Теорема Безу. Схема Горнера

1. Теорема Безу Схема Горнера

Спиридонова В.Л.
ГОУ СПО «Каргопольский педагогический колледж»
Отделение «Математика», 2 курс

2. Теорема Безу

( f ( x) A[ x])
Безу Этьенн
(31.3.1739-27.9.1783)
французский математик
( ! g ( x) A[ x], !с A)
f ( x) ( x ) g ( x) c
,
с f ( )
линейный множитель
частное
остаток

3. Схема Горнера

Горнер Вильямc
Джордж
Схема Горнера
(1786-22.9.1837)
английский
математик
f ( x) ( x ) g ( x) c, c f ( )
f ( x) an x n an 1 x n 1 ... a1 x a0
g ( x) bn 1 x n 1 bn 2 x n 2 ... b1 x b0
an
an 1
an 2
…
bn 1 bn 2 bn 1 an 1 bn 3 bn 2 an 2 ...
Коэффициенты многочлена g(x)
a1
a0
b0 b1 a1 c b0 a0

4.

1. Используя схему Горнера, разделить в кольце К многочлен f ( x) на
линейный двучлен
x
1.) К=Z[x] , f(x)= x4 - 2x3 + 4x2 -6x + 8,
1
1
1
2
1
f(x)= (x-1)(x3 – x2 + 3x – 3)+ 5
=1
4
6
8
3
3
5

5.

1. Используя схему Горнера, разделить в кольце К многочлен f ( x) на
линейный двучлен x
2.) К=Z[x] , f(x)= x4 - 3x3 + x -1,
2
=2
1
3
0
1
1
1
1
2
3
7
f(x)= (x - 2)(x3 + x2 - 2x - 3) - 7

6.

1. Используя схему Горнера, разделить в кольце К
многочлен f (x) на линейный двучлен x
3 .) К=Z[x] , f(x) = 3x3 - 2x2 - x , = -2
2
3
2
1
0
3
8
15
30
f(x)= (x+2)(3x2-8x+15) - 30

7.

Вспомним:
Тема «Классы вычетов по модулю m»
Z m 0,1, 2,..., m 1
a b a b(mod m)
a b a b
a b ab
а b(mod m) r1 r2 ,
a mg1 r1 ,0 r1 m ,
b mg 2 r2 ,0 r2 m

8.

1. Используя схему Горнера, разделить в кольце К
многочлен f (x) на линейный двучлен x
4.)
K Z5 x , f ( x) x 4 3 x3 3x 2, 2
2
1
3
0
3
1
0
0
3 2
f ( x) ( x 2)( x 3 2) 1
2
4 1

9.

1. Используя схему Горнера, разделить в кольце К многочлен f
на линейный двучлен x
i2 =-1
5.) К Сх[ x], f ( x) 3x5 ix 4 (1 i) x 2 2 i, 1 2i
3
1 2i
3
i
0
3 7i 11 13i
1 i
35 8i
0
2 i
19 87i 153 124i
f ( x) ( x 1 2i)(3x 4 ( 3 7i) x3 ( 11 13i) x 2 (35 8i) x (19 87i) 153 124i

10.

2. Используя схему Горнера, вычислить f( )
К=Z [x] , f(x)=2x5 - 4x4 - 7x3 + 5x2 - 5x + 2 , = 3
3
2
-4
-7
5
-5
2
2
2
-1
2
1
5
f(3)=5

11.

3. Используя схему Горнера, составить таблицу значений многочлена и
найти его корни : f ( x) x5 3x3 4x 1, f ( x) Z
7
Z7 0,1, 2, 3, 4, 5, 6
1
0
3
0
4
1
0
1
0
3
0
4
1
f (0) 1
1
1
1
2
2
2
1
f (1) 1
2
1
2
1
2
1
1
f (2) 1
3
1
3
6
4
2
5
f (3) 5
4
1
4
2
0
f ( 4) 0
5
1
5
f (5) 4
6
1
6
6
3
1
5
1
4
5
2
2
4
f ( 6) 4

12.

4. Используя схему Горнера, определить кратность корня многочлена
f(x) и разложить многочлен на соответствующие множители:
1.)f(x)= x5 - 5x4 + 7x3 - 2x2 + 8x2 + 4x - 8 , = 2

13.

4. Используя схему Горнера, определить кратность корня многочлена f(x) и
разложить многочлен на соответствующие множители:
2.)f(x)=x5 + 7x4 + 16x3 + 8x2 - 16x - 16,
=-2
1
7
16
8
-16
-16
-2
1
5
6
-4
-8
0
-2
1
3
0
-4
0
-2
1
1
-2
0
-2
1
-1
0
-2
1
-3
f ( x) ( x 2)
f ( x) ( x 2) 2
f ( x) ( x 2)3
f ( x) ( x 2) 4
f ( x) ( x 2)
5
f ( x) ( x 2) 4 ( x 1)

14.

4. Используя схему Горнера, определить кратность корня многочлена f(x)
и разложить многочлен на соответствующие множители:
3.)f(x)=x10 - x9 - 3x8 + 4x7 + 2x6 - 6x5 + 2x4 + 4x3 - 3x2 – x + 1, 1 = 1 2= -1
1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
0
1
2
3
4
2
1
0
-1
-3
-3
-2
0
3
7
1
0
0
1
4
1
-1
-1
2
9
1
1
1
0
2
3
2
1
3
12
2
1
0
-6
-3
-1
0
3
15
1
0
2
-1
-2
-2
1
16
0
4
3
1
-1
0
-3
0
1
0
-1
-1
0
1
0

15.

5.При каких условиях первый из данных многочленов делится на
второй ?
1.)f(x)= ax4 + 5x3 + (5 - a)x2 - ax - b ,
(x + 2)(x - 1)
a
5
5-a
-a
-b
-2
a
-2a + 5
3a - 5
-7a +10
14a – 20 - b
1
a
-a + 5
2a
-5a + 10
a=2,b=8

16.

5.При каких условиях первый из данных многочленов делится на второй ?
2.)f(x)= ax4 - bx3 + 1,
(x + 1)2
a
-b
0
0
1
-1
a
-a - b
a+b
-a - b
a +b + 1
-1
a
-2a - b
3a + 2b
-4a -3b
a = 3 , b = -4

17. Задание для самостоятельной работы

1. Используя схему Горнера, разделить в кольце К
многочлен f (x) на линейный двучлен :
1) К=Z[x] , f(x)= x4- 3x3 + x -1,а= 2
2) К= Z5[x], f(x) =x4+ x3- x + 1,а= 3
3) К= С[x] , f(x)= 4x3+x2, а=-1- I

18. Задание для самостоятельной работы

2. Используя схему Горнера, определить
кратность корня многочлена f(x) и разложить
многочлен на соответствующие множители:
1.)f(x)= x5 – 5x4 +7x3- 2x2 + 8x2 + 4x - 8 , а = 2
2.) f(x)= x5 +7x4+16x3+8x2 – 16x – 16 ,а =-2
3.)f(x)= x8 -6x7 + 13x6 - 10x5- 9x4 + 32x3 -37x2 + 20 – 4,
а1 =2, а2 = 1