Основы теории множеств

1. Раздел 4. Основы теории множеств.

Лекция №8. Множество. Операции над
множествами.

2.

Сегодня мы знаем, что,
логически говоря,
возможно вывести почти всю современную
математику из единого источника —
теории множеств.
Н. Бурбаки

3. Что такое множество?

Совокупность элементов,
объединенных некоторым
признаком, свойством, составляет
понятие множество.
Предметы, составляющие
множество, называются его
элементами.

4. Принадлежность множеству

5. Способы задания множеств:

Множество считается
заданным, если или
перечислены все его элементы,
или указано свойство,
которым обладают те и только
те элементы, которые
принадлежат данному
множеству.

6.

7. М составляют только те натуральные числа, что меньше пяти.

Само свойство Р будем
называть
характеристическим.

8. Порождающая процедура - описывает способ получения элементов нового множества из уже полученных элементов или из других

объектов.
А = {Хк = 3 + 2(к2 +1)}, к = 0,1,2,...
Задавая различные значения
параметра к, мы можем вычислять
элементы множества А :
Х0 = 5, Х1 = 7, Х2 = 13 и т.д.

9. Какое множество называется пустым? Существуют ли пустые множества?

Множество, не содержащее ни
одного элемента, называется
пустым и обозначается
символом .

10. Как изображаются множества?

Диаграммы Эйлера-Венна
M
а
b

11. Что такое подмножество?

Если каждый элемент множества А является
в то же время элементом множества В, то
говорят, что А - подмножество в В, и
пишут А В.
Каждое непустое множество имеет по
крайней мере два подмножества:
пустое множество и
само множество А.

12. Подмножество

K
M

13. Универсальное множество

Универсальным называют множество U,
состоящее из всех возможных элементов,
обладающих данным признаком.
Например, множество планет Солнечной
системы
U = {Земля, Марс, Венера, Юпитер, Сатурн,
Уран, Плутон, Меркурий, Нептун}.

14. Какие множества считаются равными?

Равными называют два множества
A и В, состоящие из одинаковых
элементов:
А=В

15. Мощность множества

Число элементов множества А
называется мощностью множества и
обозначается:
А

16.

Виды множеств
Конечные
Бесконечные
Счетные
Несчетные

17. Операции над множествами.

18. Вопросы:

1. Основные операции.
2. Свойства операций над
множествами.
3. Декартово произведение
множеств.
02.10.2017 5:50

19.

Все правила
достойного поведения
давным-давно известны,
остановка за малым –
умением ими пользоваться.
Б. Паскаль
02.10.2017 5:50

20. 1. Основные операции.

План изучения каждой операции:
• Название
• Обозначение
• Изображение кругами Эйлера
• Определение
• Символическая запись
02.10.2017 5:50

21. Пересечение множеств

А В
02.10.2017 5:50

22. Пересечение множеств

Те и только те элементы, которые
принадлежат одновременно А и В
02.10.2017 5:50

23. Объединение множеств

A B
02.10.2017 5:50

24. Объединение множеств

Те и только те элементы, которые
принадлежат
хотя бы одному из множеств А и В
02.10.2017 5:50

25. Разность множеств

А\В
02.10.2017 5:50

26. Разность множеств

Те и только те элементы множества
А, которые не принадлежат В
02.10.2017 5:50

27. Дополнение к множеству

A
02.10.2017 5:50

28. Дополнение к множеству

Те и только те элементы, которые не
принадлежат множеству А
02.10.2017 5:50

29. Симметрическая разность

A B
02.10.2017 5:50

30. Симметрическая разность

Те и только те элементы, которые
принадлежат одному из множеств: А либо
В, но не являются их общими элементами
02.10.2017 5:50

31. 2. Свойства операций над множествами.

1. A B = B A коммутативность
2. А В = В А коммутативность
3. (А В) С = А (В С) ассоциативность
4.(А В) С = А (В С) ассоциативность
5. (А В) С = (А С) (В С)
дистрибутивность
6. (А В) С = (А С) (В С)
дистрибутивность
02.10.2017 5:50

32. 2. Свойства операций над множествами.

7. A A=A
8. А А = А
9. A (A B) = A закон поглощения
10. A (A B) = A закон поглощения
11. (A B) = A B закон де Моргана
12. (A B) = A B закон де Моргана
13. A A=U
02.10.2017 5:50

33. 2. Свойства операций над множествами.

14. A A =
15. A = A
16. А =
17. A U = U
18. A U = A
19. U=
20. =U
21. ( A)=A закон двойного отрицания
02.10.2017 5:50

34. Разбиение множества

Разбиение множества U - такая система непустых
подмножеств {Аа}
множества U ,что
их объединение равно U (полнота разбиения),
а все попарные пересечения - пусты (чистота
разбиения).
Сами Аа называются классами, или блоками,
разбиения.
02.10.2017 5:50

35. 3. Декартово произведение множеств.

Декартовым (прямым) произведением
множеств называется
1) для двух множеств А, В: произведение А× В
- множество всех пар (а,b), где а A,b В;
02.10.2017 5:50

36. 3. Декартово произведение множеств.

2) для n множеств А1,А2,...,Аn:
произведение А1×А2×...×Аn множество всех векторов
(a1,a2,...,an), где ai Аi
(т.е. a1 А1 ,а2 А2, ..., аn Аn);
02.10.2017 5:50

37. 3. Декартово произведение множеств.

если все Аi одинаковы и равны A, то
произведение A×A×…×A
обозначается Аn и называется
n-й степенью множества А.
A×A×…×A= Аn
02.10.2017 5:50

38. Что вы сегодня узнали на уроке?

39. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ