Механические колебания и волны _дневники

1.

Механика

2.

Механические колебания и волны
Колебательными движениями являются движения
или изменение состояния, обладающие той или иной
степенью повторяемости во времени.
Колебания весьма разнообразны по своей физической
природе: механические колебания, электромагнитные
колебания в колебательном контуре. Разнообразные
по природе, колебания могут иметь общие
закономерности и описываться однотипными
?2
математическими методами.

3.

Механические колебания и волны
Колебания называются периодическими, если
значения физических величин, изменяющихся в
процессе колебаний, повторяются через равные
промежутки времени.
Частным случаем периодических колебаний являются
гармонические колебания, в которых величина x
изменяется со временем по закону
x = А cos( t + )
?3

4.

Механические колебания и волны
Наименьший промежуток времени, по истечении
которого повторяются значения всех величин,
характеризующих колебательное движение,
называется периодом колебаний (Т). За это время
совершается одно полное колебание.
Единица измерения – с.
Циклической частотой (ω) периодических колебания
называется число полных колебаний, которые
совершаются за 2 единиц времени.
?4
Единица измерения – рад/с.

5.

Механические колебания и волны
Частотой периодических колебаний ( ) называют
число полных колебаний, которые совершаются за
единицу времени.
2
1
; Т=
Единица измерения – Гц. = ; =
Т
2
Колебания, которые возникают в системе в результате
какого-либо однократного начального отклонения
этой системы от состояния устойчивого равновесия,
?5
называются свободными колебаниями.

6.

Механические колебания и волны
Собственными называются свободные колебания без
учёта сил сопротивления (без затухания).
Тела, которые при движении совершают
гармонические колебания, называют гармоническими
осцилляторами. Рассмотрим ряд примеров
классических гармонических осцилляторов:
математический, пружинный и физический маятники.
?6

7.

Механические колебания и волны
Математический маятник –
материальная точка, подвешенная на
невесомой и нерастяжимой нити
длиной ℓ.
Уравнение движения 2
d x
m 2 = −mg sin
dt
=
g
T = 2
g
?7

8.

Механические колебания и волны
Пружинный маятник – тело,
подвешенное на пружине, жесткостью
2
k.
d x
Уравнение движения m 2 = − kx
dt
k
=
m
m
T = 2
k
?8

9.

Механические колебания и волны
Физический маятник – твердое тело,
способное совершать колебания
относительно оси, не совпадающей с
центром инерции.
2
d
Уравнение движения I = −mgd
dt 2
mgd
=
I
I
T = 2
mgd
?9

10.

Механические колебания и волны
Приведенная длина физического маятника – это
такая длина математического маятника, периоды
колебаний которых совпадают.
I
пр =
md
T = 2
пр
g
?10

11.

Механические колебания и волны
Если колебания точки происходят по
гармоническому закону x = A cos( t + ), то
скорость = −A sin( t + ) и
2
a
=
−
A
cos( t + )
ускорение
Таким образом, при гармонических колебаниях
смещение, скорость и ускорение пропорциональны
друг другу и изменяются со временем по
одинаковому гармоническому закону. Это является
?11
специальным свойством гармонических
колебаний.

12.

Механические колебания и волны
Энергия гармонических колебаний складывается из
кинетической
m 2 A2 2
Eк =
sin t
2
И потенциальной
2
2
m 2 A2
Еп =
cos2 t
2
2
2
2 2
mA
mA
mA
2
2
E=
sin t +
cos t или E =
?
12
2
2
2

13.

Сложение колебаний
• 1. Сложение колебаний одного направления и
одинаковой частоты
x = А cos( t + )
А = А1 + А2
x1 = А1 cos ( t + 1 )
x2 = А2 cos ( t + 2 )
?13

14.

Сложение колебаний
x = х1 + х2
?14

15.

Механические колебания и волны
• Амплитуда результирующих колебаний
А
2
А
( 2 − 1 )
(
)
2
2
= А1 + А 2 − 2А1 А 2 соs −
cos − ( 2 − 1 ) = − cos( 2 − 1 )
2
2
2
= А1 + А 2 + 2А1А 2 соs 2 − 1
A1 sin 1 + A 2 sin 2
• Начальная фаза tg 0 =
A1 cos 1 + A 2 cos 2
?15

16.

Механические колебания и волны
• а) если сдвиг фаз ( 2− 1)=2 n, то А=А1+А2, где
n=0,1,2,3…,
• б) если сдвиг фаз 2− 1=(2n+1) , т.е. нечетному
числу , где n=0,1,2,3…, то А = А1 − А 2
2n + 1
, то
• в) если сдвиг фаз 2 − 1 =
2
A = A12 + A 22
?16

17.

Механические колебания и волны
• 2. Сложение колебаний одного направления, но
разного периода
• Пусть 1 2. Положим А1=А2=А0, 1= 2= . Тогда
• x1 = A0 cos( 1t+ ) и x2 = A0 cos( 2t+ ).
x = х1 + х2
1 + 2
x = А cos
t +
2
?17

18.

Механические колебания и волны
1 − 2
• Где А = 2 А0 cos
t
2
• Период изменения амплитуды T =
4
• Период колебаний T =
1 + 2
4
1 − 2
?18

19.

Механические колебания и волны
?19

20.

Механические колебания и волны
• 3. Сложение взаимно перпендикулярных
колебаний
x = А1 cos ( 1t + 1 )
y = А2 cos ( 2t + 2 )
• 1. Положим, что частота колебаний одна и та же:
1= 2 и 1= 2 – начальные фазы совпадают.
?20

21.

Механические колебания и волны
• 3. Сложение взаимно перпендикулярных
колебаний
x = А1 cos t
y = А2 cos t
A2
y=
x
A1
?21

22.

Механические колебания и волны
• 3. Сложение взаимно перпендикулярных
колебаний
A
tg =
2
A1
• x = A1 и y = A2
2
2
s= x +y =
2
2
2
2
A1 cos t + A2 cos t = A cos t
?22

23.

Механические колебания и волны
• 3. Сложение взаимно перпендикулярных
колебаний
x = А1 cos ( 1t + 1 )
y = А2 cos ( 2t + 2 )
2. Положим, что 2= 1+ ,
тогда cos( t+ 2)=
cos( t+ 1+ )=-cos( t+ 1).
A2
y=− x
A1
?23

24.

Механические колебания и волны
x = А1 cos ( t + 1 )
y = А2 cos ( t + 2 )
3. Положим, что 2= 1+ /2,
тогда cos( t+ 2)=cos( t+ 1+ /2)=
=cos[( t+ 1)+π/2].
2
y = − А2 sin ( t + 1 )
x
2
A1
+
y
2
2
A2
=1
?24

25.

Механические колебания и волны
• Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой,
совершающей одновременно два взаимно
перпендикулярных колебания разных, но кратных
частот, называются фигурами Лиссажу.
• Форма фигур Лиссажу зависит от разности фаз,
кратности частот складываемых колебаний и
соотношения амплитуд .
?25

26.

Фигуры Лиссажу
?26

27.

Фигуры Лиссажу
?27

28.

Механические колебания и волны
Всякое реальное колебание происходит с
постепенным расходованием энергии движения на
работу против сил трения Fтр= −r , где r коэффициент трения, зависящий от свойств среды,
формы и размеров движущегося тела. При этом
амплитуда и скорость колебательного движения
убывают.
2
d
x
dx
Уравнение движения m
= −r − kx
dt 2
dt
?28

29.

Механические колебания и волны
Затухающие колебания
x(t ) = A0e
− t
cos( t + )
r
1
где =
- показатель затухания, = - время
2m
релаксации, = 02 − 2 - частота колебания,
k
0 =
- собственная частота колебания системы.
m
?29

30.

Механические колебания и волны
?30

31.

Механические колебания и волны
2
Период колебаний
Т=
02 − 2
Натуральный логарифм отношения амплитуд
затухающих колебаний, отстоящих друг от друга на
интервал времени, равный периоду, постоянно во все
время колебания называется логарифмическим
декрементом затухания:
At
r
= n
= T =
T ?31
At +T
2m

32.

Механические колебания и волны
Добротность колебательной системы (Q) –
безразмерная физическая величина,
характеризующая убыль энергии за период и равная
произведению 2π на отношение энергии E(t)
колебаний системы в произвольный момент времени
t к убыли этой энергии за один период Т. Если
затухание невелико, то добротность определяется по
соотношению:
Q=
?32

33.

Механические колебания и волны
Для получения незатухающих колебаний необходимо
воздействовать дополнительной переменной
внешней силой f = f0 cos ωt, которая бы восполняла
убыль энергии. Колебания системы, которые
совершаются за счет работы периодически
меняющейся внешней силы, называются
вынужденными. Тогда уравнение движения
2
d x
dx
m 2 = −kx − r + f0 cos t
dt
dt
?33

34.

Механические колебания и волны
• Общее решение однородного уравнения
x = A0e
− t
cos( t + )
• Частное решение неоднородного ур-я
x = А cos( t + )
• описывают поведение системы при
вынужденных колебаниях.
?34

35.

Механические колебания и волны
• где амплитуда вынужденных колебаний
A=
(
)
2
22
0 − + 4 2 02
Сдвиг фаз
x=
f0
2
= arctg − 2
− 2
0
2
cos t + arctg −
2
2
2
−
?35
2
2
2 2
0
0 − + 4 0
(
f0
)

36.

Механические колебания и волны
• Автоколебания – вынужденные колебания, которые
сопровождаются воздействием на колебательную
систему внешних сил, однако моменты времени,
когда осуществляется это воздействие, задаются
самой колебательной системой.
Примером автоколебательной системы являются часы, в
которых маятник получает толчки за счёт энергии
поднятой гири или закрученной пружины, причем эти
толчки происходят в моменты прохождения маятника?36
через среднее положение.

37.

Механические колебания и волны
• Резонанс – возрастание амплитуды
колебаний до максимального значения при
частоте системы совпадающей со значением
рез =
2
2
0 − 2
при этом амплитуда Арез =
f0
2 02 − 2
.
?37

38.

Механические колебания и волны
?38

39.

Механические колебания и волны
• Периодические деформации, вызванные в какомнибудь месте упругой среды, будут
распространяться в среде с некоторой скоростью,
зависящей от ее физических свойств. При этом
частицы среды совершают колебательные
движения около положения равновесия. От одних
участков среды к другим передается только
состояние деформации.
?39

40.

Механические колебания и волны
• Процесс распространения колебательного
движения в среде называется волновым
процессом, или просто волной. В зависимости от
характера возникающих при этом деформаций
различают волны продольные и поперечные.
• Волны, в которых частицы среды колеблются
перпендикулярно направлению распространения
волны, называются поперечными.
?40

41.

Механические колебания и волны
Волны, в которых частицы среды колеблются вдоль
линии, совпадающей с направлением
распространения колебаний, называются
продольными.
В жидких и газообразных средах возбуждаются
только продольные волны. Волны, возбуждаемые
на поверхности воды, являются поперечными. В
твердых телах могут распространяться
?41
продольные и поперечные волны.

42.

Механические колебания и волны
Скорость распространения возмущения υ, тогда
смещение частиц среды от положения равновесия
x
y = A cos t −
+
произведение T = - есть длина волны, тогда
2 x
y = A cos t −
+
?42

43.

Механические колебания и волны
Волновое число
2
,
k=
тогда уравнение y = A cos ( t − kx + )
Волна характеризуется периодом, частотой, длиной
волны, фазовой скоростью, фронтом волны,
волновой поверхностью, формой волны.
?43

44.

Механические колебания и волны
Период (Т) – промежуток времени, в течение
которого совершается одно полное колебание.
Частота ( )=1/Т – число колебаний в единицу
времени.
Длина волны ( ) – это расстояние, которое
проходит волна за один период. Единица
измерения – м.
2
.
= Т; = ; =
?44

45.

Механические колебания и волны
Длина волны – это также расстояние между двумя
частицами, испытывающими в один и тот же
момент времени одинаковое смещение.
Скорость волны есть скорость распространения в
пространстве определенной фазы колебания.
Поэтому скорость волны называется фазовой
скоростью.
?45

46.

Механические колебания и волны
Поверхность, до которой доходит колебание в
некоторый момент времени, называется фронтом
волны. Форма фронта волны определяется
конфигурацией источника колебаний и свойств
среды.
?46

47.

Механические колебания и волны
Среда называется однородной, если скорость
распространения волны везде одинакова.
В анизотропной среде скорость распространения
волны неодинакова в различных направлениях.
Форма волны – график, показывающий
распределение в среде колеблющейся величины,
вдоль оси в данный момент времени.
?47

48.

Механические колебания и волны
Среда называется изотропной, если скорость
распространения волны одинакова по всем
направлениям.
Фронт волны от точечного источника колебаний в
однородной изотропной среде имеет вид сферы.
Волны при этом называются сферическими.
Если скорость распространения колебаний в среде
различна для различных частот, то среда
?48
обладает дисперсией.

49.

Механические колебания и волны
Скорость распространения реальных волн в
диспергирующей среде носит название групповой
скорости (u). Групповая скорость и фазовая связаны
между собой соотношением
d
u = −
d
Групповая скорость может быть как меньше, так и
больше фазовой.
?49

50.

Механические колебания и волны
d
0
d
более длинные волны распространяются
быстрее коротких – нормальная дисперсия.
более длинные волны распространяются
d
0 медленнее коротких – аномальная дисперсия.
d
d
= 0 бездисперсионная среда и u = υ.
d
?50

51.

Механические колебания и волны
=
t
u=
t
ES
t = S u
F = ES
E
=
t
m = S
F t = S u
2
E
2
=
?51

52.

Механические колебания и волны
Скорость продольных волн в упругой среде зависит
от модуля Юнга Е и плотности среды
E
=
Скорость поперечных волн в упругой среде зависит
от модуля сдвига G и плотности среды
G
=
?52

53.

Механические колебания и волны
Полная энергия элементарного объема среды,
вовлеченного в волновой процесс
dE = A sin ( t − kx + )dV
2
2
2
Объемная плотность энергии
dE
2 2
2
w=
= A sin ( t − kx + )
dV
2 2
A
Среднее значение w =
2
?53

54.

Механические колебания и волны
• Поток энергии через поверхность - количество
энергии, переносимой волной через некоторую
поверхность в единицу времени
dE
Ф=
= wS
dt
• где w – объемная плотность энергии, S – площадь
сечения, υ – скорость перемещения фронта волны.
?54
• Единицы измерения – Вт.

55.

Механические колебания и волны
Плотность потока энергии, т.е. энергия,
проходящая в единицу времени через единицу
площади перпендикулярно к направлению
распространения волны обозначается I и
определяется соотношением
dФ
I=
= w
dSn
I = w - вектор Умова-Пойтинга.
?55

56.

Механические колебания и волны
Принцип Гюйгенса-Френеля: каждая частица
среды, до которой дошел фронт волны, можно
рассматривать самостоятельным источником волн
той же частоты. Интенсивность вторичных волн
максимальна только в положительном направлении
нормали.
?56

57.

Механические колебания и волны
Интерференция волн – происходящее при
наложении в пространстве двух (или нескольких)
когерентных волн усиление или ослабление
результирующей волны в зависимости от разности
фаз между складываемыми волнами.
Складываемые волны называются когерентными,
если они имеют одинаковую частоту и постоянную
(равную нулю) разность фаз).
?57

58.

Механические колебания и волны
Запишем законы колебания двух когерентных волн:
y1 = A1 cos ( t + 1 )
y2 = A2 cos ( t + 2 )
Результирующее колебание: y = A cos ( t + )
Амплитуда: А 2 = А12 + А 22 + 2А1 А 2 соs( 2 − 1 )
А=
2
2
2
А1 + А2 + 2 А1 А2соs
?58

59.

Механические колебания и волны
Разность хода волн Δ = х2 – х1, а величина δ = φ2-φ1
называется сдвигом фаз между
2
интерферирующими волнами.
=
Если δ = 2πn, то Δ = ± nλ и А = А1+А2 достигает
максимума.
Если δ = (2n+1)π, то Δ = ± (2n+1)λ/2 и А = |А1-А2|
достигает минимума.
?59

60.

Механические колебания и волны
Стоячие волны - образуются при наложении двух
встречных плоских волн с одинаковыми
амплитудами и частотами. Обе эти волны в отличие
от стоячей называются бегущими.
2 х
Падающая волна
y = A cos t −
1
Отраженная волна
2 х
y2 = A cos t +
?60

61.

Механические колебания и волны
Результирующее колебание
2 х
2 х
y = y1 + y2 = A cos t −
+ A cos t +
2 х
y = 2 A cos
cos t
Амплитуда стоячей волны
2 х
A0 = 2 A cos
= 2 A coskx
?61

62.

Механические колебания и волны
Точки, колеблющиеся с максимальными
амплитудами, называются пучностями стоячей
волны. Координаты пучностей: 2 хп 2 n
=
2
Точки, колеблющиеся с нулевой амплитудой (точнее
сказать, не колеблющиеся), называются узлами
стоячей волны. Координаты узлов:
2 х уз
?
62
= (2n + 1)
2

63.

Механические колебания и волны
?63

64.

Механические колебания и волны
• Звук - волны с частотами в пределах 16 Гц – 20 000
Гц (< 16 Гц – инфразвук, > 20 кГц – ультразвук).
Звуковые волны распространяются в газах,
жидкостях и твердых телах. Для каждой частоты
колебаний существуют наименьшая (порог
слышимости) и наибольшая (порог болевого
ощущения) интенсивность звука, которые способны
вызвать звуковое восприятие.
?64

65.

Механические колебания и волны
1) Звук характеризуется громкостью
I
L = lg
а) L – уровень интенсивности звука,
I0
измеряется в Беллах или в децибелах дБ.
Здесь I0 = 10-12 Вт/м2 интенсивность звука на пороге
слышимости .
б) уровень громкости (выражается в фонах (фон)).
Громкость для звука в 1000 Гц (частота стандартного
чистого тона) равна 1 фон, если его уровень
?65
интенсивности равен 1 дБ.

66.

Механические колебания и волны
• 2) Высота звука - качество звука, определяемое
человеком субъективно на слух и зависящее от
частоты звука.
• 3) Тембр. Реальный звук является наложением
гармонических колебаний с большим набором
частот, т. е. звук обладает акустическим спектром.
?66

67.

Механические колебания и волны
• Характер акустического спектра и распределения
энергии между определенными частотами
определяет своеобразие звукового ощущения,
называемое тембром звука.
Эффект Доплера - изменение частоты колебаний,
воспринимаемых приемником, при движении
источника этих колебаний и приемника друг
относительно друга.
?67

68.

Механические колебания и волны
=
пр
ист
0
• где ν - частота звука, регистрируемая приемником,
ν0 - частота колебаний источника, υист и υпр – скорости
движения источника и приемника звука,υ – скорость
волны; верхний знак берется, если при движении
источника или приемника происходит их сближение,
нижний знак - в случае их взаимного удаления.
?
68

69.

СПАСИБО
Самарский государственный
технический университет
https://samgtu.ru/