Енергія електромагнітного поля

1. Розділ 5 ЕНЕРГІЯ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОГО ПОЛЯ

LOGO
1

2. Зміст

5.1
Теорема Пойнтінга для миттєвих
значень векторів поля
5.2
Теорема Пойнтінга для гармонічних
процесів (у комплексній формі)
5.4
Уявлення процесу передавання
енергії
Лема Лоренца
5.5
Висновки
5.6
Контрольні питання та завдання
5.3
LOGO
2

3. 5.1.Теорема Пойнтінга для миттєвих значень векторів поля

,
5.1.Теорема Пойнтінга для миттєвих
значень векторів поля
Нехай у будь-якому обмеженому об’ємі V з
урахуванням
втрат,
які
обумовлені
електричною σ та умовною магнітною σм
питомими
провідностями,
є
стороннє
джерело
електромагнітного
поля,
визначене векторами густини електричного
jстор та умовного магнітного jстор.м струмів.
З’ясуємо, яким чином здійснюється розподіл
енергії цього джерела в цьому об’ємі та за
його межами. Тобто, визначимо вектор
Пойнтінга.
LOGO
П
jстор
S
E
jстор.м
V
H
σ σм
WE WH
П
3

4.

,
LOGO
Стратегія розвитку полягатиме у застосуванні першого та
другого рівняння Максвелла у диференціальній формі у
повному складі, тобто з урахуванням сторонніх
струмів(електричного jстор та умовного магнітного jстор.м ),
електричних та магнітних
втрат.
Н
E
J стор.м. (5.2)
rotH E
J стор (5.1) rot E м H
t
t
Домножимо
скалярно ці рівняння: перше рівняння на E ,
а друге на H та віднімемо перше від другого:
На підставі тотожності векторного аналізу:
BrotA ArotB div[ A B]
4

5.

LOGO
В результаті отримаємо:
- теорему Пойнтінга у диференціальній формі (для миттєвих
значень векторів). Всі складники характеризують густину потужності.
H
E
2
2
div[ E H ] м H H
J стор.м H E E
J стор E 0
t
t
перший доданок лівої частини під знаком дивергенції – маємо векторний
добуток, який має
вектор Пойнтінга та визначає густину
назву
потужності П E H.
- теорему Пойнтінга в інтегральній формі .
2
2
J
EdV
J
HdV
E
dV
H
стор
стор. м
м dV
V
V
V
V
E
H
E
dV H
dV [ E H ] dS 0.
t
t
V
V
S
.
5

6.

LOGO
Визначимо фізичний зміст всіх складників.
I група - характеризує потужність сторонніх джерел електричного та
магнітного,
відповідно:
2
H
J
E
dV
м
,
.dV
стор
II група - характеризує теплові втрати потужності, які зосереджені в
об’ємі, електричні та магнітні відповідно: E 2 dV , м H 2 dV .
III група - характеризує потужності електричного і магнітного полів,
які зосереджені в об’ємі , тобто потужності, що витрачені на утворення
відповідних складників електромагнітного поля: E
H
V t EdV t HdV
V
Останній доданок – потужність електромагнітного поля крізь
замкнуту поверхню , яка охоплює об’єм , в якому зосереджені сторонні
джерела поля. Це – потужність випромінення електромагнітного
поля – носія інформації:
,
P E H dS П dS
S
.
S
6

7.

Сума цих потужностей дорівнює нулю, що свідчить про баланс
миттєвої потужності в просторі.
LOGO
Теорема Пойнтінга – одне з найважливіших положень електродинаміки, на
основі якої далі отримана формула ідеального радіозв’язку. Якщо відоме
значення вектора Пойнтінга, можна визначити потужність, яку випромінюють
та приймають антени, розрахувати потужність, яка поширюється в
хвилеводах, тощо.
Визначимо складник електричної енергії
електромагнітного поля в об’ємі.
E
Для цього проінтегруємо
за
часом:
EdV
t
E
V
WE PE dt
E dVdt
t
t
t V
E
dt як повного диференціала dE , запишемо даний
Після визначення
t
вираз у формі:
WE
E dEdV
=>
WE
E 2
2
dV
V
H
HdV отримаємо:
Після виконання аналогічної процедури з
t
V
VE
WH
V
H 2
2
dV
7

8.

LOGO
Під інтегралами є відповідно густина енергії електричного та
2
2
магнітних полів:
E
E D
H
B H
wE
wH
2
2
,
2
2
Енергію електромагнітного поля визначимо, як суму цих складників:
W WE WH
z
П=Пzk
H=Hyj
E2
H2
dV
2
2
V
Для практики електрозв’язку дуже важливим є
визначення напрямку вектора Пойтинга.
Площина, в якій розташовані E і H має назву
фронт електромагнітної хвилі.
Таким чином вектор Пойнтінга зорієнтовано
перпендикулярно до фронту
y
електромагнітної хвилі.
Е=Exi
x
8

9. 5.2. Вектор Пойнтінга для гармонічних процесів (у комплексній формі)

LOGO
Якщо процеси можна описати гармонічною функцією, то зручно
використати комплексні та комплексно-спряжені величини.
Для вектора напруженості електричного поля:
j t j t
j t Em e E m e
E Re E m e
2
j t j t
Для вектора напруженості магнітного поля: H Re H m e j t H m e H m e
2
Звідси вектор Пойнтінга:
1 j t j t
j t
j t
П E H Em e Em e
H m e H m e
4
1
2 j t
2 j t
Em H m E m H m Em H m e
Em H m e
.
4
9

10.

LOGO
Після перестановок отримаємо:
1
1
П Re E m H m Re E m H m e j 2 t
2
2
Перший доданок незмінний у часі, другий – змінюється з подвійною
частотою.
Перший доданок визначає середнє за період значення густини
T
потужності, тобто вектор Пойнтинга:
1
1
Псер
Пdt Re E
T
2
0
m
Hm
Другий доданок – коливальна складова вектора Пойнтинга.
Пкол
1
j 2 t
Re E m H m e
2
10

11.

LOGO
За умов гармонічного поля використовують, так званий,
комплексний вектор Пойнтінга, який має дійсний та уявний
складники,відповідно:
1 1 1
П E H Re E H Im E H
2
2
2
Та має властивість:
Псер
Re П
Тобто, якщо комплексний вектор Пойнтінга є уявним, то це означає,
що електромагнітний процес в середньому за період не переносить
потужність. Тобто уявному значенню комплексного вектора Пойнтінга
аналогією є реактивна потужність.
11

12. 5.3. Уявлення процесу передавання енергії

LOGO
Процес передавання енергії з використанням вектора
Пойнтінга з’ясуємо на прикладі дводротової лінії, вздовж якої
енергія від джерела ЕРС передається в резистивне
навантажувальне коло. Орієнтовне зображення силових ліній
складників векторів електромагнітного поля E та H .
Рисунок 5.1 Поширення електромагнітної енергії :
а – еквівалентна електрична схема; б – уявлення формування
електромагнітного поля двопровідної лінії
12

13.

LOGO
Ці складники “формують” вектор Пойнтінга, що орієнтований вздовж
ліній від генератора до кола навантаження.
Потужність визначимо як
P П dS
S
Тобто потужність передається електромагнітним полем, а
провідники виконують функцію “рейок”, вздовж яких поле
поширюється.
13

14. 5.4. Лема Лоренца

LOGO
Лема Лоренца встановлює зв’язок між сторонніми джерелами у двох
різних точках вільного простору і електромагнітним полем, які
створюють ці джерела.
Нехай деяка сукупність гармонічних сторонніх струмів
утворює
електромагнітне поле з комплексними амплітудами ( E m1 , H m1), які
задовольняють системі рівнянь Максвелла:
rot H m1 j E
m1 J m1стор.
rot E m1 j H m1 J m1стор.м
Існує також інша група сторонніх струмів, які створюють
електромагнітне поле з напруженостями, E m 2 , H m 2 , які задовольняють
системі рівнянь Максвелла:
rot H m 2 j E m 2 J m 2 стор.
rot E m 2 j H m 2 J m 2стор.м
14

15.

LOGO
E
Помножимо скалярно rot E m1 на m2 ,та rot E m 2 на H m1 та віднімемо другу
рівність від першої. В результаті отримаємо:
div E m 2 H m1 j E m1 E m 2 j H m1 H m 2 J m1стор. E m 2 J m 2стор.м H m1
Тепер помножимо скалярно rot E m1 на H m 2 , та rot H m 2 на E m1 та
віднімемо друге рівняння від першого. В результаті отримаємо:
div E m1 H m 2 j E m1 E m 2 j H m1 H m 2 J m 2стор. E m1 J m1стор.м H m 2
div E m1 H m 2 div E m 2 H m1 J m1стор. E m 2 J m 2стор.м H m1 J m 2стор. E m1 J m1стор.м H m 2
Отримане рівняння описує Лему Лоренца в диференціальній формі.
15

16.

LOGO
E m1 H m 2
E m 2 H m1
Векторні добутки
та
– взаємні вектори Пойнтінга двох
незалежних електромагнітних процесів.
Також можлива інтегральна форма леми Лоренца. Щоб її отримати,
припустимо що маємо об’єм V, обмежений поверхнею S . Після
інтегрування Леми Лоренца в дифференціальній формі за об’ємом та
застосування перетворення (теореми) Гаусса-Остроградського,
отримаємо:
E
H
E
H
d
S
J
E
J
H
J
E
J
H
S m1 m2 m2 m1
V m1стор. m2 m2стор.м m1 m2стор. m1 m1стор.м m2 dV
Таким чином отримано співвідношення визначають взаємний зв’язок
потужностей електромагнітного поля, створеного двома незалежними
джерелами.
16

17. 5.5. Висновки

LOGO
17

18.

LOGO
18

19. 5.6. Контрольні питання та завдання

LOGO
1. Обґрунтуйте підхід до виведення теореми Пойнтінга.
2. Поясніть сутність сторонніх струмів.
3. Наведіть теорему Пойнтінга в диференціальній формі та поясніть сутність її
складників.
4. Сформулюйте теорему Пойнтінга в інтегральній формі та поясніть фізичний
зміст складників.
5. Наведіть формулу для вектора Пойнтінга, визначте напрям та поясніть
поняття «фронт хвилі».
6. Поясніть особливості вектора Пойнтінга у комплексній формі, поясніть
сутність двох його складників.
7. Визначте енергію електричного поля.
8. Визначте енергію магнітного поля.
9. Визначте енергію електромагнітного поля.
10. Доведіть зорієнтованість вектора Пойнтінга відносно векторів напруженості
електричного та магнітного полів. Який процес характеризує цей напрям?
11. Охарактеризуйте процес передавання електромагнітної енергії системою
провідників.
12. Сформулюйте лему Лоренца, поясніть її сутність в електродинаміці.
19