Метод вспомогательной окружности

1. МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ОКРУЖНОСТИ.

L/O/G/O
Выполнила: ученица 9 класса «В»
МОУСОШ № 32 Иванова Софья
Андрияновна
Учитель: Стаханова Полина
Александровна.

2. Цель: исследование метода вспомогательной окружности и его свойств, применение данного метода при решении задач.

Методы исследования:
1.Изучение теории по вспомогательной окружности
2. Доказательство признаков задач, которые могут привести к
применению вспомогательной окружности
3. Установление связи между методом вспомогательной окружности и
решением задач
4. Выполнение практической части.

3.

Вспомогательная окружность - одно из наиболее
эстетичных дополнительных построений.
Метод вспомогательной окружности
заключается в том, что если геометрическая
фигура (многоугольник, треугольник, квадрат и
т.п.) имеет ряд конкретных признаков, то вокруг
неё можно описать окружность, что значительно
облегчит решение ряда задач.

4. Докажем признаки при которых вокруг многоугольников можно описать окружность:

Первый признак:
Если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то
вокруг него можно описать окружность.

5.

Второй признак:
Если точки В и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD,
причём АВD= ACD, то точки A, B, C, D принадлежат одной окружности.

6.

Третий признак:
Четырёхугольник можно описать около окружности тогда и только тогда,
когда суммы его противоположных сторон равны.
a + b = c + d.

7. Углы, связанные с окружностью.

Угол с вершиной внутри
круга равен полусумме дуг,
заключенных между
сторонами угла.
Угол с вершиной вне круга равен
полуразности дуг, заключенных
между сторонами угла.
2
2

8. Угол между касательной и хордой, проведенными из одной точки, равен половине дуги, заключенной между ними.

2

9. Отрезки, связанные с окружностью.

Радиус перпендикулярен
хорде тогда и только
тогда, когда он проходит
через ее середину.
Равные хорды стягивают равные
дуги.
AB CD
A
B
C
O
O
D

10. Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

A
Произведения отрезков пересекающихся
хорд равны.
a b c d
C
c
a
O
D
b
d

11. Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

AB BC BD
2
A
B
C
D

12.

Задача№4:
Расстояние между основаниями двух высот ВМ и
BN ромба ABCD вдвое меньше диагонали BD.
Найдите углы ромба.
Первый случай:
Если угол В - тупой
1.Вокруг ABCD- можно описать окружность.
2. BD- диаметр
3.так как 2MN= BD=> MN=R(где R- радиус).
4.∆MON-равносторонний
Ответ: углы ромба равны 150° и 30°.

13.

Практическая часть: Решение задач с помощью метода
вспомогательной окружности.
Задача№1:
Дан прямоугольный треугольник АВС, С= 90°. На катете ВС выбрана
произвольная точка М. Из точки М проведён перпендикуляр МN на
гипотенузу АВ. Докажите, что ANC= AMC.

14.

Задача№2:
В прямоугольник ABCD вписан равносторонний треугольник АРК
так, что вершина К лежит на стороне ВС, а Р- на CD. КН- высота
этого треугольника. Докажите, что треугольник ВНС –
равносторонний.

15. Задача№3: Дан угол α с вершиной в точке А и точка М внутри угла. В и С- основания перпендикуляров, опущенных из точки М на стороны угла. МВ= a, М

Задача№3:
Дан угол α с вершиной в точке А и точка М внутри угла. В и Сперпендикуляров, опущенных из точки М на стороны угла.
основания
МВ= a, МС= b. Найдите АМ
1.Вокруг АВМС можно описать окружность;
В
3.АМ -диаметр
А
.
М
С
R
ВС
2 sin
BC a 2 b 2 2ab cos
R
a 2 b 2 2ab cos
2 sin
a 2 b 2 2ab * cos
AM 2R
sin

16.

Задача№4:
Расстояние между основаниями двух высот ВМ и BN ромба ABCD
вдвое меньше диагонали BD. Найдите углы ромба.
Первый случай:
Если угол В - тупой
1.Вокруг ABCD- можно описать окружность.
2. BD- диаметр
3.так как 2MN= BD=> MN=R(где R- радиус).
4.∆MON-равносторонний
Ответ: углы ромба равны 150° и 30°.

17.

Второй случай:
Второй случай:
Если угол В – тупой.
Если угол В – тупой.
Ответ: углы ромба равны 150° и 30°.

18.

Задача№5:
Определить площадь трапеции, у которой длины оснований равны
10 и 26, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.
1. вокруг ABCD можно описать окружность.
2. AD- диаметр; R=13
3.трапеция равнобедренная, т. к. вокруг неё
можно описать окружность.
HD= 26-18=8.
СН=
S тр. =
=12
=216

19.

Задача №7(теорема о квадрате биссектрисы):
Доказать, что квадрат биссектрисы равен разности произведений
сторон содержащих её, и отрезков стороны на которые делит
биссектриса сторону на которую падает.

20.

Задача№8(вспомогательная):
Дан треугольник АВС, СС1 перпендикулярна стороне АВ, АА1
перпендикулярна стороне ВС. Найти чему равен радиус?
R=
=

21.

Задача№6:
ABCD- параллелограмм, точка О лежит внутри параллелограмма,
так что угол AOD равен углу OCD. Доказать, что угол СВО равен
углу CDO.

22.

Задача№11(задача Брахмагупта):
Докажите справедливость формулы для треугольника АВС:
b*c=h*2R.

23.

Задача № 9:
В параллелограмме АВСD проведены высоты ВN и ВМ. Известно,
что МN=15, ВD=17. Найти расстояние от точки В до точки Н – точки
пересечения высот треугольника ВМN.
С
В
В
С
N1
М1
M
Н
M
А
N
D
А
N
D

24. “ Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума – это геометрия. Клетка геометрии – треугольник. Он так же неисчерпаем, как

и Вселенная.
Окружность – душа геометрии. Познайте
окружность, и вы не только познаете душу
геометрии, но и возвысите душу свою”.
И.Ф. Шарыгин
L/O/G/O
www.themegallery.com