Игровые стратегии

1.

1. Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две
кучки камней, в первой из которых 3, а во второй — 6 камней. У
каждого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок или удваивает число камней в
какой-то куче, или добавляет 2 камня в какую-то кучу. Выигрывает
игрок, после хода которого общее число камней в двух кучах становится не менее 24 камней. Кто выигрывает при безошибочной игре
обоих игроков — игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего
игрока? Ответ обоснуйте.

2.

Определим,
что
нам
известно
из
условия
задачи:
Два игрока
Две кучки камней: по 3 и 6 камней соответственно.
Ход: удвоить число камней или добавить 2 камня в какую-то кучу
Выигрыш: игрок, после хода которого сумма камней в двух кучах S ≥ 24

3.

Требуется найти:
Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков — игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход?
Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.

4.

Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков — игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход?
* Безошибочная игра подразумевает, что игрок не будет
невыгодные для себя ходы, т.е. «поддаваться» противнику.
делать
Решение можно производить как в форме дерева, так и в виде таблицы.
Рассмотрим оба варианта.

5.

В таблице указано количество камней в 2-х кучах и соответствующие
ходы игроков
2 ход
3 ход
4 ход
5 ход
I-й игрок
II-й игрок (все
варианты хода)
I-й игрок
(выигрышный ход)
II-й игрок (все
варианты хода)
I-й игрок (один из
вариантов)
5,6
5,8
7,8
14,8
28,8
9,8
18,8
7,16
7,32
7,10
7,20
7,6
7,8
Те же варианты четвёртого и пятого ходов.
5,12
5,24
Первый игрок выиграл.
10,6
20,6
Первый игрок выиграл.
Из таблицы, в которой записаны все возможные варианты хода для второго игрока, видно,
что при любом ответе у первого игрока имеется ход, приводящий к победе.

6.

3. Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки камней,
в первой из которых 3, а во второй — 2 камня. У каждого игрока неограниченно много камней.
Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. Ход состоит в том, что игрок или удваивает
число камней в какой-то куче, или добавляет 3 камня в какую-то кучу. Игра завершается в тот
момент, когда количество камней в одной из куч становится не менее 14. Если в момент завершения игры количество камней в одной из куч не менее 21, то выиграл Ваня, в противном
случае — Петя. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков? Каким должен быть
первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.

7.

4. Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки камней,
в первой из которых 3, а во второй — 4 камня. У каждого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. Ход состоит в том, что игрок или
удваивает число камней в какой-то куче, или добавляет 3 камня в какую-то кучу. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в одной из куч становится не менее 16. Если в
момент завершения игры общее число камней в двух кучах не менее 24, то выиграл Ваня, в
противном случае — Петя. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.

8.

5. Два игрока, Петя и Вася, играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки камней,
в первой из которых 4, а во второй — 3 камня. У каждого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. Ход состоит в том, что игрок или
удваивает число камней в какой-то куче, или добавляет 4 камня в какую-то кучу. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в одной из куч становится не менее 20. Если в
момент завершения игры общее число камней в двух кучах не менее 28, то выиграл Вася, в
противном случае — Петя. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков? Каким
должен быть первый ход выигрывающего игрока?