Преобразование подобия

1.

КРУЖОК ПО
ГЕОМЕТРИИ
Январь, 2018
9 КЛАСС
Занятие 5.
Преобразование подобия
А. Блинков, г. Москва
w w w. m c c m e. r u

2.

Январь, 2018
Пример 1
Являются ли подобными:
а) два прямоугольника, отличных от квадрата: картина
в рамке и картина без рамки, если ширина рамки
всюду одинакова (см. рис);
б) литровая и пол-литровая бутылки колы?

3.

Январь, 2018
Пример 2
Докажите, что два четырехугольника подобны, если
у них соответственно равны три угла и углы между
диагоналями.

4.

Январь, 2018
Пример 2
Решение.

5.

Январь, 2018
Задача 1
Каждый из двух подобных треугольников разрезали на
два треугольника так, что одна из получившихся частей
одного треугольника подобна одной из частей другого
треугольника. Обязательно ли подобны оставшиеся
части?

6.

Январь, 2018
Задача 1
Решение.

7.

Январь, 2018
Задача 2
Через произвольную внутреннюю точку Р стороны АС
треугольника АВС проведены прямые, параллельные
его медианам AA' и СС'. Эти прямые пересекают
стороны ВС и АВ в точках Е и F соответственно.
Докажите, что отрезок ЕF делится медианами AA’ и СС’
на три равные части.

8.

Январь, 2018
Задача 2
Решение.

9.

Январь, 2018
Задача 3
Во вписанном четырехугольнике АВСD точка М лежит
на стороне AD, причем BM ǁ CD и CM ǁ BA. Найдите ВС,
если АМ = а, DM = b.

10.

Январь, 2018
Задача 3
Решение.
Способ I

11.

Январь, 2018
Задача 3
Решение.
Способ II

12.

Январь, 2018
Задача 4
В трапеции АВСD с основаниями ВС = а и AD = b
проведен отрезок LN = ab с концами на боковых
сторонах. Докажите, что он разделил трапецию на две
подобные.

13.

Январь, 2018
Задача 4
Решение.

14.

Январь, 2018
Задача 5
Трапеция разделена на три трапеции прямыми,
параллельными основаниям. Известно, что в каждую
из трех получившихся трапеций можно вписать
окружность. Найдите радиус окружности, вписанной
в среднюю трапецию, если радиусы окружностей,
вписанных в две крайние, равны R и r.

15.

Январь, 2018
Задача 5
Решение.

16.

Январь, 2018
Задача 6
Внутри квадрата ABCD взята точка Е, ET – высота
треугольника АВЕ, K – точка пересечения прямых DT и
AE, М – точка пересечения прямых СТ и ВЕ. Докажите,
что отрезок KМ является стороной квадрата,
вписанного в треугольник АВЕ.

17.

Январь, 2018
Задача 6
Решение.

18.

Январь, 2018
Задача 7
Вписанная окружность треугольника ABC касается его
сторон ВС, АС и АВ в точках A', B' и C' соответственно.
Точка K – проекция точки C' на прямую A'B'. Докажите,
что KC' – биссектриса угла AKB.

19.

Январь, 2018
Задача 7
Решение.

20.

Январь, 2018
Задача 8
Докажите, что существует такой невыпуклый
шестиугольник, у которого каждый угол равен либо
90°, либо 270°, что его можно разрезать на два
подобных
ему
и
неравных
между
собой
шестиугольника.

21.

Январь, 2018
Задача 8
Решение.