Дифференциалдык тендеулер. Сызыктык дифференциалдык тендеулер

1. Бірінші дәрежелі сызықтық дифференциалдық теңдеулер 12 сынып

Маметреева Сана Оралбекқызы
Семей қаласындағы физика-математика
бағытындағы Назарбаев Зияткерлік мектебі

2. Дифференциалдық теңдеулерді топқа бөліңіздер:

ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ТОПҚА БӨЛІҢІЗДЕР :

3. Бірінші дәрежелі сызықтық дифференциалдық теңдеулер

y / p x y q x түріндегі теңдеулерді бірінші
дәрежелі сызықтық дифференциалдық теңдеу
деп атайды, мұндағы p(x) және q(x) - х
айнымалысының функциялары.
y / p x y 0
түріндегі теңдеулерді
бірінші дәрежелі біртекті
сызықтық
дифференциалдық теңдеу
деп айтады
y / p x y q x
түріндегі теңдеулерді
бірінші дәрежелі біртекті
емес сызықтық
дифференциалдық теңдеу
деп айтады, мұндағы
q x 0

4.

Шешу тәсілдері: 1. Интегралдаушы көбейткіш әдісі.
2. Тұрақтыны вариациялау әдісі
Интегралдаушы көбейткіш әдісі. y / p x y q x
p x dx
(1) теңдеуінің екі жағын да
интегралдаушы
e
көбейткішке көбейтеміз:
p x dx
p x dx
/ p x dx
(2)
ye
p x ye
q x e
Интегралдың туындысы интеграл астындағы функцияға тең:
p x dx / p x
Күрделі функцияның туындысы бойынша:
e
p x dx
/
e p x dx p x dx / p x e p x dx

5.

Көбейтіндінің туындысы бойынша:
/
ye p x dx y / e p x dx y e p x dx
/
/
ye p x dx y / e p x dx yp x e p x dx
Осыны (2) теңдеуге қоямыз:
ye
p x dx
Интегралдаймыз:
/
q x e p x dx
p x dx
p x dx
ye
q x e
C
p x dx
y Ce
p x dx
e
p x dx
q x e

6. 1-мысал. теңдеуін шешу керек.

1-МЫСАЛ. xy/ 3 y x 2
ТЕҢДЕУІН ШЕШУ КЕРЕК.
Шешуі:
3
y y x
x
бірінші дәрежелі сызықтық біртекті
емес дифференциалдық теңдеу
/
3
1
p x
p x dx 3 dx 3 ln x
x
x
p x dx
3 ln x
3
e
e
x
x 3 y / 3x 2 y x 4
yx x
3 /
4
1 5
yx x dx C x C
5
3
1 2 C
y x 3
5
x
4

7. 2-мысал. теңдеуін шешу керек.

2-МЫСАЛ.
xy/ y 2x 3
ТЕҢДЕУІН ШЕШУ КЕРЕК.
Шешуі: Тұрақтыны вариациялау әдісімен шешеміз.
Алдымен біртекті дифференциалдық теңдеудің
жалпы шешімін табамыз:
dy
dx
xy y
ln y ln x C y Cx
y
x
мұндағы С- кез келген тұрақты сан.
Енді С тұрақтыны қандай да бір әзірге белгісіз С(х)
функциясымен алмастырып, берілген біртекті емес
теңдеудің шешімін мына түрде іздейміз:
/
y C х x
y / C х x С / х х С х
/

8.

х С х х С х С х х 2х
/
3
С х х С х х С х х 2х
/
2
3
С х 2 х
/
С х 2 хdx x C
2
мұндағы С - кез келген нақты сан.
Сонымен берілген теңдеудің жалпы шешімі былай
жазылады:
y C х x x 2 C1 x x3 C1 x