
n
n
kA m = kaij = k aij = k A m
1
i =1 j =1
1
i =1 j =1
➢ 满足三角不等式
n
n
n
n
A + B m = aij + bij ( aij + bij )
1
i =1 j =1
n
n
i =1 j =1
n
n
= aij + bij
i =1 j =1
i =1 j =1
= A m + B m
1
1

14.

➢
满足相容性
n
n
n
n
n
n
A B m = aik bkj ( | aik | | bkj |)
1
i =1 j =1 k =1
i =1 j =1 k =1
n
n
n
n
i =1 j =1
k =1
k =1
( | aik | | bkj |)
n
n
n
n
( | aik | ) ( | bkj |)
i =1 k =1
j =1 k =1
= A m B m
1
A m 是定义在
1
1
上的矩阵范数。

15.

上常用的矩阵范数
n
n
A m = aij
1
m1-范数
i =1 j =1
n n
2
A m = aij
2
i =1 j =1
A m = n max aij
i, j
1
2
m2-范数
m∞-范数
m1-范数与m2-范数可以视为向量的1-范数与2-范数
的直接推广 而矩阵的m∞-范数与向量的∞-范数却
并不相同 这是为什么呢 先看一个例子。

16.

向量的 m∞-范数
x m = max xi
矩阵的 m∞-范数
A m = n max aij
i
i, j
例
若定义 A = max | aij |, 对 A = 1 1 ,, B = 1 0
i, j
0 1
1 1
有 A = 1, B = 1, AB = 2, 从而 AB A B
因此这样定义是为了满足相容性而设的。

17.

F-范数的性质
5.2.2
n n
2
A m = aij
2
i =1 j =1
1
2
m2-范数
又被称为Frobenius范数 简称F-范数。记做||A||F
定理1
(1)
A = (aij )n n C n n , A 的F-范数||A||F满足
n
A F = αj
2
j =1
(2)
(3)
2
2
, 其中 i 为A的第j列 j = 1, 2, , n;
A F = AH F ;
AF
2
n
H
H
tr(
A
A
)
A
= tr( A A) = i ( A A), 其中
为 A
H
i =1
H
H
(
A
A) 是 A H A 的特征值。
的迹 i

18.

定理2 A = (aij )n n C n n , U、V是 C n n 中的酉矩阵 则
A F = UA F = AV
F
= UAV
F

19.

5.2.3
定理3
矩阵范数的性质
n n
n n
A
,
B
C
R
设
(或
) 则
(1)
On n = 0
(2)
A− B A − B
(3)
||A||是关于矩阵A各元素aij的连续函数。

20.

定义2
设 || || ,|| || 是 C n n 中定义的任意两种矩阵
范数 若存在两个正常数m、M 使得 A C n n
有
成立 则称矩阵范数 || || 与 || || 是等价的
。
与向量范数类似 C n n (或 Rn n )上任意两个矩
阵范数等价。另外 仍然可以根据已知的矩阵范数
构造出新的矩阵范数。

21.

例2
设 x , x 是线性空间 C n n 上的两个矩阵范数,证明
A = k1 A + k2 A k1 1, k2 1
也是 C n n 上的矩阵范数。
证
非负性 齐次性和三角不等式的成立是显然的 下面只要证明相容性成立即可。
AB = k1 AB + k2 AB k1 A B + k2 A B
(k1 A + k2 A ) (k1 B + k2 B )
= A B
所以 A 是矩阵范数。