Колебания. Вынужденные колебания. Резонанс

1.

Колебания
Вынужденные колебания. Резонанс
Линейный осциллятор при наличии трения и действии внешних сил
F F0 cos t
F
– внешняя сила
Уравнение движения
& kx bx& F0 cos t
mx&
&
x& 2 x& 02 x
F0
cos t
m
:m
b
k
, 02
2m
m
– уравнение вынужденных колебаний
Согласно теории дифференциальных уравнений решение имеет вид
x (t ) x0 (t ) x1 (t )
x0(t) – общее решение однородного уравнения
x1(t) – частное решение неоднородного уравнения

2.

Колебания
Вынужденные колебания. Резонанс
x0 Ae t cos( t ) 0
x (t ) x1 (t )
– установившиеся колебания
Уравнение вынужденных колебаний преобразуем к комплексному виду
x 2 x 02 x ( F0 m) e i t
Решение ищем в виде
x Ae i t
Ae i t ( 2 2i 02 ) ( F0 m)e i t
F0
F0 02 2 2i
1
A
2
2
m 0 2i m ( 02 2 ) 2 4 2 2

3.

Колебания
Вынужденные колебания. Резонанс
A A0ei
A0
F0
m
tg
1
( 02 2 ) 2 4 2 2
2
2 02
x A0 e i ( t )
– комплексное решение
x A0 cos( t )
– действительное решение

4.

Колебания
Вынужденные колебания. Резонанс
Малое затухание
= 0
= 0
Случай 1
F
F
A0 0 2 0 , 0
m 0 k
Характер движения определяет сила упругости,
влияние силы трения и инертности мало
0
&
x& 2 x& 02 x
x
F0
cos t
k
F0
cos t
m

5.

Колебания
Вынужденные колебания. Резонанс
Малое затухание
Случай 2
= 0
? 0
F
A0 0 2 ,
m
Характер движения определяет инертность,
влияние силы упругости и силы трения мало
0
&
x& 2 x& 02 x
x
F0
cos t
m
F0
cos t
2
m

6.

Колебания
Вынужденные колебания. Резонанс
Малое затухание
0
Случай 3
= 0
Случай резонанса
F 1
A0 0
,
m 2 0
2
Характер движения определяет сила трения,
сила упругости обеспечивает ускорение системы
0
&
x& 2 x& 02 x
x
F0
cos t
m
F0
sin 0t
2m 0

7.

Колебания
Вынужденные колебания. Резонанс
Резонансные характеристики осциллятора
Добротность
A02
2
A0рез
Q
1 2
A0рез
2
2
A0стат
( ) рез
Резонансная кривая
Aстат
F F0 0
2
0
:
2
m
k
2 2 T
0
Q
0
Aрез
N e
– добротность

8.

Колебания
Вынужденные колебания. Резонанс
Резонансные характеристики осциллятора
Избирательность (ширина резонансной кривой)
A02
В окрестности 0
2
0рез
A
2
1
F 1
A02 0 2 2
2
m 4 0 1 ( )
1 2
A0рез
2
2
A0стат
0
( ) рез
ширина резонансной кривой
( ) рез 2
0
Резонансная кривая
( ) рез
0
Q