Решение задач по комбинаторике

1.

ГОУ СОШ №367
Учитель: Дьяченко И.П.

2.

Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова
«combina», что в переводе на русский означает – «сочетать»,
«соединять».
Комбинаторика раздел математики, посвящённый решению
задач выбора и расположения элементов в соответствии с
данными условиями.
Комбинаторика математический раздел, изучающий
вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных
тем или иным условиям, можно составить из заданных
объектов.
Комбинаторика раздел математики, который изучает
множества (перестановки, размещения, сочетания и
перечисление элементов) и отношения на них.
Комбинаторика занимается различного рода соединениями,
которые можно образовать из элементов некоторого
конечного множества.

3.

Комбинаторика - важный раздел
математики, знание которого
необходимо представителям самых
разных специальностей. С
комбинаторными задачами приходится
иметь дело физикам, химикам,
биологам, лингвистам, криптографам и
другим специалистам. Комбинаторные
методы лежат в основе решения многих
задач теории вероятностей и ее
приложений.

4.

Комбинаторные соединения — это такие
комбинации из каких-либо элементов.
Типы соединений:
Перестановки
Размещения
Сочетания
Существуют две схемы выбора
элементов:
Без повторений
С повторениями

5. ФАКТОРИАЛ ЧИСЛА

Факториал числа — это произведение всех
натуральных чисел до этого числа
включительно.
Обозначается с восклицательным знаком в
конце.
n! = 1 · 2 · 3 · 4 · … · (n-2) · (n-1) · n
Случай 0! определен и имеет значение 0!=1,
соответствующее комбинаторной
интерпретации комбинации нуля объектов,
другими словами, есть единственная
комбинация нуля элементов, а именно: пустое
множество.

6. Значения факториалов от 0 до 10.

0! = 1
1! = 1
2! = 1 · 2 = 2
3! = 1 · 2 · 3 = 6
4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24
5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120
6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720
7! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 5040
8! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 40320
9! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 = 362880
10! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 =
3628800

7.

Свойство факториала:
(n + 1)! = (n + 1) · n!
Например:
(5 + 1)! = (5 + 1) · 5!
Действительно
6! = (1 · 2 · 3 · 4 · 5) · 6 = 720
А значение (1 · 2 · 3 · 4 · 5) = 5! = 120

8. Задача

Сколькими способами могут восемь человек
стать в очередь к театральной кассе?
Решение.
Существует 8 мест, которые должны занять 8 человек. На
первое место может стать любой из 8 человек, т.е. способов
занять первое место – 8. После того, как один человек стал на
первое место, осталось 7 мест и 7 человек, которые могут
быть на них размещены, т.е. способов занять второе место –
семь. Аналогично для третьего, четвертого и т.д. места.
Используя принцип умножения, получаем произведение
8*7*6*5*4*3*2*1. Такое произведение обозначается как 8!
(читается 8 факториал) и называется перестановкой P8.

9. ПЕРЕСТАНОВКИ

Перестановки без повторений —
комбинаторные соединения,
которые могут отличаться друг от друга
лишь порядком входящих в них
элементов.
формула для нахождения количества
перестановок без повторений:

10. Задача

Сколько четырёхзначных чисел можно
записать с помощью цифр 1,2,3,4, если
каждая цифра входит в число только
один раз?
• Решение.
Pn = 4! = 1*2*3*4 = 24

11. Примеры

1. Сколькими способами можно переставлять
друг с другом цифры 1,2,3,4?
2. За столом 5 мест. Сколькими способами
можно рассадить пятерых детей?
3. У Лены есть 8 разных красок. Она хочет
написать ими слова “Новый Год”.
Сколькими способами она может это
сделать, если каждая буква должна быть
раскрашена одним цветом и все 8 букв
должны быть разными по цвету?

12.

Перестановки с повторениями —
комбинаторные соединения, в которых среди
образующих элементов имеются одинаковые.
В таких соединениях участвуют несколько
типов объектов, причём имеется некоторое
количество объектов каждого типа. Поэтому в
выборках встречаются одинаковые.
формула для нахождения количества
перестановок с повторениями:

13.

1. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый
день в течение 5 дней она даёт сыну
по одному фрукту. Сколькими
способами это может быть сделано?
2. Сколькими способами можно
положить 28 различных открыток в 4
одинаковых конверта так, чтобы в
каждом конверте было по 7 открыток?

14. Решение задач по теме «Перестановки без повторений и с повторениями»

• Сколькими различными способами можно усадить за
стол 3 мальчиков и 3 девочек так, чтобы никакие 2
девочки не сидели рядом?
• Сколькими способами можно разложить 28 различных
предметов по 4 различным ящикам так, чтобы в каждом
ящике оказалось по 7 предметов?
• Сколькими способами можно переставлять буквы слова
“огород”, чтобы 3 буквы “O” не шли подряд?
• Сколькими способами можно разместить 12 человек за
столом, на который поставлено 12 приборов?
• Сколько пятизначных чисел, не содержащих одинаковых
цифр, можно записать с помощью цифр 1,2,3,4 и 5 так,
чтобы
а) последней была цифра 4;
б) первой была цифра 2, а второй 3?

15. РАЗМЕЩЕНИЯ

Размещения без повторений —
комбинаторные соединения, составленные
из n элементов по m. При этом два
соединения считаются различными, если они
либо отличаются друг от друга хотя бы одним
элементом, либо состоят из одних и тех же
элементов, но расположенных в разном
порядке.
формула для нахождения количества
размещений без повторений:

16. Задача

В звене 12 человек. Требуется выбрать
звеньевого, санитара, командира. Сколькими
способами это можно сделать?
Решение.
Сначала выбирают звеньевого, затем санитара, и
наконец командира. Каждый может быть выбран
звеньевым, поэтому существует 12 возможностей,
для выбора санитара остаётся 11 возможностей, а
выбор командира уже 10 способов. Следовательно,
всего получается 12х11х10 =1320 способов, что бы
выбрать трёх учеников из 12 т.е. A123 = 12х11х10 =
1320

17.

Размещения с повторениями —
комбинаторные соединения,
составленные из n элементов по m. При
этом каждый из n элементов может
содержаться сколько угодно раз или
вообще отсутствовать.
формула для нахождения количества
размещений с повторениями:

18. Примеры.

1. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый
день в течение 5 дней она даёт сыну
по одному фрукту. Сколькими
способами это может быть сделано?
2. Сколькими способами можно
положить 28 различных открыток в 4
одинаковых конверта так, чтобы в
каждом конверте было по 7 открыток?

19. СОЧЕТАНИЯ

Сочетания без повторений —
комбинаторные соединения из n
элементов по k, составленные из этих
элементов и отличающиеся друг от друга
только составом.
формула для нахождения количества
сочетаний без повторений:
C
k
n
n!
k!(n k )!

20.

Число k-подмножеств в n-множестве Х
называют сочетаниями из n по k. Число
таких сочетаний
n!
C
k!(n k )!
k
n

21. Задача

У Робина-Бобина Барабека 40 соседей.
Он решил пригласить 2 из них на обед.
Сколько у него способов это сделать?
Решение.
Здесь рассматриваются сочетания без
повторения
C
2
40
40!
40!
40 39
780
2!(40 2)! 2!38!
1 2

22.

Сочетания с повторениями —
комбинаторные соединения из n
элементов по m, составленные из этих
элементов без учета порядка с
возможностью многократного повторения
предметов.
формула для нахождения количества
сочетаний с повторениями:

23. Задачи

• С кондитерском отделе продаются пирожные
четырех сортов: Наполеоны, эклеры,
песочные и слоёные. Сколькими способами
можно купить 7 пирожных?
• В почтовом отделении продают открытки
десяти видов. Сколькими способами можно
купить в нём 12 открыток?

24.

Сочетанием
из n элементов по m называется
Размещением
из n элементов по m называется
– m-элементное подмножество некоторого n-элементного – m-элементная последовательность некоторого nмножества
элементного множества
Вопрос:
чем последовательность отличается от подмножества,
ведь именно в этом принципиальная разница содержания понятий?
Ответ:
Ответ:
При формировании различных подмножеств из одних и тех При формировании различных последовательностей из
же элементов порядок следования элементов не имеет одних и тех же элементов порядок следования элементов
значения
имеет огромное значение
Вывод:
чтобы назвать какой – либо объект сочетанием из n по m,
необходимо проверить одновременное выполнение
следующих условий – существенных признаков понятия
«сочетание»:
Вывод:
чтобы назвать какой – либо объект размещением из n по
m, необходимо проверить одновременное выполнение
следующих условий – существенных признаков понятия
«размещение»:
ч
1. Заданы два множества
1. Заданы два множества
2. Одно из множеств является подмножеством другого
2. Выделена последовательность элементов одного
множества
3. Основное множество содержит n различных элементов
4. Подмножество содержит m<n элементов.
3. Основное
элементов
множество
содержит
n
различных
4. Последовательность содержит m<n элементов

25.

В случае перестановок берутся все элементы и изменяется только их
местоположение.
В случае размещений берётся только часть элементов и важно
расположение элементов друг относительно друга.
В случае сочетаний берётся только часть элементов и не имеет
значения расположение элементов друг относительно друга.

26.

Сочетания
1. Сколько рукопожатий получится,
если здороваются 5 человек?
{Вася, Петя} = {Петя, Вася} – одно и
тоже
Значит, порядок неважен, значит это
подмножество по два элемента из 5,
значит это сочетание из пяти по два
C52
5!
4 5
10
( 5 2 )! 2!
2
Размещения
1. Сколькими способами пять человек
могут обменяться фотографиями?
{Вася, Петя} {Петя, Вася} – разные
обмены
Значит, порядок важен, значит это
последовательность по два элемента
из 5, значит это размещение из пяти
по два
А52
5!
4 5 20
( 5 2 )!

27.

Сочетания
2. Сколько аккордов можно сыграть с
помощью трех клавиш из семи?
{до, ми, соль} = { до, соль, ми } – одно
и тоже
2.
Сколько
проигрышей)
мелодий
можно
(трезвучий,
сыграть
с
помощью трех клавиш из семи?
{до, ми, соль} { до, соль, ми } –
разные мелодии
Значит, порядок неважен, значит это
подмножество по три элемента из
семи, значит это сочетание из семи по
три
Размещения
C53
5!
4 5
10
(5 3)!3!
2
Значит, порядок важен, значит это
последовательность по три элемента
из семи, значит это размещение из
5!
3
3 4 5 60
семи по три А5
( 5 3 )!

28.

Перестановки
1. Сколькими способами n человек могут сесть на
одной скамейке?
Рn n!
2. Сколькими способами n человек могут сесть за
круглым столом?
n!
Рn ( n 1 )!
n

29.

Комбинаторные задачи бывают
самых разных видов. Однако,
большинство задач решается с
помощью двух основных правил —
правила суммы и правила
произведения.

30.

Если некоторый объект A можно выбрать m
способами, а другой объект В можно выбрать n
способами, то выбор «либо А, либо В» можно
осуществить (m+n) способами.
При использовании правила суммы надо следить,
чтобы ни один из способов выбора объекта А не
совпадал с каким-либо способом выбора объекта
В.
Если такие совпадения есть, правило суммы
утрачивает силу, и мы получаем лишь (m + n - k)
способов выбора, где k—число совпадений.

31. Задача.

У Васи на куртке три кармана. Каким числом
способов он может положить в эти карманы две
одинаковые монетки?

32. Решение.

Так как монетки одинаковые, и если мы будем
применять правило умножения, то некоторые способы
учтем дважды. Поэтому надо отдельно рассмотреть два
случая:
- Вася кладет монетки в разные карманы. Получим три
случая:

33.

- Вася кладет обе монетки в один карман.
Получим еще три случая:
- Итак, монетки можно разместить в карманах
3+3=6 способами.

34.

Данная задача разбивается на два частных случая,
которые не могут происходить одновременно. В
итоге надо сложить число способов из каждого
случая. Такой прием называют правилом
сложения.

35. Задача

Имеется 8 шаров: в 1 ящик положили 5 шт., а во 2 - 3
шт. Сколькими способами можно вытащить 1 шар?
Решение.
Из 1 ящика шар можно вытащить 5-ю способами, а из
второго 3-мя. Значит, всего 5+3=8 способов.

36. Задача

В ящике находятся 20 шаров: 5 белых, 6 черных, 7
синих и 2 красных. Сколькими способами можно
взять из ящика один цветной шар? Под цветным
шаром подразумевается красный или синий.
Решение.
Цветных шаров (7+2)=9
Взять один из низ (синий или красный) можно
девятью способами

37. Задача

На книжной полке стоят 12 книг: 3 книги по
алгебре, 4 книги по геометрии и 5 книг по
литературе. Сколькими способами можно взять с
полки книгу по математике? Под книгой по
математике подразумевается книга по алгебре или
по геометрии.
Решение.
Алгебра
Алгебра
Алгебра
Геометрия
Геометрия
Геометрия
Геометрия
Литература
Литература
Литература
Литература
Книг по математике (3+4)=7.
Взять одну из них можно семью способами
Литература

38. Задача

В олимпиаде участвовало 7 девочек и 18 мальчиков.
Сколько существует различных вариантов для
получения первого места в этой олимпиаде?
Решение.
Первое место может занять один из участников
олимпиады.
Всего участников олимпиады (7+18)=25.
Вариантов для получения первого места двадцать
пять.

39.

Если объект А можно выбрать m способами и
если после каждого такого выбора объект В
можно выбрать n способами, то выбор пары
(А,В) в указанном порядке можно осуществить
mn способами.
При этом число способов выбора второго
элемента не зависит от того, как именно
выбран первый элемент.

40.

Доказательство этого утверждения почти
очевидно, т.к. все элементы-карточки можно
расположить в виде прямоугольной таблицы, в
которой m строк и n столбцов.

41.

Множество А×В×С, состоящее из
упорядоченных троек, содержит mnр
элементов (р - число элементов в множестве
С). Действительно, карточек вида abc1 столько,
сколько элементов в А×В, т.е. mn, столько же
карточек вида abc2 и т.д. В этом случае А× В×С
можно представить в виде прямоугольного
параллелепипеда.

42.

Пусть имеется n элементов и требуется
выбрать один за другим некоторые p
элементов. Если первый элемент можно
выбрать способами, после чего второй
элемент можно выбрать из оставшихся
элементов способами, затем третий
элемент способами и т.д., то число
способов, которыми могут быть выбраны
все k элементов, равно произведению
n1 n2 n3 ... n p

43.

Множество А1×А2×...×Ар состоит
элементов, где n1- число элементов в А1, n2 - в
А2 и т.д. Доказывается это утверждение
индукцией по р аналогично рассмотренному
выше переходу от p=2 к p=3.

44.

Пусть объект а можно выбрать n1,
различными способами, после каждого
выбора объекта а1 объект а2 можно выбрать
n2 различными способами,..., после каждого
выбора объектов а , а ,..., аp-1 объект аp
можно выбрать nр различными
способами. Тогда количество способов,
которыми можно выбрать а1, а2, ..., аp
равно n1n2...np.
1
1
2

45.

Доказательство: если Ак - множество
состояний, из которых выбирается объект
ак, то nк - число элементов множества Ак
(k=1,2,...,р), и мы получаем известную нам
формулировку правила умножения.

46. Задача

Сколькими способами можно выбрать гласную и
согласную из слова «МИНУС».
Решение.
согласные
Гласных букв 2, согласных – 3.
После того, как выбрали одну
из двух гласных, можно
гласные
выбрать одну из трех
согласных.
Каждому выбору из двух гласных соответствует 3
варианта выбора согласной буквы.
Всего вариантов имеем:
2*3=6

47. Задача

Сколько существует пятизначных чисел, делящихся
на 10 без остатка?
Решение.
1;2;3;4;5;6;7;8;9
Первая цифра может
быть выбрана одним
из девяти способов
(нулем число
начинаться не может)
0
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
Вторая, третья и
четвертая цифра
может быть
выбрана одним из
десяти способов
Последняя
цифра может
быть только
нулем (признак
делимости на
десять)
Всего вариантов имеем 9*10*10*10=9000

48. Задача

В высшей лиге первенства по футболу участвуют 16
команд. Разыгрываются 3 медали: золотая, серебряная
и бронзовая. Сколькими способами эти медали могут
быть распределены между командами.
Решение.
Золотую медаль
На серебряную
На бронзовую
может получить
претендуют 15
медаль остаются 14
любая из 16 команд оставшихся команд претендентов.
Для каждой из 16 команд, претендующих на золото, есть 15
команд, претендующих на серебро. А для каждой из 15
команд, претендующих на серебро, есть 14 команд,
претендующих на бронзу.
Всего вариантов имеем 2*3=6.

49.

Пусть а1 - первая буква слова, тогда ее можно
выбрать 8 способами, т.е. n1 = 8; вторую букву а2
можно выбрать 7 способами, т.е. n2 = 7 и т.д. По
правилу умножения число всех комбинаций равно
8·7·. .. ·2·1.

50. Задача

Пусть ак - к -я буква слова (к =1,2,3,4). Тогда n1 =
8,n2 = 7, n3=6, nА = 5 и по правилу произведения
сразу получаем ответ:
8·7·6·5 = 1680.
Ответ: 1680.

51. Задача

Дима сложил квадратный листок бумаги пополам,
потом еще раз и еще раз.
В центре того, что получилось, он проделал дырку, а
потом снова развернул лист.
Сколько дырок он увидел?
Решение.
Каждое складывание увеличивает толщину (в листах)
бумаги в два раза.
Дима складывал бумагу три раза и получил толщину
2*2*2=8.
Дырки получатся на каждом листе. Итого 8 дырок.

52. Задача

В коридоре висят три лампочки. Сколько имеется
различных способов освещения коридора?
Решение.
Для каждой лампочки возможны два исхода, а
лампочек три, значит
2×2×2=8

53. Задача

В 1 ящике 5 зелёных, а во 2 ящике 3 красных шара.
Сколькими способами можно вытащить 1 зелёный
и 1 красный шар?
Решение.
Зелёный можно выбрать 5-ю способами, а красный
– 3-мя. Значит, 1 зелёный и 1 красный можно
выбрать 3х5 = 15 способами.

54. Задача

От Кащея до Бабы-Яги ведут три дороги, а от
Бабы-Яги до Кикиморы - две дороги.
Сколькими способами можно пройти от Кащея
до Кикиморы, заходя к Бабе-Яге?
Б.Я.
К.
К.

55. Решение.

Из рисунков к задаче 1 видно, что каждый из трёх путей,
ведущих от Кащея к Бабе-Яге, можно продолжить двумя
способами. Следовательно, всего получаем 3*2=6
различных путей.
Мы применили одно из самых простых, но самых важных
правил комбинаторики- правило умножения.

56. Задача

Сколькими способами можно расположить 4 шашки на
нарисованной доске так, чтобы никакие две из них не
находились в одном ряду или одной колонке?
Решение.
1. Располагаем первую шашку в первом столбце – 2
варианта (шашка может лежать или в верхней или в
нижней клеточке) .
2. Располагаем вторую шашку во втором столбце – 3-1=2,
(2 варианта) где 3 – высота столбца, а 1- количество уже
занятых строк.
3. В третьем – 4-2=2 (аналогично).
4. В четвертом – 5-3=2 (аналогично).
Итого 2*2*2*2=16.

57. Задача

Имеется 6 перчаток различных размеров.
Сколькими способами можно выбрать из них одну
перчатку на левую руку и одну на правую руку так,
чтобы эти перчатки были различных размеров.
Решение.
Перчатка на левую руку может быть выбрана 6
способами. После того, как она выбрана , перчатку
на правую руку можно выбрать лишь 5 способами(
размеры перчаток должны быть разными). Поэтому
всего имеет 6 * 5=30 способами.

58. Задача

Сколькими способами могут быть распределены
золотая и серебряная медали по итогам олимпиады,
если число команд 15?
Решение.
На золотую медаль претендуют 15 команд, на
серебряную-14 команд (одна получит золотую
медаль). По правилу произведения получаем
15*14=210 способа.

59. Задача

Гера, Афина и Афродита попросили Париса не только
назвать самую красивую из них, но и указать, кто на
«втором и третьем местах. Сколько есть вариантов ответа?
Решение.
На первое место Парис может выбрать тремя способами,
на второе- двумя способами(одна претендентка уже
находится на первом месте), на третье место- одним
способом. Поэтому всего имеем 3*2*1=6 способов.

60. Задачи по теме «Правило произведения»

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова « здание».
Сколькими способами можно указать на шахматной доске два квадрата -белый и черный?
Решите эту задачу, если нет ограничений на цвет квадратов: если надо выбрать два белых
квадрата.
Десять участников конференции обменялись рукопожатиями, пожав каждый каждому руку.
Сколько всего рукопожатий было сделано?
Сколько различных шифров можно набрать в автоматической камере хранения, если шифр
составляется с помощью любой из тридцати букв русского алфавита с последующим
трехзначным числом?
На олимпиаду школа должна набрать команду из трех участников: одного из трех лучших надо
выбрать для участия в олимпиаде по химии, одного из четырех -по физике, одного из семи- по
математике. Сколькими способами можно составить такую команду?
Сколько различных трехзначных чисел, не имеющих одинаковых цифр, можно записать с
помощью цифр 1,2 и 3?
Сколькими способами можно составить можно составить расписание уроков на один день из
шести разных учебных предметов?
Десять участников конференции обменялись визитными карточками (каждый вручил свою
карточку всем другим участникам). Сколько всего карточек было роздано?
Имеется 8 видов конвертов без марок и 5 видов марок. Сколькими способами можно выбрать
конверт и марку для отправки письма?
В корзине лежит 12 яблок и 10 апельсинов. Ваня выбирает либо яблоко, либо апельсин, после
чего Надя выбирает из оставшихся фруктов и яблоко, и апельсин. Сколько возможно таких
выборов? При каком выборе Вани у Нади больше возможностей выбора?

61. Решение комбинаторных задач

Задачу можно назвать комбинаторной, если
ее решением является перебор элементов
некоторого конечного множества.
Особая примета комбинаторных задач –
вопрос, который можно сформулировать
таким образом, что он начинался бы
словами:
• Сколькими способами…?
• Сколько вариантов…?

62.

Для того, чтобы решить задачу по
комбинаторике, необходимо сначала
понять её смысл, то есть, представить
мысленно процесс или действие,
описанное в задаче.
Нужно чётко определить тип соединений в
задаче, а для этого надо, составив
несколько различных комбинаций,
проверить повторяются ли элементы,
меняется ли их состав, важен ли порядок
элементов.

63.

Если же комбинаторная задача
содержит ряд ограничений,
налагающихся на соединения, то
нужно понять, как влияют или не
влияют эти ограничения на
соединения.

64.

В том случае, если трудно сразу
определить какие-либо важные моменты
задачи, то не плохо было бы попытаться
разобраться в более лёгкой задаче,
например в той, в которой не учитываются
ограничения, если они есть в исходной
задаче, или же в задаче, в которой
рассматривается меньшее количество
элементов, тогда проще будет понять
принцип образования выборок.

65.

Когда комбинаторная задача состоит
из различных комбинаций
элементарных задач, то нужно просто
разбить задачу на подзадачи.

66.

Чтобы решить задачу по комбинаторике нужно сначала
определить вид комбинаций в этой задаче. Для этого надо
составить несколько комбинаций и постараться
определить их вид. На схеме показано как это сделать.

67. Шпаргалка

Пусть требуется выполнить одно за другим k действий. Если первое действие можно
выполнить n1 способами …, то все k действий вместе могут быть выполнены n1 n2
n3 … nk
способами.
Множество С, которому принадлежат все те и только те элементы, которые входят либо
в А, либо в В, называется суммой или объединением множеств А и В и обозначается С =
А В.
Множество С, которому принадлежат те и только те элементы, являющиеся общими для
множеств А и В (элементы, которые входят в оба эти множества), называется
пересечением множеств А и В и обозначается С = А В.
Число элементов суммы множеств. N(A B) = N(A) + N(B) – N(A B)
n! = 1 2 … n
Комбинации из n-элементов, отличающиеся друг от друга только порядком
расположения в них элементов, называются перестановками из n элементов Р = n!
Комбинации из n элементов по k , отличающиеся друг от друга лишь составом
элементов, называются сочетаниями из n элементов по k. Количество сочетаний можно
посчитать по формуле
Комбинации из n элементов по k, отличающиеся друг от друга либо
составом элементов, либо порядком их расположения, называются
размещениями из n элементов по k (k n).

68. Задача

Сколькими способами можно выбрать на
шахматной доске белый и черный квадраты, не
лежащие на 1 горизонтали или вертикали?
Решение.
Белый квадрат можно выбрать 32
способами(произвольными). Черный квадрат- 24
способами(32-8, лежащих на 1 горизонтали, или
вертикали с выбранным белым). По правилу
произведения получаем искомое число 768.

69. Задача

Какое максимальное число точек пересечения могут
иметь восемь окружностей ?
Решение.
Две окружности могут пересечься в двух точках.
Третья окружность пересечется с каждой из имеющихся
окружностей тоже в двух точках, т. е добавятся еще 2 * 2 = 4
точки.
Добавление каждой следующей окружности увеличивает число
точек на величину, равную удвоенному количеству уже
имеющихся окружностей.
Итого : 2 + 2*2 + 2*3 + 2*4 + 2*5 + 2*6 + 2*7 = 2* (1 + 2 + 3 + 4
+ 5 +6 + 7 ) = 56

70. Задача.

У одного человека есть 7 книг по математике, у
другого- 9 книг. Сколькими способами они могут
обменять 3 книги одного на 3 книги другого?
Решение.
Найдем, сколько троек из 7 книг можно составить у
первого человека: C 7! 35
3
7
3!4!
Число троек из 9 книг у второго человека равно
C
3
9
9!
84
3!6!
По правилу произведения находим число обменов:
35*84=2940.

71. Задача

15 пронумерованных биллиардных шаров
разложенные по 6 лузам. Сколькими способами это
можно сделать?
Решение.
Имеем размещение с повторениями из 6 элементов (в
6 луз) по 15(15 шаров). Их число равно
15
6
А
615.

72.

Задача
Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов и 60
рядовых. Сколькими способами можно
выделить из них отряд, состоящий из офицера,
2 сержантов и 20 рядовых?
Решение.
Элемент а может быть выбран тремя
способами (3 офицера), элемент b(2 сержанта
из 6) можно выбрать C62 30 , элемент с(20
20
солдат из 60) C 60
.
По правилу произведения находим число
20
20
C
выбора 3*30* 60 = 90* C 60 .

73. Задача

Сколькими способами можно поставить на
шахматную доску белую и черную ладью так, чтобы
они не били друг друга?
Решение.
Выбор объекта а - поля для белой ладьи - может
быть сделан n = 64 способами. Независимо от
выбора этого поля белая ладья бьет 15 полей,
поэтому для черной ладьи остается 64-15 =49 полей:
n = 49.
Ответ: число расстановок ладей равно 64 · 49 =
3136.
1
1
2

74. Задача

Сколькими способами можно поставить на доску
восемь ладей так, чтобы они не били друг друга?
Решение.
Очевидно, что на каждой горизонтали и на
каждой вертикали должна стоять только одна ладья.
Будем расставлять ладьи последовательно, начиная с
первой горизонтали. На первой горизонтали 8
клеток, и первую ладью можно поставить на любую
из них. Когда мы будем ставить вторую ладью, то на
второй горизонтали ей будут доступны 7 клеток и
т.д. По правилу произведения получаем, что всего
таких позиций 8!

75. Продолжение решения задачи

Если же считать ладьи различными (как в примере 3), то
число перестановок ладей равно
64 · 49 · 36 · 25 · 16 · 9 · 4 · 1 = (8!)²
Действительно, для первой ладьи можно выбрать любое поле
доски размером 8×8, вторая ладья фактически ставится на
квадратную доску 7×7 (мы удалили одну горизонталь и одну
вертикаль и «сдвинули» оставшиеся части доски) и т.д.
Зафиксируем одну из таких расстановок различных ладей.
Число перестановок ладей на выделенных полях равно 8!
(результат предыдущего примера).
Если мы считаем ладьи одинаковыми, то (8!)² позиций
разбиваются на классы по 8! позиций в каждом, и все
позиции данного класса будут одинаковыми. Поэтому число
перестановок одинаковых ладей равно
(8!)² /8!= 8!, что совпадает с ранее полученным ответом.

76. Задача

Сколь различных слов можно получить,
переставляя буквы слова «комбинаторика»?

77. Решение

В слове «комбинаторика» 13 букв. Если бы все они были
различны, то, переставляя их, можно было бы получить
13! слов. Но в нашем слове буквы к, о, и, а встречаются
по два раза. Обозначим их к1,к2,о1,о2,и1,и2,а1,а2. Ясно,
что слова, отличающиеся перестановкой букв к1ик2 одинаковые, так что 13! Слов разбиваются на пары
одинаковых. Следовательно, если мы не различаем к1
и к2, то число всех слов будет равно 13!/2!. Но эта
совокупность также разбивается на пары одинаковых с
точки зрения буквы “о„ слов и т.д.
Ответ: = 13_!
= 13!
2!2!2!2!
16

78.

Задача
Сколько существует четырехзначных чисел, у
которых все цифры нечетные? Сколько существует
четырехзначных чисел, в записи которых есть хотя
бы одна четная цифра?
Решение.
1) Всего нечетных цифр — пять, поэтому выбор к-й
цифры числа может быть сделан nк =5 способами (к
=1, 2, 3, 4) а количество четырехзначных чисел, у
которых все цифры нечетные, равно 5·5·5·5 = 625.

79.

2) Все четырехзначные числа, а их 9999-999=9000,
делятся на две группы: те, в записи которых все
цифры нечетные, и те, в записи которых есть хотя
бы одна четная цифра. Следовательно, количество
чисел второго типа равно 9000-625=8375.
Ответ: 8375.

80.

Задача
Сколько различных пар можно образовать из 28
костей домино так, чтобы кости, входящие в
пару, можно было приложить друг к другу?

81.

Выбор пары костей — это выбор двух карточек вида
a1b1, a2b2, где можно считать, что а ≤ b.
Выберем первую кость - это можно сделать 28
способами, из них в 7 случаях кость окажется дублем,
т.е. кость вида aa, а в 21 случае — кость вида ab, а < b . В
первом случае вторую кость можно выбрать 6
способами, а число способов выбора пары костей по
правилу произведения равно 7 · 6 = 42 .
Во втором случае вторую кость можно выбрать 12
способами — 6 костей вида a|* и 6 костей вида *|а ,а
число способов выбора пары равно 21·12 = 252.
Следовательно по правилу суммы всего получается 42 +
252 = 294 способа выбора упорядоченной пары.
Ответ: 147 пар.

82.

Пример 9. Сколько шестизначных чисел, кратных
5, можно составить из цифр 0, 1,2, ..., 9 при условии,
что цифры в записи числа не повторяются?

83.

Последней цифрой искомого числа может быть 0 или 5.
В первом случае остальные пять цифр можно выбирать
из множества {1,2, ..., 9}
9!
и число вариантов равно А9 = — = 15120. Если число
4!
oканчивается цифрой 5, то в качестве первой цифры
можно взять любую из восьми цифр 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 нельзя использовать 0, т.к. число должно быть
шестизначным. Цифры со второй по четвертую
можно выбрать
A8 = 1680 различными способами. Следовательно,
по правилу произведения имеется 8·A8 чисел,
оканчивающихся цифрой 5. По правилу суммы
находим, сколько существует чисел, удовлетворяющих
условию задачи.
А9 +8·A8 = 28560.
Ответ: 28560.

84.

Задача
Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и 10
нападающих. Сколькими способами тренер может образовать
стартовую шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников
и трех нападающих?
Решение.
Вратаря можно выбрать
способами,
защитников способом, нападающих –
способами. Всего, по правилу произведения,
существует 2 · 21 · 120 = 5040 способов выбора стартовой
шестерки.
Ответ: 5040.

85.

Задача
На плоскости проведены n прямых, среди которых нет
ни одной пары параллельных прямых и ни одной тройки
прямых, пересекающихся в одной точке. Найти число
точек пересечения этих прямых и число треугольников,
образованных этими прямыми.
Решение.
Число точек пересечения прямых равно числу способов
выбора неупорядоченной пары прямых, т.е.
.
Аналогично, каждый треугольник определяется
тройкой прямых, поэтому общее число треугольников
равно
..
Ответ:
и
.

86.

Задача
Для проведения письменного экзамена по
комбинаторике надо составить 4 варианта по 7
задач в каждом. Сколькими способами можно
разбить 28 задач на 4 варианта?
Решение.
7
C
Задачи для первого варианта можно выбрать 28
способами. После этого останется 21 задача, так что
7
C
второй вариант можно составить 21 способами. Для
третьего варианта задачи можно выбрать C147
7
C
способами, а для четвертого - 7 = 1 способом.

87.

По правилу произведения получаем число
7
28
7
C C21
C147 C147
Но так как варианты равноправны, то полученное
число надо разделить на 4!
28!
Ответ: 1 C 7 C 7 C 7 C 7 =
.
4
4!
28
21
14
14
4!(7!)

88.

89.

Задача
Найти n, если известно, что в разложении
5
12
n
(1 + x) коэффициенты при х и х равны.

90.

Решение.
В n-й строке треугольника Паскаля два
коэффициента равны в том и только том случае, когда
они занимают клетки, равноудаленные от крайних.
Действительно, треугольник Паскаля симметричен:
Cnk Cnn k , а при движении от края к середине
строки коэффициенты возрастают: С k 1 C k при
n
n
k
1
k
k n 1 и Сn Cn при k n 1 .
2
2

91.

Следовательно,
С равно Cn12 тогда и только тогда,
5
n
когда 12 = n-5, т.е. n= 17.
Ответ: n = 17.

92.

Задача
Найти коэффициент при х19в разложении
5 12 30
(1 + х +х ) .

93.

В силу формулы
(1 x5 x9 )30 =
30! k1 5k 2 9 k3
1 x x .
k1 k 2 k 3 30 k1!k2!k3!
Так как уравнение 5k2 + 9к3 =19 имеет только
одно решение в неотрицательных числах k2=2,
19
k3 = 1, то коэффициент при х равен
30!
27!2!1!
30 29 28
2
12180

94.

2) Обозначим через
y x5 (1 x 4 )
. Тогда
Рассмотрим k-е слагаемое (0≤k≤30):
1
y ... C30k y k ... y 30.
(1 x5 x9 )30 (1 y)30 1 С30
k
k 5k
k 5k
C30
y k C30
x (1 x 4 ) k C30
x (1 Ck1 x 4 ... Ckm x 4 m ... x 4 k .
Такое слагаемое будет содержать х19 , если для
некоторого т выполняется равенство 5k + 4m = 19.
Ясно, что это возможно только при k=3 и т=1.
Следовательно, коэффициент при х19 равен
3
1
C30C3=12180.

95.

Комбинаторика является древнейшей и, возможно,
ключевой ветвью математики. В математике есть задачи, в
которых требуется из элементов составить различные наборы,
подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов,
составленных по определённому правилу. На практике часто
приходится делать перебор определённого количества данных.
Например, учителю приходится распределять различные виды
работ между группами учащихся, офицеру выбирать из солдат
наряд, агроному размещать культуры на полях, завучу
составлять расписание и т.д. В данном случае речь идёт о
всевозможных комбинациях объектов. Задачи такого типа
называются комбинаторными задачами. Область математики, в
которой
изучают
комбинаторные
задачи,
называется
комбинаторикой. Как самостоятельный раздел математики
комбинаторика оформилась в Европе в XVIII веке. Некоторые
комбинаторные задачи решали в Индии во II веке до н. э., в
Древнем Китае, позднее в Римской империи.

96.

Термин "комбинаторика" был введён в
математический обиход знаменитым Лейбницем.
Готфрид Вильгельм Лейбниц(1.07.1646 - 14.11.1716)
- всемирно известный немецкий учёный, занимался
философией, математикой, физикой, организовал
Берлинскую академию наук и стал её первым
президентом. В 1666 году Лейбниц опубликовал
"Рассуждения о комбинаторном искусстве". В своём
сочинении Лейбниц ввел специальные символы,
термины для подмножеств и операций над ними. В
течение всей своей жизни Лейбниц многократно
возвращался к идеям комбинаторного искусства.
Комбинаторику он понимал весьма широко, именно,
как составляющую любого исследования, любого
творческого акта, предполагающего сначала анализ
(расчленение целого на части), а затем синтез
(соединение частей в целое). Комбинаторике
Лейбниц предрекал блестящее будущее, широкое
применение. В XVIII веке к решению комбинаторных
задач обращались выдающиеся математики.
Г.В.
Лейбниц

97.

Так, Леонард Эйлер рассматривал задачи о
разбиении чисел, о паросочетаниях, о
циклических расстановках, о построении
магических и латинских квадратов. В 1713 году
было опубликовано сочинение Я. Бернулли
"Искусство предположений", в котором с
достаточной
полнотой
были
изложены
известные к тому времени комбинаторные
факты. Сочинение состояло из 4 частей,
комбинаторике была посвящена вторая часть, в
которой содержатся формулы. Для вывода
формул автор использовал наиболее простые и
наглядные
методы,
сопровождая
их
многочисленными таблицами и примерами. В
работах Я. Бернулли и Лейбница тщательно
изучены свойства сочетаний, размещений,
перестановок.
Я.
Бернулли

98. Список использованной литературы:

1) Газета "Математика в школе" - № 15, 16, 17 2004г.
2) В.Н. Студенецкая "Решение задач по статистике, комбинаторики и теории
вероятности", издательство Учитель, Волгоград, 2006г.
3) Я.И. Перельман "Веселые задачи", Москва, издательство Транзиткнига, 2005г.
4) Виленкин Н.Я. «Индукция. Комбинаторика», М. «Просвещение», 1976 г.
5) Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975.
6) Виленкин Н.Я. «Алгебра и математический анализ для 11 класса»,
М.:Просвещение, 1993.
7) Глейзер Г.И. «История математики в средней школе», М.: «Просвещение», 1970
г.
8) Журналы «Математика в школе» №№4, 5, 2002, №№3-5, 2003.
9) Ларичев П.А. «Сборник задач по алгебре», ч.2, М.: «Просвещение», 1953 г.
10) Кутасова А.Д., Пиголкина Т.С, Чехлов В.И., Яковлева Т.Х.,
Пособие по математике для поступающих в вузы. /под ред. Г.Н.
Яковлева - M.: Наука, 1988.
11) Антипов И.Н., Березин В.Н., Егоров А.А. и др. «Методика факультативных
занятий в 9-10 классах», М.: «Просвещение», 1983 г.
12) Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские
математические кружки. — Киров, 1994.

99.

14) Макарычев Ю.Н. и др. «Алгебра. 9 кл.» Учеб.для шк. и кл. с углубл. изуч.
математики. М.: Мнемозина, 2004.
15) Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. «Алгебра: Элементы статистики и теории
вероятностей». Учеб.пособие для уч-ся 7-9 кл. М.:Просвещение, 2003.
16) Мордкович А.Г., Семенов П.В. «События. Вероятности. Статистическая
обработка данных» Доп.параграфы к курсу алгебры 7-9 кл. М.:Мнемозина,
2004.
17) Ткачева М.В., Федорова Н.Е. «Элементы статистики и вероятность»
Уч.пособие для 7-9 кл. М.:Просвещение, 2004.
18) Левитас Г.Г. «Комбинаторика». Пособие для проведения факультативных
занятий в 10-11 классах. М., 1998.
19) Цыганов Ш. «Комбинаторика от А до Я» Математика (Приложение к газете
«1 сентября», №26-28). 2001