Постулаты общей теории относительности. (Часть 3)

1.

2.

Постулаты ОТО
ОТО отвечает на вопросы:
• Если гравитационное поле задано, то как в этом поле движутся тела,
свет, вообще материя, если обратным влиянием рассматриваемых
объектов на само гравитационное поле можно пренебречь?
• Если задано распределение материи в пространстве и известно, как
материя движется, то какое гравитационное поле создает такая материя?
Основные постулаты ОТО:
1. Расширенный принцип относительности: все законы природы
инвариантны в любых системах отсчета, как инерциальных, так и
неинерциальных, движущихся с ускорением или замедлением.
2. Принцип постоянства скорости света: скорость света не зависит от
скорости источника или приемника и ее направления (в 2002 г. с
точностью до 10-15 ).
3. Принцип равенства гравитационной и инертной масс: гравитационная
масса точно равна инерционной, название зависит лишь от выбора
системы отсчета.
Тяжесть и инерция кажутся одним и тем же потому, что они являются одним и тем
же (Эйнштейн). Силовое поле может называться гравитационным или инерционным
в зависимости от выбора системы отсчета. Если системой отсчета служит лифт, то
поле называется гравитационным. Если же системой отсчета является космос, то
поле называется инерционным. Вместо двух сил оставлена одна – гравитационная,
и даже она заменена на геометрию пространства-времени.

3.

Принцип эквивалентности масс
Из равенства гравитационной и инертной масс следует, что описание
гравитационного взаимодействия между телами можно свести к описанию
пространства-времени, в котором двигаются тела (для небольшой области
пространства).
Эйнштейн предположил, что тела двигаются по инерции, то есть так, что их
ускорение в собственной системе отсчёта равно нулю. Траектории тел тогда
будут геодезическими линиями – аналог прямых для искривленного
пространства.
Геодезические линии, соответствующие мировым линиям физических тел,
скорость которых меньше скорости света, оказываются
линиями наибольшего собственного времени, то есть
времени, измеряемого часами, жёстко скреплёнными
с телом, следующим по этой траектории.
Интервал - «расстояние» между двумя произвольно
выбранными бесконечно близкими точками пространствавремени, которые могут быть ориентированы в различных направлениях.
Он задаётся 10 независимыми компонентами метрического тензора.
Кривизна пространства-времени однозначно определяется его метрикой —
метрическим тензором.
Если запустить из двух близких точек два тела параллельно друг другу, то в
гравитационном поле они постепенно начнут либо сближаться, либо удаляться

4.

Тензоры
В СТО и ОТО рассматривают системы, взаимно движущиеся. Поскольку
временной промежуток, характеризующий пару событий, оказался
неинвариантным при переходе к другой, движущейся системе координат, но
физические законы действуют в указанных системах одинаково, значит, законы
должны допускать формулировку в тензорной форме, как не зависящей от
конкретных координат. Это – тензорная форма.
Тензор –это таблица или матрица чисел, которая отвечает трем пунктам:
1) это математическое представление некоторого объекта (геометрического или
физического), существующего в пространстве, в виде таблицы величин –
компонент тензора;
2) значения компонент зависят от принятой системы координат, и изменяются
(преобразуются) при переходе к другим координатам;
3) преобразование компонент таково, что оставляет, тем не менее,
неизменными некоторые особые величины – инварианты.
Правило Эйнштейна:
выражение для скалярного квадрата (это скалярное произведение вектора хi на
некоторый другой вектор х(х1, х2 , х3), его называют ковектором, то есть
сопряженным вектором, его произведение с вектором – скаляр) запишется так:
x2=х1х1+х2х2+х3х3=хii

5.

Тензоры
В ортогональном базисе оба представления вектора хi и хi совпадают,
в криволинейном - нет, в искривленных пространствах пересечение сетки
параллельных прямых не может быть всюду под прямым углом.
x1= g11 х1+ g12 х2+ g13 х3
x2= g21 х1+ g22 х2+ g23 х3
x3= g31 х1+ g32 х2+ g33 х3
Это - результат умножения двух матриц:
g11
x1 x2 x3 = g21
g31
g12
g22
g32
g13 x 1
g23 × x 2
g33 x 3
или
dp i
f =
ds
i
хi=gikxk
Метрический тензор gik - это (математически) правило вычисления длины любого
вектора по значениям его компонент, он описывает свойства пространствавремени в данной точке и используется для описания результатов физических
экспериментов.

6.

4хмерное пространство и тензорное поле
Для ОТО пространство - 4хмерно, т.е. g00=1, g11= g22=g33=-1, остальные равны нулю.
У любого 4-вектора в СТО, какое бы физическое содержание он ни имел, нулевую
компоненту называют временной. Три остальные компоненты называют
пространственными. В совокупности последние образуют трехмерный вектор,
который уже не имеет тензорных свойств относительно перехода между
движущимися системами координат (не инвариантен).
В СТО инвариантом является интервал s, по нему дифференцируют при
нахождении 4-скорости. 4-скорость безразмерна, поэтому для преемственности
домножают на с.
Основное уравнение релятивистской динамики, pi - 4-вектор энергии-импульса:
pi p i = m 2 c 2
Соответственно,
4-сила:
dp i
f =
ds
i
В ОТО используется понятие тензорного поля - каждой точке пространства
соответствует определенное значение некоторого тензора, скалярные
и векторные поля – частные случаи тензорных.
Скалярное поле – функция, заданная в каждой точке пространства,
определяющее ее свойства (задается скаляром); векторное – аналогично
определяет свойства с учетом направления (например, действие силы) (задается
вектором).

7.

Гравитация. Уравнения Эйнштейна
Гравитационный потенциал поля тяготения описывается уравнением
Пуассона:
Соответственно, потенциал определяет потенциальную энергию тела в
поле тяготения, а из нее выводят силу тяготения:
Гравитационное поле в ОТО отождествляется с тензорным метрическим
полем или метрикой четырехмерного пространства-времени.
Стандартной задачей ОТО является определение компонент метрического
тензора, в совокупности задающих метрику пространства-времени, по
известному распределению источников энергии-импульса в рассматриваемой
системе четырехмерных координат.
Знание метрики позволяет рассчитывать движение пробных частиц, что
эквивалентно знанию свойств поля тяготения в данной системе.
Уравнения Эйнштейна связывают между собой свойства материи,
присутствующей в искривлённом пространстве-времени, с его кривизной:
Rμν =
1
g μν R =
8π
T μν
, где Rμν - тензор Риччи, определяет кривизну риманова
c4
пространства, его отличие от евклидова, gμν - метрический тензор, Tμν - тензор
энергии-импульса, R – скалярная кривизна (вторая производная тензора Риччи).
Дифуравнения Эйнштейна связывают 10 гравитационных потенциалов с 10
величинами, описывающими распределение энергии-импульса.
2

8.

Природа гравитации
А.Уиллер: вещество говорит пространству,
как тому искривляться, а пространство
говорит веществу, как тому двигаться.
Согласно теории тяготения Эйнштейна,
истинное гравитационное поле является не чем
иным, как проявлением искривления (отличия
геометрии от евклидовой) четырёхмерного
пространства-времени.
Искривление пространства-времени,
определяется не только массой вещества,
слагающего тело, но и ее распределением, а
также всеми видами энергии, присутствующими
в системе (из принципа эквивалентности массы
и энергии), т.е. зависит от движения масс,
давления и натяжения в телах, всех физических
полей.
Физический вакуум тоже создает гравитацию,
но не притяжения, а отталкивания (из-за
отрицательного давления вакуума).

9.

Аксиомы общей теории относительности
Свойства пространства-времени, определяемые незаряженными и
невзаимодействующими друг с другом пробными частицами и волнами, не
зависят от типа используемых частиц и волн.
Характеристикой пространства-времени является симметричный
метрический тензор , зависящий в общем случае от координат и времени. С
помощью тензора вычисляются различные инварианты, связанные с 4векторами и тензорами.
Квадрат интервала задаёт квадрат длины 4-вектора дифференциала
координат, не зависящий от выбора системы отсчёта.
Пространственно-временные измерения и фиксация метрических свойств
осуществляются с помощью электромагнитных волн, скорость которых
может зависеть от координат и времени в данной системе отсчёта, но не от
скорости излучателей (на малых масштабах возможно нарушение принципа
причинности). При этом для электромагнитных волн интервал всегда равен 0.
Физические свойства вещества и полей, кроме гравитационного поля,
задаются соответствующими тензорами плотности энергии-импульса.
Имеются дополнительные условия, с помощью которых задаётся
необходимое для расчётов количество соотношений для сдвигов и поворотов
сравниваемых систем отсчёта, скоростей их движения друг относительно
друга, и учитывающие свойства симметрии систем отсчёта.

10.

Аксиомы теории гравитации
Свойства гравитационного поля задаются скоростью распространения
гравитационного воздействия, равной скорости света и зависящей в общем
случае от координат и времени, а также невырожденным метрическим
тензором второго ранга .
Гравитационное поле сводится к геометрическому искривлению
(деформации) пространства-времени, вызываемого источниками вещества и
любым негравитационным полем. Степень искривления пространства-времени
фиксируется тензором кривизны Римана-Кристоффеля, являющимся функцией
от метрического тензора и его производных первого и второго порядка по
координатам и времени. Путём свёртки с метрическим тензором из тензора
Римана-Кристоффеля образуются тензор Риччи и скалярная кривизна.
Гравитационное ускорение сводится к градиентам от метрического тензора,
то есть к скорости изменения компонент метрического тензора в пространстве
и времени.
Свойства материи, определяемой как вещество и негравитационные поля,
задаются тензором плотности энергии импульса .
Связь между гравитационным (метрическим) полем, задаваемым
метрическим тензором через кривизну пространства-времени, и материей
определяется уравнением для метрики:
Λ – космологическая постоянная.

11.

Следствия общей теории относительности
Дополнительный сдвиг перигелия орбиты
Меркурия по сравнению с предсказаниями
механики] - Меркурий движется не просто по
эллипсу, а по эллипсу, который сам медленно
поворачивается (прецессия перигелия Меркурия
– полный оборот за 3 млн. лет).
Отклонение светового луча
в гравитационном поле Солнца: α=1,75”
Гравитационное красное смещение, или
замедление времени в гравитационном поле:
изменения частоты света по мере удаления от
массивных объектов, сдвиг спектральных линий
в красную область спектра: Δν gh
= 2
ν
c
Отклонение и запаздывание (эффект Шапиро)
электромагнитных волн в гравитационном поле
массивных тел - в поле тяготения
электромагнитные сигналы
идут дольше:
α

12.

Теории гравитации
Стандартные теории
Альтернативные теории
гравитации
гравитации
Классические
Классическая физика
Теория гравитации Лесажа
Теория тяготения
Модифицированная
Ньютона
ньютоновская динамика
Релятивистская физика
(MOND) [9]
Общая теория
Релятивистские
относительности
Ковариантная теория гравитации
Лоренц-инвариантная теория
Математическая
гравитации
формулировка
Максвеллоподобные
общей теории
гравитационные уравнения
относительности
Метрическая теория
Гравитоэлектромагн
относительности
Сильная гравитация
етизм
Релятивистская теория
Принципы
гравитации
Принцип
Гравитация с массивным
эквивалентности сил
гравитоном
гравитации и инерции Телепараллелизм
Теория Нордстрёма
Принцип Маха
Теория Бранса — Дикке
Геометродинамика
Биметрические теории
гравитации
Несимметричные теории
гравитации
Теория гравитации Уайтхеда
Теория Эйнштейна — Картана
Квантовые теории
Единые теории поля
гравитации
Многомерные
Каноническая
Общая теория
квантовая
относительности в
гравитация
многомерном
Петлевая
пространстве
квантовая
Теория Калуцы —
гравитация
Клейна
Полуклассическая
Струнные
гравитация
Теория струн
Причинная
Теория суперструн
динамическая
М-теория
триангуляция
Прочие
Евклидова
Исключительно
квантовая
простая теория
гравитация
всего
Уравнение Уилера
Общее поле
— ДеВитта
Индуцированная
гравитация
Некоммутативная
геометрия