Логарифмические уравнения. Уравнения, решаемые методом введения новой переменной

1. Логарифмические уравнения

2.

3.

log 22 x 4 log 2 x 3 0
log 2 x t , t R
t 4t 3 0
2
t 1
t 3
ОДЗ: x 0
2 0
8 0
Вернемся к переменной х
1
log
x
1
x 2
2
log x 3
3
2
x 2
x 2
x 8
Ответ : 2; 8

4.

2log
2
0,3
x 7log0,3 x 4 0
ОДЗ: x 0
log 0,3 x t , t R
2 0
2t 7t 4 0
2
D 7 32 81
8 0
2
7 9
1
t1
4
2
7 9
t1
4
4
Вернемся к переменной х
1
log
x
0,3
2
log 0,3 x 4
10
10
10 3
30
x
3
3
3
3 3
1
2
x
0,3
x 0,34
10
x
3
x 0, 0081
Ответ : 0.0081;
30
3

5.

9
lg x lg x 1
lg10 x
2
9
lg x lg x 1
1 lg x
lg x t , t R
ОДЗ: x 0
2
Вернемся к переменной х
lg x 2
9
t t 1
1 t
2
2
1
t
t
t 1 9
x 10
2
x 100
0
1 t
3
3
t
8
t 1 9
0
1 t
t 1
100 0
Ответ : 100
t 2
loga b c loga b loga c

6.

2lg x lg x 4
2
2
4lg x lg2 x 4
4lg x lg2 x 4
lg x t , t R
4t t 4
2
t 4t 4 0
2
t 2
2
0
t 2 0
t 2
ОДЗ: x 0
x 0
Вернемся к переменной х
lg x 2
2
x 10
x 100
100 0
Ответ : 100
loga b 2n loga b
2n
x, если x 0
x
x, если x 0

7.

lg x lg x 40
2
lg x
3 2
3lg x
2
3
2 lg x 40
2 lg x 40
9lg x 2lg x 40
lg x t , t R
2
9t 2t 40 0
2
1 19
20
t1
9
9
1 19
t1
2
9
ОДЗ: x 0
Вернемся к переменной х
1
10
20
lg
x
9
lg x 2
k 1
D1 1 9 40 361
2
2
x 1
10
x 100
20
9
0
20
9
100 0
x
10
x 102
2n
loga b 2n loga b
20
9
log a b r r log a b
20
9
1
Ответ : ; 100
10
x, если x 0
x
x, если x 0

8.

7 log 3 x 15
1 0
5log 3 x 3
log3 x t , t R
ОДЗ: x 0
Вернемся к переменной х
7t 15
1 0
5t 3
7t 15 5t 3
0
5t 3
12t 12
12t 12 0
0
t 1
5t 3
5t 3 0
3 0
log 3 x 1
x 31
x 3
Ответ : 3

9.

log 3 x
9
8
x 0
ОДЗ:
2
2 log 3 x 6 9 log 3 x 2 log 3 x 6
9 0
Вернемся к переменной х
log3 x t , t R
t
9
8
2
2t 6 9 t
2t 6
t
9
8
0
2 t 3 t 3 t 3 2 t 3
t 2 3t 18 8t 24
0
2 t 3 t 3
log3 x 2
x 32
x 9
Ответ : 9
t 2
2
2
t
5
t
6
0
t 5t 6
t 3 п.к. t 2
0 2
t 3
2 t 3 t 3
t 9 0
t 2 5t 6 0
t 2
t 3

10.

1
4
4
2
log 2 x 3 log 2 x 1 log 2 x 2 log 2 x 3
log 2 x t , t R
1
4
4
2
t 3 t 1 t 2t 3
ОДЗ:
x 0
t 2 2t 3 0
t 1
t 3
1
4
4
0
t 3 t 1 t 3 t 1
t 1 4t 12 4
0
t 3 t 1
5t 15 0
5t 15
0
t 3 t 1 0
t 3 t 1
Ответ : корней нет
t 3 п.к.
t 3; t 1