Невозможно отобразить презентацию
ФизикаПохожие презентации:
Лекция 13. Магнетизм. Циркуляция вектора магнитной индукции
По аналогии с циркуляцией вектора напряженности электрического поля , циркуляцией вектора магнитной индукции по замкнутому контуруL называется величина (16) гдеdl - вектор элемента контура, направленный вдоль обхода контура, - проекция вектора магнитной индукции на элемент контураdl , - угол между векторами По аналогии с циркуляцией вектора напряженности электрического поля , циркуляцией вектора магнитной индукции по замкнутому контуруL называется величина (16) гдеdl - вектор элемента контура, направленный вдоль обхода контура, - проекция вектора магнитной индукции на элемент контураdl , - угол между векторами 8.
Циркуляция вектора магнитной индукцииrElLL BdlBdl= ∫∫r ÑÑcoslBBα=α.Bиdlr Найдем в качестве примера циркуляцию магнитного поля, создаваемого прямым током.
Выберем вокруг тока замкнутый контур, лежащий в плоскости перпендикулярной к току.
В каждой точке контура векторВ направлен по касательной к окружности c радиусомR и проходящей через эту точку.
Поэтому можем записать Найдем в качестве примера циркуляцию магнитного поля, создаваемого прямым током.
Выберем вокруг тока замкнутый контур, лежащий в плоскости перпендикулярной к току.
В каждой точке контура векторВ направлен по касательной к окружности c радиусомR и проходящей через эту точку.
Поэтому можем записать ()cos BdlBdlBRdα===r.BdlαLjdα Поскольку для прямого тока то Поэтому циркуляция вектораВ по замкнутому контуруL равна На контуреL угол меняется от0 до2, поэтому (17) Поскольку для прямого тока то Поэтому циркуляция вектораВ по замкнутому контуруL равна На контуреL угол меняется от0 до2, поэтому (17)02IBRµπ=0()2I Bdldµαπ=r0()2LLI Bdldµαπ= ∫∫r ÑÑ0()L BdlIµ=∫rÑ Знак циркуляции зависит от направления обхода.
Если направление обхода образует с направлением тока правовинтовую систему, то циркуляция считается положительной, иначе – отрицательной.
Знак циркуляции можно учесть, считая токI алгебраической величиной : ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода по правилу правого винта, иначе – ток отрицательный.
Формула (17) справедлива для контура произвольной формы.
Знак циркуляции зависит от направления обхода.
Если направление обхода образует с направлением тока правовинтовую систему, то циркуляция считается положительной, иначе – отрицательной.
Знак циркуляции можно учесть, считая токI алгебраической величиной : ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода по правилу правого винта, иначе – ток отрицательный.
Формула (17) справедлива для контура произвольной формы.
Если контур не охватывает ток, то при обходе по контуру радиальная прямая (см.
рисунок) сначала поворачивается против часовой стрелки (участок 1-2), а затем – по часовой стрелке (участок 2-1).
Поэтому на таком контуре угол не меняется значит и циркуляция вектораВ вдоль контураL равна нулю.
Если контур не охватывает ток, то при обходе по контуру радиальная прямая (см.
рисунок) сначала поворачивается против часовой стрелки (участок 1-2), а затем – по часовой стрелке (участок 2-1).
Поэтому на таком контуре угол не меняется значит и циркуляция вектораВ вдоль контураL равна нулю.Ldα.-dα.120Ldα=∫Ñ Если контур охватывает несколько токовIk, создающих магнитные поля с индукциямиBk , то в силу принципа суперпозиции полей имеем (18) Эта формула выражает собой закон полного тока (теорема о циркуляции вектора магнитной индукции в вакууме) - циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром.
При этом каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром.
Формула (18) справедлива только для поля в вакууме.
Если контур охватывает несколько токовIk, создающих магнитные поля с индукциямиBk , то в силу принципа суперпозиции полей имеем (18) Эта формула выражает собой закон полного тока (теорема о циркуляции вектора магнитной индукции в вакууме) - циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром.
При этом каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром.
Формула (18) справедлива только для поля в вакууме.00 ()()kkkLL BdlBdlII µµ=== ∑∑∑ ∫∫rr ÑÑ Если сравнить (18) с формулой для циркуляции вектора напряженности электрического поля то видим, что в отличие от электрического поля циркуляция магнитного поля по замкнутому контуру не равна нулю.
Если сравнить (18) с формулой для циркуляции вектора напряженности электрического поля то видим, что в отличие от электрического поля циркуляция магнитного поля по замкнутому контуру не равна нулю.0LEdl=∫rÑ 9.
Применение закона полного тока для расчета простейших магнитных полей.
9.
Применение закона полного тока для расчета простейших магнитных полей.
Найдем с помощью закона полного тока магнитное поле прямого тока.
Пусть токI выходит перпендикулярно из плоскости листа.
Выберем вокруг него замкнутый контур в виде окружности радиусаr .
Она является силовой линией магнитного поля.
В каждой точке окружности вектор магнитной индукцииВ имеет одно и тоже значение и направлен по касательной.
Найдем с помощью закона полного тока магнитное поле прямого тока.
Пусть токI выходит перпендикулярно из плоскости листа.
Выберем вокруг него замкнутый контур в виде окружности радиусаr .
Она является силовой линией магнитного поля.
В каждой точке окружности вектор магнитной индукцииВ имеет одно и тоже значение и направлен по касательной.
Поэтому циркуляция вектораВ вдоль окружности равна Согласно закону полного тока (18) эта циркуляция равна Отсюда получаем величину магнитной индукции прямого тока совпадающую с ранее выведенным выражением (6).
Поэтому циркуляция вектораВ вдоль окружности равна Согласно закону полного тока (18) эта циркуляция равна Отсюда получаем величину магнитной индукции прямого тока совпадающую с ранее выведенным выражением (6).*2lLLL BdlBdlBdlBrπ=== ∫∫∫r ÑÑÑ0*2BrI πµ=02IBrµπ= 10.
Поток вектора магнитной индукции.
Теорема Гаусса для магнитного поля.
10.
Поток вектора магнитной индукции.
Теорема Гаусса для магнитного поля.
Магнитным потоком через элементарную площадкуdS называется величина, равнаяBn – проекция вектора магнитной индукции на направление нормали.
Величина потокаdФВ равна числу силовых линийВ , пересекающих площадкуdS.
Магнитным потоком через элементарную площадкуdS называется величина, равнаяBn – проекция вектора магнитной индукции на направление нормали.
Величина потокаdФВ равна числу силовых линийВ , пересекающих площадкуdS.cosВnn dФВdSBdS dSndSBBα===rαnBdS Магнитный поток через произвольную поверхностьS равен (19) Если поверхностьS плоская и перпендикулярна вектору магнитной индукции, то поток равен Эта формула используется для определения единицы магнитного потока - вебера.
1 Вебер (Вб) – это поток магнитного поля с индукциейв 1 Тл , проходящий через плоскую единичную поверхность (площадью 1 м2 ), перпендикулярную к силовым линиям.
Магнитный поток через произвольную поверхностьS равен (19) Если поверхностьS плоская и перпендикулярна вектору магнитной индукции, то поток равен Эта формула используется для определения единицы магнитного потока - вебера.
1 Вебер (Вб) – это поток магнитного поля с индукциейв 1 Тл , проходящий через плоскую единичную поверхность (площадью 1 м2 ), перпендикулярную к силовым линиям.ВnSS ФВdSBdS== ∫∫r ÑÑВ ФBS= Поток вектораВ может быть как положительным, так и отрицательным.
Это зависит от выбора направления нормали к поверхностиn через знакcos.
Положительное направление нормали связывают с контуром, по которому течет ток, - нормаль определяется по правилу правого винта .
Поэтому магнитный поток, создаваемый контуром с током через поверхность, ограниченную самим контуром, положителен.
Поток вектораВ может быть как положительным, так и отрицательным.
Это зависит от выбора направления нормали к поверхностиn через знакcos.
Положительное направление нормали связывают с контуром, по которому течет ток, - нормаль определяется по правилу правого винта .
Поэтому магнитный поток, создаваемый контуром с током через поверхность, ограниченную самим контуром, положителен.
Вследствие отсутствия магнитных зарядов линии магнитной индукции не имеют ни начала ни конца.
Поэтому количества силовых линий входящих и выходящих через любую замкнутую поверхностьS равны друг другу.
Однако, знаки потоков, созданных входящими и выходящими силовыми линиями, противоположны, значит полный поток через такую поверхность равен нулю Теорема Гаусса для магнитной индукции (20) В отличие от магнитного потока, поток напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в общем случае не равен нулю – он пропорционален заряду внутри этой поверхностиq/0.
Вследствие отсутствия магнитных зарядов линии магнитной индукции не имеют ни начала ни конца.
Поэтому количества силовых линий входящих и выходящих через любую замкнутую поверхностьS равны друг другу.
Однако, знаки потоков, созданных входящими и выходящими силовыми линиями, противоположны, значит полный поток через такую поверхность равен нулю Теорема Гаусса для магнитной индукции (20) В отличие от магнитного потока, поток напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в общем случае не равен нулю – он пропорционален заряду внутри этой поверхностиq/0.0SBdS=∫rÑ Применим к формуле (20) теорему Остроградского- Гаусса – перейдем от поверхностного интеграла к объемному Данное равенство должно выполняться для любого объемаV , что может быть обеспечено, лишь если подинтегральная функция равна нулю в каждой точке пространства (21) Применим к формуле (20) теорему Остроградского- Гаусса – перейдем от поверхностного интеграла к объемному Данное равенство должно выполняться для любого объемаV , что может быть обеспечено, лишь если подинтегральная функция равна нулю в каждой точке пространства (21)0SV BdSdivBdV== ∫∫rrrÑ0 divB=r Пусть в пространстве токи текут непрерывно и описываются плотностью токаj .
Найдем циркуляцию магнитного поля по некоторому замкнутому контуруL.
Выберем поверхностьS , опирающуюся на этот контур.
Разобьем ее на элементарные площадкиdS .
Через каждую площадку течет элементарный ток, равный Пусть в пространстве токи текут непрерывно и описываются плотностью токаj .
Найдем циркуляцию магнитного поля по некоторому замкнутому контуруL.
Выберем поверхностьS , опирающуюся на этот контур.
Разобьем ее на элементарные площадкиdS .
Через каждую площадку течет элементарный ток, равный 11.
Ротор магнитного поля() dIjdS=r Циркуляция магнитного поля по всему замкнутому контуру пропорциональна сумме всех токов, охватываемых контуром, что сводится к интегралу Применим к левой части этого равенства теорему Стокса – перейдем от интеграла по контуру к интегралу по поверхности, натянутой на этот контур Циркуляция магнитного поля по всему замкнутому контуру пропорциональна сумме всех токов, охватываемых контуром, что сводится к интегралу Применим к левой части этого равенства теорему Стокса – перейдем от интеграла по контуру к интегралу по поверхности, натянутой на этот контур00LSS BdldIjdS µµ== ∫∫∫rÑ0[]LSS BdlBdSjdSµ =∇×= ∫∫∫rrrrrrrÑ Последнее равенство должно выполняться для любой поверхностиS , опирающейся на контурL , поэтому должны равняться и подинтегральные функции двух поверхностных интегралов (22) Таким образом, ротор магнитной индукции в некоторой точке пространства равен произведению магнитной постоянной на плотность тока в этой точке.
Поле, у которого ротор отличен от нуля называют вихревым или соленоидальным .
Поэтому магнитное поле – вихревое.
Последнее равенство должно выполняться для любой поверхностиS , опирающейся на контурL , поэтому должны равняться и подинтегральные функции двух поверхностных интегралов (22) Таким образом, ротор магнитной индукции в некоторой точке пространства равен произведению магнитной постоянной на плотность тока в этой точке.
Поле, у которого ротор отличен от нуля называют вихревым или соленоидальным .
Поэтому магнитное поле – вихревое.0[] BrotBjµ ∇×==rrrr 12.
Магнитное поле соленоида Соленоид – это провод, навитый на цилиндр.
По проводу течет токI .
Круговые токи витков создают магнитное поле, силовые линии которого внутри и вне соленоида направлены в разные стороны.
Чем соленоид длиннее, тем слабее магнитное поле вне его.
Покажем это.
Соленоид – это провод, навитый на цилиндр.
По проводу течет токI .
Круговые токи витков создают магнитное поле, силовые линии которого внутри и вне соленоида направлены в разные стороны.
Чем соленоид длиннее, тем слабее магнитное поле вне его.
Покажем это.
Рассмотрим два соседних витка соленоида.
Проведем плоскость, перпендикулярную оси соленоида и проходящую посередине между витками.
Суммарное магнитное поле в точках этой плоскости направлено вдоль оси соленоида.
Если сблизить витки, то нижняя точка пересечения силовых линий будет находится внутри соленоида, а верхняя точка – вне соленоида.
Поэтому у бесконечного соленоида вектор магнитной индукции в любой точке направлен параллельно оси, но в противоположные стороны внутри и вне соленоида.
Рассмотрим два соседних витка соленоида.
Проведем плоскость, перпендикулярную оси соленоида и проходящую посередине между витками.
Суммарное магнитное поле в точках этой плоскости направлено вдоль оси соленоида.
Если сблизить витки, то нижняя точка пересечения силовых линий будет находится внутри соленоида, а верхняя точка – вне соленоида.
Поэтому у бесконечного соленоида вектор магнитной индукции в любой точке направлен параллельно оси, но в противоположные стороны внутри и вне соленоида.
Покажем, что отсюда следует однородность магнитного поля бесконечного соленоида.
Рассмотрим сначала область внутри соленоида.
Выберем в ней замкнутый прямоугольный контур (1-2-3-4).
Участки (1-4) и (2-3) параллельны оси соленоида и имеют длинуа .
Обойдем контур по часовой стрелке.
В результате получим циркуляцию где учтено, что вклады от участков (1-2) и (3-4) равны нулю.
Покажем, что отсюда следует однородность магнитного поля бесконечного соленоида.
Рассмотрим сначала область внутри соленоида.
Выберем в ней замкнутый прямоугольный контур ( 1-2-3-4).
Участки (1-4 ) и (2-3) параллельны оси соленоида и имеют длинуа .
Обойдем контур по часовой стрелке.
В результате получим циркуляцию где учтено, что вклады от участков (1-2 ) и (3-4 ) равны нулю.21 1234() BdlBBa =−∫rÑ Контур (1-2-3-4) не охватывает токов, поэтому циркуляция вдоль него равна нулю, откуда Так как стороны контура можно выбирать произвольно, то магнитное поле в любой точке внутри соленоида одно и тоже, то есть оно однородно.
Теперь рассмотрим контур (1´- 2´- 3´- 4´) вне соленоида.
Этот контур тоже не охватывает токов, поэтому Из произвольности сторон контура (1´- 2´- 3´- 4´) опять следует однородность магнитного поля вне соленоида.
Контур ( 1-2-3-4 ) не охватывает токов, поэтому циркуляция вдоль него равна нулю, откуда Так как стороны контура можно выбирать произвольно, то магнитное поле в любой точке внутри соленоида одно и тоже, то есть оно однородно.
Теперь рассмотрим контур (1´- 2´- 3´- 4´) вне соленоида.
Этот контур тоже не охватывает токов, поэтому Из произвольности сторон контура (1´- 2´- 3´- 4´) опять следует однородность магнитного поля вне соленоида.21BB=rr''12BB=rr Теперь найдем циркуляцию магнитной индукции по прямоугольному контуру АВСD (на первом рисунке), одна часть которого находится внутри соленоида, а другая – вне его.
Пусть этот контур охватываетN витков.
Тогда магнитная циркуляция вдоль него равна гдеа – длина сторон ВС и АD.
Разделив наN , получаем (23) где n = N/a – число витков на единицу длины соленоида.
Теперь найдем циркуляцию магнитной индукции по прямоугольному контуру АВСD (на первом рисунке), одна часть которого находится внутри соленоида, а другая – вне его.
Пусть этот контур охватываетN витков.
Тогда магнитная циркуляция вдоль него равна гдеа – длина сторон ВС иАD .
Разделив наN , получаем (23) где n = N/a – число витков на единицу длины соленоида.0(') ABCD BdlBBaNIµ=+=∫rÑ0' BBnIµ+= Из формулы (23) следует, что магнитная индукция имеет конечные значения как внутри, так и вне соленоида.
Проведем плоскость, перпендикулярную оси соленоида.
В ней выделим круговое сечение соленоидаS и окружающую поверхностьS´.
Поскольку силовые линии магнитной индукции замкнуты, то магнитный поток через всю плоскость ( S + S´ ) равен нулю.
Из формулы (23 ) следует, что магнитная индукция имеет конечные значения как внутри, так и вне соленоида.
Проведем плоскость, перпендикулярную оси соленоида.
В ней выделим круговое сечение соленоидаS и окружающую поверхностьS´.
Поскольку силовые линии магнитной индукции замкнуты, то магнитный поток через всю плоскость ( S + S´ ) равен нулю.
С другой стороны полный поток равен сумме потоков черезS иS´ Знак минус связан с противоположным направлением магнитных полей внутриB и вне соленоидаB´ .
Таким образом, получаем В левой части этого равенства оба сомножителя конечны, тогда как в правой части площадьS´ бесконечно большая.
Чтобы равенство удовлетворялось необходимо потребовать, чтобы B´ = 0.
С другой стороны полный поток равен сумме потоков черезS иS´ Знак минус связан с противоположным направлением магнитных полей внутриB и вне соленоидаB´ .
Таким образом, получаем В левой части этого равенства оба сомножителя конечны, тогда как в правой части площадьS´ бесконечно большая.
Чтобы равенство удовлетворялось необходимо потребовать, чтобы B´ = 0.' ''''0BSS ФBdSBdSBSBS =+=−= ∫∫rr'' BSBS= Подставляя B´ = 0 в формулу (23), получаем выражение для магнитной индукции внутри бесконечного соленоида (24) Магнитный поток через один виток равенФв = ВS Полный потокФс через все витки соленоида естьФс = Фв N = ВSN (25) Подставляя B´ = 0 в формулу (23), получаем выражение для магнитной индукции внутри бесконечного соленоида (24) Магнитный поток через один виток равенФв = ВS Полный потокФс через все витки соленоида естьФс = Фв N = ВSN (25)0BnIµ= 13.
Контур с током в магнитном поле.
Если в магнитное поле поместить не закрепленный проводник с током, то под действием силы Ампера проводник будет перемещаться.
Значит, магнитное поле совершает над ним работу.
Найдем выражение для работы.
Пусть в прямоугольном контуре с токомI одна из сторон (перемычка) длинойl может свободно передвигаться.
Ток вызван - ЭДС.
ИндукцияВ и нормаль n направлены в лист.
Если в магнитное поле поместить не закрепленный проводник с током, то под действием силы Ампера проводник будет перемещаться.
Значит, магнитное поле совершает над ним работу.
Найдем выражение для работы.
Пусть в прямоугольном контуре с токомI одна из сторон (перемычка) длинойl может свободно передвигаться.
Ток вызван - ЭДС.
ИндукцияВ и нормаль n направлены в лист.
На подвижную перемычку действует сила Ампера F = IBl вызывающая ее перемещение на некоторое расстояние dh.
На этом пути сила Ампера совершает работу dA = Fdh = Ibldh = IBdS = IdФ (26) Следовательно, работа магнитного поля по перемещению проводника с током равна произведению силы тока на магнитный поток через площадь, пересеченную проводником.
На подвижную перемычку действует сила Ампера F = IBl вызывающая ее перемещение на некоторое расстояниеdh.
На этом пути сила Ампера совершает работу dA = Fdh = Ibldh = IBdS = IdФ (26) Следовательно, работа магнитного поля по перемещению проводника с током равна произведению силы тока на магнитный поток через площадь, пересеченную проводником.
Теперь найдем работу по перемещению замкнутого контура с постоянным токомI в магнитном поле с индукциейB .
Пусть контур лежит в плоскости листа и перемещается по действием силы Ампера на малое расстояние.
Вектор магнитной индукции входит в лист.
Теперь найдем работу по перемещению замкнутого контура с постоянным токомI в магнитном поле с индукциейB .
Пусть контур лежит в плоскости листа и перемещается по действием силы Ампера на малое расстояние.
Вектор магнитной индукции входит в лист.
Разобьем контур на два проводника (АВС) и (СДА), соединенных своими концами.
Тогда работа силы Ампера по перемещению контура равна сумме работ по перемещению этих двух проводников Разобьем контур на два проводника ( АВС ) и ( СДА), соединенных своими концами.
Тогда работа силы Ампера
Циркуляция вектора магнитной индукцииrElLL BdlBdl= ∫∫r ÑÑcoslBBα=α.Bиdlr Найдем в качестве примера циркуляцию магнитного поля, создаваемого прямым током.
Выберем вокруг тока замкнутый контур, лежащий в плоскости перпендикулярной к току.
В каждой точке контура векторВ направлен по касательной к окружности c радиусомR и проходящей через эту точку.
Поэтому можем записать Найдем в качестве примера циркуляцию магнитного поля, создаваемого прямым током.
Выберем вокруг тока замкнутый контур, лежащий в плоскости перпендикулярной к току.
В каждой точке контура векторВ направлен по касательной к окружности c радиусомR и проходящей через эту точку.
Поэтому можем записать ()cos BdlBdlBRdα===r.BdlαLjdα Поскольку для прямого тока то Поэтому циркуляция вектораВ по замкнутому контуруL равна На контуреL угол меняется от0 до2, поэтому (17) Поскольку для прямого тока то Поэтому циркуляция вектораВ по замкнутому контуруL равна На контуреL угол меняется от0 до2, поэтому (17)02IBRµπ=0()2I Bdldµαπ=r0()2LLI Bdldµαπ= ∫∫r ÑÑ0()L BdlIµ=∫rÑ Знак циркуляции зависит от направления обхода.
Если направление обхода образует с направлением тока правовинтовую систему, то циркуляция считается положительной, иначе – отрицательной.
Знак циркуляции можно учесть, считая токI алгебраической величиной : ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода по правилу правого винта, иначе – ток отрицательный.
Формула (17) справедлива для контура произвольной формы.
Знак циркуляции зависит от направления обхода.
Если направление обхода образует с направлением тока правовинтовую систему, то циркуляция считается положительной, иначе – отрицательной.
Знак циркуляции можно учесть, считая токI алгебраической величиной : ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода по правилу правого винта, иначе – ток отрицательный.
Формула (17) справедлива для контура произвольной формы.
Если контур не охватывает ток, то при обходе по контуру радиальная прямая (см.
рисунок) сначала поворачивается против часовой стрелки (участок 1-2), а затем – по часовой стрелке (участок 2-1).
Поэтому на таком контуре угол не меняется значит и циркуляция вектораВ вдоль контураL равна нулю.
Если контур не охватывает ток, то при обходе по контуру радиальная прямая (см.
рисунок) сначала поворачивается против часовой стрелки (участок 1-2), а затем – по часовой стрелке (участок 2-1).
Поэтому на таком контуре угол не меняется значит и циркуляция вектораВ вдоль контураL равна нулю.Ldα.-dα.120Ldα=∫Ñ Если контур охватывает несколько токовIk, создающих магнитные поля с индукциямиBk , то в силу принципа суперпозиции полей имеем (18) Эта формула выражает собой закон полного тока (теорема о циркуляции вектора магнитной индукции в вакууме) - циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром.
При этом каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром.
Формула (18) справедлива только для поля в вакууме.
Если контур охватывает несколько токовIk, создающих магнитные поля с индукциямиBk , то в силу принципа суперпозиции полей имеем (18) Эта формула выражает собой закон полного тока (теорема о циркуляции вектора магнитной индукции в вакууме) - циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром.
При этом каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром.
Формула (18) справедлива только для поля в вакууме.00 ()()kkkLL BdlBdlII µµ=== ∑∑∑ ∫∫rr ÑÑ Если сравнить (18) с формулой для циркуляции вектора напряженности электрического поля то видим, что в отличие от электрического поля циркуляция магнитного поля по замкнутому контуру не равна нулю.
Если сравнить (18) с формулой для циркуляции вектора напряженности электрического поля то видим, что в отличие от электрического поля циркуляция магнитного поля по замкнутому контуру не равна нулю.0LEdl=∫rÑ 9.
Применение закона полного тока для расчета простейших магнитных полей.
9.
Применение закона полного тока для расчета простейших магнитных полей.
Найдем с помощью закона полного тока магнитное поле прямого тока.
Пусть токI выходит перпендикулярно из плоскости листа.
Выберем вокруг него замкнутый контур в виде окружности радиусаr .
Она является силовой линией магнитного поля.
В каждой точке окружности вектор магнитной индукцииВ имеет одно и тоже значение и направлен по касательной.
Найдем с помощью закона полного тока магнитное поле прямого тока.
Пусть токI выходит перпендикулярно из плоскости листа.
Выберем вокруг него замкнутый контур в виде окружности радиусаr .
Она является силовой линией магнитного поля.
В каждой точке окружности вектор магнитной индукцииВ имеет одно и тоже значение и направлен по касательной.
Поэтому циркуляция вектораВ вдоль окружности равна Согласно закону полного тока (18) эта циркуляция равна Отсюда получаем величину магнитной индукции прямого тока совпадающую с ранее выведенным выражением (6).
Поэтому циркуляция вектораВ вдоль окружности равна Согласно закону полного тока (18) эта циркуляция равна Отсюда получаем величину магнитной индукции прямого тока совпадающую с ранее выведенным выражением (6).*2lLLL BdlBdlBdlBrπ=== ∫∫∫r ÑÑÑ0*2BrI πµ=02IBrµπ= 10.
Поток вектора магнитной индукции.
Теорема Гаусса для магнитного поля.
10.
Поток вектора магнитной индукции.
Теорема Гаусса для магнитного поля.
Магнитным потоком через элементарную площадкуdS называется величина, равнаяBn – проекция вектора магнитной индукции на направление нормали.
Величина потокаdФВ равна числу силовых линийВ , пересекающих площадкуdS.
Магнитным потоком через элементарную площадкуdS называется величина, равнаяBn – проекция вектора магнитной индукции на направление нормали.
Величина потокаdФВ равна числу силовых линийВ , пересекающих площадкуdS.cosВnn dФВdSBdS dSndSBBα===rαnBdS Магнитный поток через произвольную поверхностьS равен (19) Если поверхностьS плоская и перпендикулярна вектору магнитной индукции, то поток равен Эта формула используется для определения единицы магнитного потока - вебера.
1 Вебер (Вб) – это поток магнитного поля с индукциейв 1 Тл , проходящий через плоскую единичную поверхность (площадью 1 м2 ), перпендикулярную к силовым линиям.
Магнитный поток через произвольную поверхностьS равен (19) Если поверхностьS плоская и перпендикулярна вектору магнитной индукции, то поток равен Эта формула используется для определения единицы магнитного потока - вебера.
1 Вебер (Вб) – это поток магнитного поля с индукциейв 1 Тл , проходящий через плоскую единичную поверхность (площадью 1 м2 ), перпендикулярную к силовым линиям.ВnSS ФВdSBdS== ∫∫r ÑÑВ ФBS= Поток вектораВ может быть как положительным, так и отрицательным.
Это зависит от выбора направления нормали к поверхностиn через знакcos.
Положительное направление нормали связывают с контуром, по которому течет ток, - нормаль определяется по правилу правого винта .
Поэтому магнитный поток, создаваемый контуром с током через поверхность, ограниченную самим контуром, положителен.
Поток вектораВ может быть как положительным, так и отрицательным.
Это зависит от выбора направления нормали к поверхностиn через знакcos.
Положительное направление нормали связывают с контуром, по которому течет ток, - нормаль определяется по правилу правого винта .
Поэтому магнитный поток, создаваемый контуром с током через поверхность, ограниченную самим контуром, положителен.
Вследствие отсутствия магнитных зарядов линии магнитной индукции не имеют ни начала ни конца.
Поэтому количества силовых линий входящих и выходящих через любую замкнутую поверхностьS равны друг другу.
Однако, знаки потоков, созданных входящими и выходящими силовыми линиями, противоположны, значит полный поток через такую поверхность равен нулю Теорема Гаусса для магнитной индукции (20) В отличие от магнитного потока, поток напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в общем случае не равен нулю – он пропорционален заряду внутри этой поверхностиq/0.
Вследствие отсутствия магнитных зарядов линии магнитной индукции не имеют ни начала ни конца.
Поэтому количества силовых линий входящих и выходящих через любую замкнутую поверхностьS равны друг другу.
Однако, знаки потоков, созданных входящими и выходящими силовыми линиями, противоположны, значит полный поток через такую поверхность равен нулю Теорема Гаусса для магнитной индукции (20) В отличие от магнитного потока, поток напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в общем случае не равен нулю – он пропорционален заряду внутри этой поверхностиq/0.0SBdS=∫rÑ Применим к формуле (20) теорему Остроградского- Гаусса – перейдем от поверхностного интеграла к объемному Данное равенство должно выполняться для любого объемаV , что может быть обеспечено, лишь если подинтегральная функция равна нулю в каждой точке пространства (21) Применим к формуле (20) теорему Остроградского- Гаусса – перейдем от поверхностного интеграла к объемному Данное равенство должно выполняться для любого объемаV , что может быть обеспечено, лишь если подинтегральная функция равна нулю в каждой точке пространства (21)0SV BdSdivBdV== ∫∫rrrÑ0 divB=r Пусть в пространстве токи текут непрерывно и описываются плотностью токаj .
Найдем циркуляцию магнитного поля по некоторому замкнутому контуруL.
Выберем поверхностьS , опирающуюся на этот контур.
Разобьем ее на элементарные площадкиdS .
Через каждую площадку течет элементарный ток, равный Пусть в пространстве токи текут непрерывно и описываются плотностью токаj .
Найдем циркуляцию магнитного поля по некоторому замкнутому контуруL.
Выберем поверхностьS , опирающуюся на этот контур.
Разобьем ее на элементарные площадкиdS .
Через каждую площадку течет элементарный ток, равный 11.
Ротор магнитного поля() dIjdS=r Циркуляция магнитного поля по всему замкнутому контуру пропорциональна сумме всех токов, охватываемых контуром, что сводится к интегралу Применим к левой части этого равенства теорему Стокса – перейдем от интеграла по контуру к интегралу по поверхности, натянутой на этот контур Циркуляция магнитного поля по всему замкнутому контуру пропорциональна сумме всех токов, охватываемых контуром, что сводится к интегралу Применим к левой части этого равенства теорему Стокса – перейдем от интеграла по контуру к интегралу по поверхности, натянутой на этот контур00LSS BdldIjdS µµ== ∫∫∫rÑ0[]LSS BdlBdSjdSµ =∇×= ∫∫∫rrrrrrrÑ Последнее равенство должно выполняться для любой поверхностиS , опирающейся на контурL , поэтому должны равняться и подинтегральные функции двух поверхностных интегралов (22) Таким образом, ротор магнитной индукции в некоторой точке пространства равен произведению магнитной постоянной на плотность тока в этой точке.
Поле, у которого ротор отличен от нуля называют вихревым или соленоидальным .
Поэтому магнитное поле – вихревое.
Последнее равенство должно выполняться для любой поверхностиS , опирающейся на контурL , поэтому должны равняться и подинтегральные функции двух поверхностных интегралов (22) Таким образом, ротор магнитной индукции в некоторой точке пространства равен произведению магнитной постоянной на плотность тока в этой точке.
Поле, у которого ротор отличен от нуля называют вихревым или соленоидальным .
Поэтому магнитное поле – вихревое.0[] BrotBjµ ∇×==rrrr 12.
Магнитное поле соленоида Соленоид – это провод, навитый на цилиндр.
По проводу течет токI .
Круговые токи витков создают магнитное поле, силовые линии которого внутри и вне соленоида направлены в разные стороны.
Чем соленоид длиннее, тем слабее магнитное поле вне его.
Покажем это.
Соленоид – это провод, навитый на цилиндр.
По проводу течет токI .
Круговые токи витков создают магнитное поле, силовые линии которого внутри и вне соленоида направлены в разные стороны.
Чем соленоид длиннее, тем слабее магнитное поле вне его.
Покажем это.
Рассмотрим два соседних витка соленоида.
Проведем плоскость, перпендикулярную оси соленоида и проходящую посередине между витками.
Суммарное магнитное поле в точках этой плоскости направлено вдоль оси соленоида.
Если сблизить витки, то нижняя точка пересечения силовых линий будет находится внутри соленоида, а верхняя точка – вне соленоида.
Поэтому у бесконечного соленоида вектор магнитной индукции в любой точке направлен параллельно оси, но в противоположные стороны внутри и вне соленоида.
Рассмотрим два соседних витка соленоида.
Проведем плоскость, перпендикулярную оси соленоида и проходящую посередине между витками.
Суммарное магнитное поле в точках этой плоскости направлено вдоль оси соленоида.
Если сблизить витки, то нижняя точка пересечения силовых линий будет находится внутри соленоида, а верхняя точка – вне соленоида.
Поэтому у бесконечного соленоида вектор магнитной индукции в любой точке направлен параллельно оси, но в противоположные стороны внутри и вне соленоида.
Покажем, что отсюда следует однородность магнитного поля бесконечного соленоида.
Рассмотрим сначала область внутри соленоида.
Выберем в ней замкнутый прямоугольный контур (1-2-3-4).
Участки (1-4) и (2-3) параллельны оси соленоида и имеют длинуа .
Обойдем контур по часовой стрелке.
В результате получим циркуляцию где учтено, что вклады от участков (1-2) и (3-4) равны нулю.
Покажем, что отсюда следует однородность магнитного поля бесконечного соленоида.
Рассмотрим сначала область внутри соленоида.
Выберем в ней замкнутый прямоугольный контур ( 1-2-3-4).
Участки (1-4 ) и (2-3) параллельны оси соленоида и имеют длинуа .
Обойдем контур по часовой стрелке.
В результате получим циркуляцию где учтено, что вклады от участков (1-2 ) и (3-4 ) равны нулю.21 1234() BdlBBa =−∫rÑ Контур (1-2-3-4) не охватывает токов, поэтому циркуляция вдоль него равна нулю, откуда Так как стороны контура можно выбирать произвольно, то магнитное поле в любой точке внутри соленоида одно и тоже, то есть оно однородно.
Теперь рассмотрим контур (1´- 2´- 3´- 4´) вне соленоида.
Этот контур тоже не охватывает токов, поэтому Из произвольности сторон контура (1´- 2´- 3´- 4´) опять следует однородность магнитного поля вне соленоида.
Контур ( 1-2-3-4 ) не охватывает токов, поэтому циркуляция вдоль него равна нулю, откуда Так как стороны контура можно выбирать произвольно, то магнитное поле в любой точке внутри соленоида одно и тоже, то есть оно однородно.
Теперь рассмотрим контур (1´- 2´- 3´- 4´) вне соленоида.
Этот контур тоже не охватывает токов, поэтому Из произвольности сторон контура (1´- 2´- 3´- 4´) опять следует однородность магнитного поля вне соленоида.21BB=rr''12BB=rr Теперь найдем циркуляцию магнитной индукции по прямоугольному контуру АВСD (на первом рисунке), одна часть которого находится внутри соленоида, а другая – вне его.
Пусть этот контур охватываетN витков.
Тогда магнитная циркуляция вдоль него равна гдеа – длина сторон ВС и АD.
Разделив наN , получаем (23) где n = N/a – число витков на единицу длины соленоида.
Теперь найдем циркуляцию магнитной индукции по прямоугольному контуру АВСD (на первом рисунке), одна часть которого находится внутри соленоида, а другая – вне его.
Пусть этот контур охватываетN витков.
Тогда магнитная циркуляция вдоль него равна гдеа – длина сторон ВС иАD .
Разделив наN , получаем (23) где n = N/a – число витков на единицу длины соленоида.0(') ABCD BdlBBaNIµ=+=∫rÑ0' BBnIµ+= Из формулы (23) следует, что магнитная индукция имеет конечные значения как внутри, так и вне соленоида.
Проведем плоскость, перпендикулярную оси соленоида.
В ней выделим круговое сечение соленоидаS и окружающую поверхностьS´.
Поскольку силовые линии магнитной индукции замкнуты, то магнитный поток через всю плоскость ( S + S´ ) равен нулю.
Из формулы (23 ) следует, что магнитная индукция имеет конечные значения как внутри, так и вне соленоида.
Проведем плоскость, перпендикулярную оси соленоида.
В ней выделим круговое сечение соленоидаS и окружающую поверхностьS´.
Поскольку силовые линии магнитной индукции замкнуты, то магнитный поток через всю плоскость ( S + S´ ) равен нулю.
С другой стороны полный поток равен сумме потоков черезS иS´ Знак минус связан с противоположным направлением магнитных полей внутриB и вне соленоидаB´ .
Таким образом, получаем В левой части этого равенства оба сомножителя конечны, тогда как в правой части площадьS´ бесконечно большая.
Чтобы равенство удовлетворялось необходимо потребовать, чтобы B´ = 0.
С другой стороны полный поток равен сумме потоков черезS иS´ Знак минус связан с противоположным направлением магнитных полей внутриB и вне соленоидаB´ .
Таким образом, получаем В левой части этого равенства оба сомножителя конечны, тогда как в правой части площадьS´ бесконечно большая.
Чтобы равенство удовлетворялось необходимо потребовать, чтобы B´ = 0.' ''''0BSS ФBdSBdSBSBS =+=−= ∫∫rr'' BSBS= Подставляя B´ = 0 в формулу (23), получаем выражение для магнитной индукции внутри бесконечного соленоида (24) Магнитный поток через один виток равенФв = ВS Полный потокФс через все витки соленоида естьФс = Фв N = ВSN (25) Подставляя B´ = 0 в формулу (23), получаем выражение для магнитной индукции внутри бесконечного соленоида (24) Магнитный поток через один виток равенФв = ВS Полный потокФс через все витки соленоида естьФс = Фв N = ВSN (25)0BnIµ= 13.
Контур с током в магнитном поле.
Если в магнитное поле поместить не закрепленный проводник с током, то под действием силы Ампера проводник будет перемещаться.
Значит, магнитное поле совершает над ним работу.
Найдем выражение для работы.
Пусть в прямоугольном контуре с токомI одна из сторон (перемычка) длинойl может свободно передвигаться.
Ток вызван - ЭДС.
ИндукцияВ и нормаль n направлены в лист.
Если в магнитное поле поместить не закрепленный проводник с током, то под действием силы Ампера проводник будет перемещаться.
Значит, магнитное поле совершает над ним работу.
Найдем выражение для работы.
Пусть в прямоугольном контуре с токомI одна из сторон (перемычка) длинойl может свободно передвигаться.
Ток вызван - ЭДС.
ИндукцияВ и нормаль n направлены в лист.
На подвижную перемычку действует сила Ампера F = IBl вызывающая ее перемещение на некоторое расстояние dh.
На этом пути сила Ампера совершает работу dA = Fdh = Ibldh = IBdS = IdФ (26) Следовательно, работа магнитного поля по перемещению проводника с током равна произведению силы тока на магнитный поток через площадь, пересеченную проводником.
На подвижную перемычку действует сила Ампера F = IBl вызывающая ее перемещение на некоторое расстояниеdh.
На этом пути сила Ампера совершает работу dA = Fdh = Ibldh = IBdS = IdФ (26) Следовательно, работа магнитного поля по перемещению проводника с током равна произведению силы тока на магнитный поток через площадь, пересеченную проводником.
Теперь найдем работу по перемещению замкнутого контура с постоянным токомI в магнитном поле с индукциейB .
Пусть контур лежит в плоскости листа и перемещается по действием силы Ампера на малое расстояние.
Вектор магнитной индукции входит в лист.
Теперь найдем работу по перемещению замкнутого контура с постоянным токомI в магнитном поле с индукциейB .
Пусть контур лежит в плоскости листа и перемещается по действием силы Ампера на малое расстояние.
Вектор магнитной индукции входит в лист.
Разобьем контур на два проводника (АВС) и (СДА), соединенных своими концами.
Тогда работа силы Ампера по перемещению контура равна сумме работ по перемещению этих двух проводников Разобьем контур на два проводника ( АВС ) и ( СДА), соединенных своими концами.
Тогда работа силы Ампера