Решение треугольников. (9 класс)

1. Решение треугольников

Геометрия
1
9 класс
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

2. Организационный момент

Часто знает и дошкольник,
Что такое треугольник,
А уж вам-то, как не знать…
Но совсем другое дело –
Очень быстро и умело
Треугольники считать!
2
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

3. Психологическая разминка

Определите своё эмоциональное состояние
в начале. Поставьте галочку в клетку,
соответствующую настроению
3
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

4. Тест на определение истинности (ложности) утверждения

И В треугольнике против угла в 150º лежит большая сторона.
2. И В равностороннем треугольнике внутренние углы равны между
1.
Л
4. И
3.
5. Л
6.
И
Л
8. И
7.
4
собой и каждый равен 60º.
Существует треугольник со сторонами 2 см, 7 см, 3 см.
Прямоугольный равнобедренный треугольник имеет равные
катеты.
Сумма длин двух других сторон любого треугольника меньше
третьей стороны.
Если острый угол прямоугольного треугольника равен 60º, то
прилежащий к нему катет равен половине гипотенузы.
Существует треугольник с двумя тупыми углами.
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º.
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

5. План изучения темы «Решение треугольников»

Что это значит?
Для этого вспомним…
Как это делать?
Примеры задач.
Реши сам.
5
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

6. Определение

Решением треугольника
называется
нахождение всех его
шести элементов (то
есть трёх сторон и
трёх углов) по какимА
нибудь трём данным
элементам.
6
В
c
a
b
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
С

7. Для этого вспомним

Решение данных задач основано на использовании теорем
синуса и косинуса, теоремы о сумме углов треугольника и
следствии из теоремы синусов: в треугольнике против
большего угла лежит большая сторона, против большей
стороны лежит больший угол.
Причем, при вычислении углов треугольника предпочтительнее
использовать теорему косинусов, а не теорему синусов.
Соотношения между сторонами и углами в треугольнике
1.
Сумма углов треугольника.
2.
Теорема синусов.
3.
Теорема косинусов.
7
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

8. Сумма углов треугольника

Теорема синусов
Стороны треугольника
пропорциональны синусам
противолежащих углов
В
c
a
a
b
c
sin A sin B sin C
А
9
b
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
С

9. Теорема синусов

Теорема косинусов
Квадрат стороны
треугольника равен сумме
квадратов двух других
сторон минус удвоенное
произведение этих сторон на
косинус угла между ними.
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
10
В
c
А
a
b
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
С

10. Теорема косинусов

Три задачи на решение треугольника
Рассмотрим 3 задачи на решение треугольника:
решение треугольника по двум сторонам и
углу между ними;
решение треугольника по стороне и
прилежащим к ней углам;
решение треугольника по трем сторонам.
11
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

11. Три задачи на решение треугольника

Договоримся
При решении
треугольников будем
пользоваться
следующими
обозначениями для
сторон треугольника
ABC:
АВ = с, ВС = а, СА = b.
12
В
c
А
a
b
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
С

12. Договоримся

Задача 1. Решение треугольника по
двум сторонам и углу между ними
В
Дано: АВС, а, b, C
Найти: с, А, В.
a
c
С
А
13
b
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

13. Задача 1. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

1. Применим теорему косинусов
В
с a 2 b2 2ab cos C
2. По теореме косинусов находим
a
b c a
cos A
2bc
3. Угол А находим с помощью
таблицы Брадиса
2
2
2
c
С
B 180 A C
14
4. Запишем ответ
А
b
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

14. Задача 1. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Задача 2. Решение треугольника по
стороне и прилежащим к ней углам
В
Дано: АВС, а, В, С
Найти: b, c, A
a
c
С
А
15
b
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

15. Задача 2. Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам

1. Найдём неизвестный угол
В
A 180 B C
2. С помощью теоремы синусов:
a
a sin B
b
sin A
c
С
a sin С
с
sin A
16
3. Запишем ответ
А
b
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

16. Задача 2. Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам

Задача 3. Решение треугольника по
трём сторонам
В
Дано: АВС, a, b, c
Найти: А, В, С.
a
c
С
А
17
b
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

17. Задача 3. Решение треугольника по трём сторонам

1. По теореме косинусов найдём
b2 c2 a 2
cos A
2bc
b2 a 2 c2
cos C
2ab
2. Значения углов А и В находим с
помощью таблицы Брадиса.
В
a
c
С
3. Находим оставшийся угол
18
B 180 A C
4. Запишем ответ
А
b
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

18. Задача 3. Решение треугольника по трём сторонам

Таблица – памятка
Решение треугольника по
двум сторонам и углу
между ними
Решение треугольника по
стороне и прилежащим к
ней углам
А
Решение треугольника по
трем сторонам
А
А
c
b
γ
В
a
с a 2 b2 2ab cos C
19
γ
β
С В
b
a
A 180 B C
b2 c2 a 2
cos A
2bc
b
a sin B
sin A
B 180 A C
с
a sin С
sin A
С В
a
С
b2 c2 a 2
cos A
2bc
b2 a 2 c2
cos C
2ab
B 180 A C
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

19. Таблица – памятка

Решаем задачу 1
Решить треугольник АВС, если
А=60º В=40º, с=14см.
В
Дано: АВС, А=60º,
В=40º, с=14см.
Найти: a, b, С.
А
Ответ
20
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
С

20. Решаем задачу 1

Решаем задачу 2
Решить треугольник АВС, если
a=6,3 см, b=6,3 см, C=54º.
С
Дано: АВС, a=6,3 см,
b=6,3 см, C=54º.
Найти: А, В, c.
В
А
Ответ
21
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

21. Решаем задачу 2

Решаем задачу 3
Решить треугольник АВС, если
a=6 см, b=7,7 см, c=4,8 см.
В
Дано: a=6 см, b=7,7 см,
c=4,8 см.
Найти: А, B, C.
Ответ
22
А
C
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

22. Решаем задачу 3

Ответ к примеру 1
23
C=80º
a≈12,3 см
b≈9,1 см
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

23. Ответ к примеру 1

Ответ к примеру 2
А=63º
B=63º
c≈5,7 см
24
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

24. Ответ к примеру 2

Ответ к примеру 3
А=54º52´
B=84º16´
C=40º52´
25
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

25. Ответ к примеру 3

Найди ошибку
а 2 b 2 c 2 2bc cos
sin A sin B sin C
a
b
c
b a c 2bc cos
sin A
2R
a
a 2 a 2 c 2 2ac sin
b
2r
sin B
2
26
2
2
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

26. Найди ошибку

Измерительные работы
Тригонометрические функции могут быть использованы для
проведения различных измерительных работ на местности.
Об этом мы поговорим на следующем уроке.
27
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

27. Измерительные работы

Задание на дом
•Изучить
материалы
пунктов 96 – 99,
• решить любые 3
задачи, вычислив
неизвестные
элементы
треугольника
АВС:
28
№
а
1
3
b
3
2,4
4
5
5
2
4
6
7
2
4
B
135°
28°
30°
9
3
5
10
15
24
45°
60°
8
14
8
C
60°
1,3
12
7
A
2
3
2
c
36°
25°
64°
48°
60°
18
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ