Частотні характеристики лінійних електричних кіл другого порядку. Частотні властивості послідовного коливального контуру

1. ЛЕКЦІЯ № 8 з навчальної дисципліни Теорія кіл і сигналів в інформаційному та кіберпросторах Тема 4. Частотні характеристики

лінійних
електричних кіл другого порядку.
Заняття 1. Частотні властивості
послідовного коливального контуру.

2. Л I Т Е Р А Т У Р А 1. Бондаренко В.Н. Основы теории цепей. К.: Институт электродинамики НАН Украины.-2012. с.313-329. 2.

ЛIТЕРАТУРА
1. Бондаренко В.Н. Основы теории цепей. К.:
Институт электродинамики НАН Украины.2012. с.313-329.
2. Карташов Р.П., Медведев А.П. Теория
электрорадиоцепей,.

3. 1. Условия и признаки резонанса напряжений.

• Последовательным колебательным
контуром называют цепь, состоящую из
последовательного соединения
индуктивности L и емкости С

4. Элементы электроники

5.

i (t )
uвх(t)
r
L
C

6. Пусть напряжение на зажимах контура изменяется по закону

uвх (t ) U m sin t.

7. Перейдем к эквивалентной комплексной схеме замещения

I m
U m вх
r
ZC
ZL

8. По второму закону Кирхгофа составим уравнение электрического равновесия:

U m âõ U mr U mL U mC
1
rI m j L I m j
Im
C
1
I m (r j L j
).
C

9. Комплексное сопротивление цепи

U m âõ
• Zвх=
Im
I (r j L j 1 )
m
C
I m
1
r j L j
C
j
r jx ze ,

10.

• где
1
x xL xC L
;
C
x
2
2
arctg ; z r x .
r

11. При xL>xC сдвиг фаз между приложенным к цепи напряжением и током в цепи φ>0, т.е. будет положительным, ток в цепи отстает от

При xL>xC сдвиг фаз между приложенным к
цепи напряжением и током в цепи φ>0, т.е.
будет положительным, ток в цепи отстает от
приложенного напряжения, цепь носит
индуктивный характер (рис. 7.3)

12.

U mL
+j
U m
U mC
U mL U mC
φ
U mr
I m

13.

• При xL<xC сдвиг фаз между
приложенным к цепи напряжением и
током в цепи φ<0, т.е. будет
отрицательным, ток в цепи опережает
приложенное к ней напряжение. Цепь
носит емкостной характер

14.

+j
U mL
U mr
φ
U m
I m
+
U mC

15.

• Наибольший интерес представляет
случай равенства xL= xC. При этом
реактивное сопротивление контура
равно нулю, комплексное
Z r j ( x L xC ) r ,
сопротивление
цепь носит характер только активного
сопротивления, ток в цепи совпадает по
фазе с приложенным к ней
напряжением.

16.

+j
U mL
U mC
U mr
U m
I m

17.

• Уменьшение комплексного сопротивления
контура до минимального приводит к
возрастанию до максимума тока в контуре,
что свидетельствует о наступлении явления
электрического резонанса. Существуют
различные определения резонанса, взаимно
дополняющие друг друга. Одно из них:
резонансом (от латинского resono –
откликаюсь) называется явление, при
котором сопротивление контура
становится только активным.

18.

• Другое определение: резонансом
называется резкое возрастание
амплитуды вынужденных колебаний
при приближении частоты внешнего
гармонического воздействия к
частоте собственных колебаний
контура. Равенство xL = xC является
условием возникновения резонанса в
последовательном колебательном
контуре.

19.

• При xL= xC сдвиг фаз между током и
напряжением φ=0. В этом случае
хL=хLр; хС=хСр. По отношению к входным
зажимам контур при резонансе
эквивалентен цепи, состоящей из
одного активного сопротивления r .

20.

• Первый признак резонанса в
последовательном колебательном
контуре. Амплитуда тока в цепи при
резонансе принимает максимальное
значение Im=Um/r . В остальных случаях
2
2
r
x
амплитуда тока равна Im=Um/

21.

• Второй
признак
резонанса
напряжений
в
последовательном
колебательном контуре. Напряжения на
реактивных элементах при резонансе
равны по амплитуде и противоположны
по фазе.

22.

U mL
jx Lр I m ;
U m C jxCр I m
Учитывая то, что при резонансе xL = Xc,
можно записать, что
j
U m L U mC e

23. 2. Первичные и вторичные параметры последовательного колебательного контура.

• Первичными параметрами
последовательного колебательного
контура являются величина
индуктивности L, величина емкости С и
величина активного сопротивления r.
Они характеризуют данный контур как
совокупность конкретных элементов и
позволяют отличить его от других
контуров.

24. Рассмотрим, какие параметры относятся к вторичным

Резонансная частота контура - это частота, при
которой реактивное сопротивление контура равно
нулю. Определим ее из равенства xL = xC :
1
0 L
;
0C
Отсюда
0 LC 1; 0
2
1
.
LC

25.

• Это резонансная частота контура или
частота собственных колебаний,
которая определяется только
параметрами контура.

26. Волновое или характеристическое сопротивление контура.

• Модули реактивных сопротивлений
контура на резонансной частоте равны
и определяются как
x L 0 L
1
xC
0C
1
L
L
;
C
LC
1
L
.
1
C
C
LC

27.

Величина
L
C
называется волновым или
характеристическим сопротивлением
контура.

28. Добротность контура

• Резонансные свойства контура
характеризуются добротностью
контура. Добротностью контура
называют отношение напряжения на
реактивном элементе (индуктивности
или емкости) при резонансе к
напряжению, действующему на
входе контура

29.

Q
U m Lр
U mвх
U mCр
U mвх
0 L
1
r
0 rC r
отношение волнового сопротивления
контура к активному сопротивлению.

30.

• Добротность определяет эффективность или
качество контура, является безразмерной
величиной.
• Чем меньше активное сопротивление
контура, тем выше его добротность. Для
радиотехнических контуров характерны
значения добротности от 100 до 500.
Свойство контура усиливать приложенное
напряжение широко используется на
практике.
• Величина, обратная добротности, носит
название затухание контура

31.

1 r
d .
Q
Это наименование параметра связано с тем,
что оно характеризует скорость затухания колебаний
в контуре при отключении от него источника энергии.

32. 3. Комплексні функції та частотні характеристики ПКК

• Для анализа и описания частотноизбирательных свойств колебательных
контуров используют комплексные
входные и передаточные функции.
Наибольший интерес при изучении
последовательных контуров
представляют комплексная входная
проводимость и комплексная
передаточная функция по напряжению .

33.

• Комплексной входной функцией
цепи называется отношение
комплексных амплитуд тока и
напряжения, действующих на
входных зажимах.
Комплексная входная проводимость:
I mвх
1
Yвх ( j )
U mвх Z вх ( j )

34. 3.1 Комплексная входная проводимость последовательного колебательного контура

• Комплексная входная проводимость
последовательного колебательного
контура рассчитывается через его
параметры:
1
1
Yвх ( j )
Z ( j ) r jx
1
x
r (1 j )
r

35.

0
x 1
1
1
1 0 L
( L
) ( L
)
r r
C
r
0 C 0 L
0 L
1
0
(
) Q( )
r 0 0 LC
0

36.

Y ( j )
1
0
r 1 jQ
0
1
0
r 1 Q
0
2
2
e
0
jarctgQ
0
Y ( )e
j ( )
.

37.

Нормированная комплексная
входная проводимость получается
Y j
путем отношения
к ее же
значению при 0.
1
Так как Y j 0
, то
r
Yn j
Y j
Y j 0
1
0
1 Q
0
2
2
e
jarctgQ 0
0
Y j
e
.
Y 0

38.

• Нормированная входная АЧХ
описывается выражением
Y
Yn ( )
Y 0
1
0
1 Q
0
2
2

39. График нормированной входной АЧХ имеет следующий вид:

Увеличению добротности контура соответствуют
более острые резонансные кривые или усиление
его частотно-избирательных свойств.

40. Зависимость аргумента проводимости контура от частоты называется фазо-частотной характеристикой

φ(ω)
0
arctgQ .
0
Q1
Q2
ω0
-
ω

41.

• Из этого графика следует, что на
частотах ниже резонансной контур
имеет емкостной характер, при
резонансе – резистивный, а на частотах
выше резонансной – индуктивный.

42.

При исследовании частотных
характеристик колебательного контура
в качестве независимой переменной
удобно использовать величину,
характеризующую расстройку контура,
т.е. степень отклонения его
резонансной частоты от частоты
сигнала.

43.

• Разность между частотой сигнала и
резонансной частотой контура
• называют абсолютной расстройкой.
Она может быть как положительной, так
и отрицательной.
0

44.

Отношение абсолютной расстройки к
резонансной частоте называется
относительной расстройкой.
0

45.

Фактором расстройки называют
величину, описываемую выражением
0
0

46.

Обобщенной расстройкой называют
преобразованное отношение
реактивного сопротивления контура к
активному
0
x
Q
Q
r
0

47.

При малых расстройках в области
частот, близких к резонансной
0
2
2
0 0 2
0
0
,
0
0
0
0
так как
0 2 .

48.

• Поэтому вблизи резонанса
2
Q 2Q .

49.

• Относительная и обобщенная расстройки, как
и фактор расстройки, безразмерные
величины. Все виды расстроек при
резонансе равны нулю.
Преобразуя полученные формулы,
получим выражения для нормированных
частотных характеристик контура в функции
расстройки:

50.

Y j
1
Yn ( j )
e arctg ;
Y j 0
1 2
Y
1
Yn ( )
;
Y 0
1 2
arctg

51.

52. 3.2 Комплексная передаточная функция по напряжению .

3.2
Комплексная
передаточная
функция
по
• Комплексные передаточные функции по
.
напряжениюнапряжению
последовательного
колебательного контура различают в
зависимости от того, напряжение на
каком из его элементов является
выходным

53.

54.

Для передаточной функции по
напряжению на активном
сопротивлении с учетом
1
Y j 0
r
получаем

55.

U mr rI m
KUr ( j )
rY ( j )
U m U m
Y ( j )
1
jarctg
e
Y ( j 0 )
1 2

56.

Этому соответствует амплитудночастотная и фазо-частотная
характеристики:
KUr ( )
1
1 2
r ( ) arctg

57. Передаточная функция по напряжению на емкости

U mC
1 I m
1
KUC ( j )
Y ( j )
Um
j C U m
j C
1
1
1 0
jarctg
e
j rC 1 2
j 0 rC
0 jarctg ( / 2 arctg )
e
2
1
Q
1
1 2
e arctg

58. Ей соответствуют частотные характеристики:

0
KUC ( )
2
1
Q
C ( ) arctg
2

59. Для передаточной функции по напряжению на индуктивности

U mL
I m
j L
K UL ( j )
j L
j LY ( j )
e jarctg
U m
U m
r 1 2
j 0 L
jarctg
Q
j ( 2 arctg )
e
e
2
2
r 1
1
0
0

60. Частотные характеристики в этом случае:

KUL ( j )
1 2 0
Q
L ( ) arctg
2

61. Покажем графики соответствующих характеристик.

62.

Численно передаточные функции, или коэффициенты
передачи по напряжению, показывают, во сколько раз
напряжение на соответствующем элементе больше
напряжения, действующего на входе контура. Из полученных
соотношений, в частности, следует, что при резонансе
напряжения на реактивных элементах в Q раз превышают
входное напряжение, а напряжение на активном элементе
равно ему.
Напряжение на реактивнх элементах достигает своего
максимального значения в стороне от резонанса, а
максимальные значения этих функций одинаковы.
Из всех комплексных коэффициентов передачи
последовательного колебательного контура практический
интерес представляет передаточная функция по напряжению на
емкости, так как обычно выходное напряжение снимается с
емкости.

63. 4. Резонансні характеристики ПКК

• Резонансными характеристиками
ПКК называют зависимость
амплитуды тока в контуре или
напряжений на его элементах от
частоты.

64. Рассмотрим эквивалентную комплексную схему замещения последовательного колебательного контура.

I m
U m
r
ZC
ZL

65. Зависимость амплитуды тока от частоты имеет следующий вид:

Im
Um
1
r L
C
2
2

66. Проанализируем это уравнение, для чего воспользуемся случаями предельных значений частоты:

0 z Im 0
Um
0 z r I m
r
z Im 0

67. Амплитуды напряжений на реактивных элементах можно найти согласно закону Ома:

U m L
U m L I m X L
1
r L
C
2
2
U m C I m X C
Um
1
2
C r L
C
2

68.

69.

• При 0 ток в цепи равен нулю и
напряжение на активном
сопротивлении также равно нулю.
Учитывая, что X L L , при 0 эта
величина также равна нулю и
амплитуда напряжения U m L 0 =0.
Напряжение, приложенное к контуру,
выделится на емкости, и U m C 0 U mвх .

70.

• При частоте, равной резонансной,
наблюдается равенство напряжений на
реактивных элементах, однако эти значения
не максимальны. При изменении частоты в
сторону уменьшения или увеличения от
резонансной происходит незначительное
вначале уменьшение тока, но за счет
увеличения реактивных сопротивлений
происходит рост напряжения на них.

71.

• При
ток в цепи также
равен нулю и напряжение на активном
сопротивлении также равно нулю.
1
Учитывая, что X C
, при
эта величина также равна нулю и
амплитуда напряжения U m C 0 =0.
Напряжение, приложенное к контуру,
выделится на индуктивности, и
U m L U mвх
.
С

72. 5. Полоса пропускания ПКК

• Полосой пропускания
последовательного колебательного
контура называется диапазон частот
вблизи резонансной, на границах
которого амплитуда тока в контуре
снижается до уровня 0,707 своего
максимального значения.

73.

74.

• Разность граничных частот называется
абсолютной полосой пропускания:
2 1

75. Отношение разности граничных частот к резонансной частоте называется относительной полосой пропускания:

2 1
0
0
0

76.

0
2 1 Q 0 d
2 1
1
0 Q d
0

77. 6. Коэффициент прямоугольности амплитудно-частотной характеристики

• Коэффициентом прямоугольности
резонансной кривой контура называется
отношение полосы пропускания
контура, отсчитанной на
1
• уровне 2 0,707 , к полосе пропускания,
отсчитанной на уровне 1 0,1:
КП
10
0 , 707
0 ,1

78.

• коэффициент прямоугольности для
последовательного колебательного
контура является постоянной
величиной, не зависящей от его
параметров:
0 d
КП
0,1
10 0 d