Векторы в пространстве. (10-11 класс)

1.

2.

Отрезок, для которого указано, какой из его концов
считается началом, а какой концом, называется вектором
АВ
В
ВА Длиной ненулевого АВ
вектора называется длина
отрезка АВ
АВ = АВ
a
А
a
M
MM
0
MM = 0

3.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными,
если они лежат на одной прямой или на параллельных
прямых.
Коллинеарные, сонаправленные векторы
c
b
a
a
b
c
b
c
a
Нулевой вектор условимся считать
сонаправленным с любым вектором.
o
a
o
c
o
b

4.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными,
если они лежат на одной прямой или на параллельных
прямых.
Коллинеарные,
противоположно направленные векторы
b
a
c
a
b
c
b

5.

Многие физические величины, например сила
перемещение, скорость, являются векторными
величинами. При изучении электрических и магнитных
явлений появляются новые примеры векторных величин.
Электрическое поле,
создаваемое в
E
пространстве зарядами,
характеризуется в каждой
точке пространства
вектором напряженности
+
электрического поля.
На рисунке
изображены векторы
напряженности
электрического поля
положительного точечного
заряда.

6.

Направление тока
B
Электрический ток, т.е.
направленное движение
зарядов, создает в
пространстве магнитное
поле, которое
характеризуется в каждой
точке пространства
вектором магнитной
индукции.
На рисунке
изображены векторы
магнитной индукции
магнитного поля прямого
проводника с током.

7.

Векторы называются равными,
если они сонаправлены и их длины равны.
a
D1
A1
C1
B1
D
A
C
B
a
b
=
b

8.

АВСDH – правильная четырехугольная пирамида.
Верно ли равенство векторов?
DA = CB
Н
CD = BA
HC = HA
CO = OA
OD = OB
D
С
O
А
В

9.

№320
Найдите длины векторов
АВ = 3
ВC = 4
D
ВD = 5
S
NM = 1,5
BN = 2
5
NK = 2,5
CB =
K
3
А
В
N
M
С
4
BA =
DB =
NC =
KN =

10.

№322 На рисунке изображен параллелепипед
АВСA1B1C1D1. Точки М и К – середины ребер В1С1 и А1D1.
Укажите на этом рисунке все пары: а) сонаправленных
векторов; б) противоположно направленных векторов; в)
равных векторов.
В1
А1
M
С1
K
D1
В
А
С
D

11.

№325 Известно, что АА1=ВВ1. Как расположены по
отношению друг к другу: а) прямые АВ и А1В;
В
А
В1
А1
В
В1

12.

№325 Известно, что АА1=ВВ1. Как расположены по
отношению друг к другу:
б) прямая АВ и плоскость, проходящая через точки А1 и В1;
В
В
А
А
А1
А1
В1
В1

13.

№325 Известно, что АА1=ВВ1. Как расположены по
отношению друг к другу: в) плоскости, одна из которых
проходит через точки А и В, а другая через точки А1 и В1.
В
В
А
А
А1
А1
В1
В1

14.

№326 На рисунке изображен параллелепипед
АВСA1B1C1D1. Точки М и К – середины ребер В1С1 и А1D1.
Назовите вектор, который получится, если:
а) от точки С отложить вектор, равный DD1;
б) от точки D отложить вектор, равный CM;
В1
M
С1 в) от точки А1 вектор,
равный АС;
А1
K
D1
г) от точки С1 вектор,
равный СВ;
В
А
С
D
г) от точки М вектор,
равный КА1.

15.

Сложение векторов.
Правило треугольника.
a+b
b
a
b
a

16.

По правилу треугольника складываются и
коллинеарные векторы, хотя при их сложении
треугольника и не получается
b
a+b
a
b
a

17.

b
a+b
a

18.

Вычитание векторов. Правило треугольника.
a – b = a +(–b)
-b
b
-b
a
a
a- b

19.

Сложение векторов. Правило параллелограмма.
a+b
b
b
a+b
a
a

20.

Сложение векторов.
Правило треугольника.
АВ + ВС = АС
АО + ОР = АР
MN + NR = MR
MK + KM = MM = 0
MK + OM = OM + MK = OK
MF - SF =
MF + FS = MS
RO - RM = RO + MR = MR + RO = MO

21.

Сложение векторов.
Правило треугольника.
АС = АВ + ВС
из ОВN
ON = OB + ВN
из ASR
AS = AR + RS
из XKH
XH = XK + KH
из АMD
MD = MA + AD
из FPO
OP = OF + FP

22.

Сложение векторов.
Правило многоугольника.
АВ + ВС + СD + DO = АO
n
m
a
m
c
c
a
n

23.

Сложение векторов.
Правило многоугольника.
А1A2+ A2A3+ A3 A4 + A4A5 +A5A6 +A6A7 = А1A7
A1
A5
A6
A7
A4
A2
A3

24.

ka
Умножение вектора на число.
b
2b
a
2b b
2b = 2 b
1
a
2
1
a
2
1
a
2
a
=
1
2
a

25.

Умножение вектора на число.
Произведением ненулевого вектора
a
на число
k
b, длина которого равна k a ,
причем векторы a и b сонаправлены при k>0 и
притивоположно направлены при k<0.
называется такой вектор
Для любого числа
k и любого вектора a векторы
a и ka коллинеарны.

26.

Умножение вектора на число.
Произведение нулевого вектора на любое число
считается нулевой вектор.
k o=o
Произведение любого вектора на число нуль есть
нулевой вектор.
Для любых
равенства:
o a=o
a , b и любых чисел k, l
(kl)a = k (l a)
справедливы
Сочетательный закон
k (a + b) = ka + kb
Первый распределительный
закон
(k+l)a = ka + la
Второй распределительный
закон

27.

№344 Диагонали куба АВСDА1В1С1D1 пересекаются
в точке О. Найдите число k такое, чтобы равенства были
верны.
k
АВ = -1 СD
D1
C1
A1
B1
O
OD1 =
D
C
A
k
АC1 = 2 AO
B
k12
D1B

28.

Диагонали параллелепипеда АВСDА1В1С1D1
пересекаются в точке О.
При каком значении
kС A
справедливо соотношение АВ + В1С1 + СО =
АВ + В1С1 + СО = АВ + ВС + СО = АО =
D1
C1
A1
B1
O
D
C
A
B
1
k12 С A
1
k