Графы_Вероятность_и_статистика_10класс

1.

ГРАФЫ
в курсе «Вероятность и статистика», 10 класс
по учебнику Е. А. Бунимовича
Фамилия и имя ученика • класс • школа

2.

Зачем графы в вероятности и статистике?
Граф — это точки (вершины), соединённые
линиями (рёбрами).
• Он наглядно показывает связи между объектами.
В вероятности:
• дерево вариантов — перебор всех исходов опыта;
• схема переходов — события с вероятностями на
рёбрах;
• подсчёт путей — комбинаторные задачи.
В статистике:
• социальные сети, транспортные схемы, кластеры
данных.

3.

Основные понятия
Вершина — объект (человек, город, исход опыта).
Ребро — связь между двумя вершинами.
Смежные вершины — соединены ребром.
Степень вершины — число рёбер при ней.
Путь — последовательность рёбер от вершины к
вершине.
Цикл — путь, начинающийся и заканчивающийся
в одной вершине.
Связный граф — из любой вершины можно
пройти в любую другую.
Пример: степень вершины B равна 3

4.

Виды графов
Неориентированный
связи без направления: дороги, дружба
Взвешенный
на рёбрах числа: длина, время, вероятность
Ориентированный (орграф)
рёбра-стрелки: «из А можно только в Б»
Дерево
нет циклов, одна компонента связности

5.

Дерево вариантов и вероятность
Опыт: монету подбрасывают 2 раза.
Каждый уровень дерева — один бросок (О —
орёл, Р — решка).
Все исходы: ОО, ОР, РО, РР — всего 4.
Равновозможные исходы, поэтому:
• P(два орла) = 1/4 = 0,25
• P(хотя бы одна решка) = 3/4 = 0,75
Дерево помогает ничего не упустить при
переборе.

6.

Подсчёт путей в графе
Задача. Сколько путей ведут из A в D по
стрелкам?
Идём последовательно, слой за слоем:
• пути через B: A→B→D и A→B→C→D
• пути через C: A→C→D
Ответ: 3 пути.
Правило сложения: если путь разбивается на
случаи, их количество складывают.
Правило умножения: если путь состоит из
последовательных шагов, числа шагов
перемножают.

7.

Вероятности на рёбрах графа
Задача. Из A стрелки ведут в B (0,6) и в C (0,4).
Из B в D — с вероятностью 0,5; из C в D — с
вероятностью 0,8.
Какова вероятность попасть из A в D?
События «путь через B» и «путь через C»
несовместны:
• P(A→D) = 0,6·0,5 + 0,4·0,8 = 0,30 + 0,32 = 0,62
Правило: перемножаем вероятности вдоль
пути, складываем — по разным путям.

8.

Практика: схема дорог
Задача. Города соединены дорогами (см.
рисунок).
Сколькими способами можно проехать из A в D,
не заезжая дважды в один город?
Маршруты:
• A→B→D
• A→B→C→D
• A→C→D
Ответ: 3 маршрута.
Такие схемы — основа навигаторов и логистики.

9.

Графы в статистике и жизни
Социальные сети: вершины — люди, рёбра —
дружба или подписки.
По степени вершины находят самых «связанных»
участников.
Кластеризация: плотно связанные вершины
образуют группы.
Транспортные сети: поиск кратчайших
маршрутов.
Красные рёбра на рисунке — короткий путь между
людьми через общих друзей.

10.

Типичные ошибки
Путать количество путей и количество исходов — это разные величины.
Не учитывать направление стрелок в ориентированном графе.
Забывать запрет «не заходить в вершину дважды» — он меняет ответ.
Складывать вероятности зависимых событий вместо умножения.
Пропускать исходы при переборе — спасает дерево вариантов.

11.

Итоги
Граф — вершины и рёбра; он делает связи наглядными.
Дерево вариантов — надёжный способ перебора исходов.
Количество путей считают по правилам сложения и умножения.
Вероятности вдоль пути перемножают, по разным путям — складывают.
Графы применяют в сетях, навигации, логистике и анализе данных.
Главная мысль: граф превращает громоздкий перебор в короткое и понятное
решение.

12.

Задания для закрепления
1. Постройте дерево вариантов для трёх подбрасываний монеты. Сколько исходов? Какова
вероятность события «все три — орлы»?
2. В полном графе на 5 вершинах каждая вершина соединена с каждой. Сколько у него рёбер?
3. На рисунке со слайда «Схема дорог» добавьте ребро C→B (стрелку). Сколько теперь путей из A
в D?
4. Придумайте свой пример графа из жизни (дружба, маршруты, меню) и найдите степень
каждой вершины.

13.

Спасибо за внимание!
Вопросы?