Алгоритм умножения

1. Алгоритм умножения

2 курс
лекция №3

2. Определение операции умножения

Если a,b-целые неотрицательные числа, то произведением
называется число, удовлетворяющее следующим условиям:
1)
a b a
a
a
a
...
a, еслиb 1
b раз
2)
3)
a b a, еслиb 1
a b 0, еслиb 0
a b

3. Умножение однозначных чисел можно выполнить , основываясь на определении

• При умножении многозначных чисел
смысл умножения сохраняется, но
меняется техника вычислений.
• При умножении многозначных чисел
используют правило умножения
многозначного числа на однозначное.
(правило умножения суммы на число)

4. Например :

428∙3=(400+20+8) ∙3=
=400 ∙3+20 ∙3+8 ∙3=1200+60+24=
=(1000+200)+60+(20+4)=
∙
=1000+200+(60+20)+4=
=1000+200+80+4=
=1284

5.

• Согласно записи чисел в десятичной
системе счисления, 428 = 4 10 2 2 10 8
2
• 428∙3= (4 10 2 10 8) 3
2
• = 4 10 3 2 10 3 8 3
2
• = 12 10 6 10 24
При умножении 428 на 3 используется
ассоциативный закон умножения,
дистрибутивный и коммутативный

6.

• Сейчас коэффициенты: 12 и 24 больше
10, поэтому полученный результат не
является десятичной записью числа
• Преобразуем полученный результат:
(10 2) 10 6 10 2 10 4
2

7.

• На основании ассоциативного,
коммутативного законов сложения и
дистрибутивного закона умножения
относительно сложения, получаем:
1 10 2 10 (6 2) 10 4
3
2
1 10 2 10 8 10 4
3
2

8.

В практике используется запись в столбик
428
263
01284
25680
85600
112564

9.

• Для получения ответа нам пришлось
умножать 428 на 3, на 6, на 2.
• Умножая на 3, мы получаем единицы;
• Умножая на 6 (д), мы получаем десятки;
• Умножая на 2 (с), мы получаем сотни.
• Записываем разряд под разрядом.

10.

Умножение многозначного числа на
однозначное основывается на знаниях
(фактах):
1. Записи чисел в десятичной системе
счисления;
2. Свойствах сложения и умножения;
3. Таблицы сложения и умножения
однозначных чисел.

11. Правило умножения многозначного числа на однозначное в общем виде

Пусть
x a n 10 a n 1 10
n
n 1
a n 2 10
y-однозначное число.
n 2
... a1 10 a0

12.

Тогда, имеем
n
n 1
n 2
(
a
10
a
10
a
10
... a1 10 a0 ) y
• x·y = n
n 1
n 2

13.

• Применив основные свойства умножения
получаем,
(an y)10n (an 1 y)10n 1 (an 2 y)10n 2 ... (a1 y)10 a0 y
Заменим все произведения,
ak y
где 0 ≤ k ≤ n
Если они больше или равны 10
Соответствующими значениями
ak y bk 10 c

14.

• Получаем:
• x·y= bn 10 cn 10 n bn 1 10 cn 1 10 n 1 ...
b1 10 c1 10 b0 10 c0
=
bn 10
n 1
cn bn 1 10 ... c1 b0 10 c0
n

15.

• Суммы
c k bk 1 ,
где
0≤k≤n
Заменим ее значением.
И это значение запишем в ответ.

16. Алгоритм умножения многозначного числа на однозначное

1.
Записываем второй множитель под первым;
2.
Умножаем цифру разряда единиц числа х на число
у. Если произведение меньше 10, его записываем
в разряд единиц ответа и переходим к следующему
разряду(десятков)

17.

3. Если произведение цифры единиц числа х на
число у больше, или равно10, то
представляем его в виде 10 g1 c0
где
c0
- есть однозначное число.
Записываем
и запоминаем
g1
c0
в разряд единиц ответа
-перенос в следующий разряд

18.

4. Умножаем цифру разряда десятков на число
у, прибавляем к полученному произведению
число g 1
И повторяем процесс, описанный в пункте 2 и 3

19.

5. Процесс умножения заканчивается,
когда окажется умноженной цифра
старшего разряда.
Замечание:
Умножение числа x на 10 n
Сводится к приписыванию к десятичной записи
числа x n нулей справа

20. Умножение многозначного на многозначное число

428·263=428·(200+60+3)=
=428·200+428·60+428·3=
=428·(2·100) +428·(6·10)+428 ·3=
=(428 ·2) ·100+(428 ·6) ·10+428 ·3
Умножение многозначного на
многозначное свелось к умножению
многозначного на однозначное
число.

21. Основой выполнения преобразований являются:

• Представление каждого множителя в
виде суммы разрядных слагаемых
( запись числа в десятичной системе)
• Правило умножения суммы на число
(дистрибутивность умножения
относительно сложения)
• Законы сложения
• Умножение круглых чисел

22. Алгоритм умножения числа на число

____________
Алгоритм умножения
x an an 1...a1a0
____________числа
на число у bnbn 1...b1b0
1. Записываем второе число под первым
2. Умножаем число х на младший разряд
b0 числа у и записываем произведение
x b0
под числом у

23.

3. Умножаем число x на следующий
разряд b1 числа у,
Записываем результат,
но со сдвигом на один разряд влево,
что соответствует умножению
на 10
x b1

24.

4. Продолжаем вычисление
произведений до вычисления x bk
5. Полученные k+1 произведение
складываем.

25.

Спасибо за внимание