Нелинейные модели

1. Тема 4. Нелинейные модели

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
2
4

2. Темы лекции

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Нелинейная регрессия
• Преобразования переменных
• Экономическая интерпретация
регрессионной модели
1
2
4

3. Направления анализа и развития парной линейной регрессии

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Ключевые точки (начало координат)
Кривая или прямая
Форма криволинейной зависимости
Вспомогательные экономические
показатели (скорость и темп роста,
эластичность)
• Уточнение формы (экстремумы, пределы)
• Сравнение функциональных форм
1
2
4

4. Этапы построения модели

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1. Выбор теоретических предпосылок
2. Формализация предпосылок
3. Построение математической модели
4. Анализ построенной модели
1
2
4

5. Производственная функция Кобба-Дугласа

Производственная функция КоббаДугласа
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Многие экономические процессы не являются
линейными по сути. Их моделирование линейными
уравнениями не даст положительного результата.
1
2
Пример. Производственная функция Кобба – Дугласа
4
Y AK L
Y – объем выпуска; K, L – затраты капитала и труда; ,
– параметры модели.

6. Классы нелинейных регрессий

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Различают два класса нелинейных регрессий:
1. Регрессии, нелинейные относительно
переменных, но линейные по оцениваемым
параметрам.
2. Регрессии, нелинейные по оцениваемых
параметрам.
1
2
4
Регрессии, нелинейные относительно объясняющих
переменных, всегда сводятся к линейным моделям.

7. Классы нелинейных регрессий

0011 0010
1010 1101
Линейная
модель0001 0100 1011
Y 0 1 X 1 2 X 2 3 X 3
Модель, нелинейная по переменным
Y 0 1 X 12 2 X 2 3 log X 3
Z1 X 12 , Z 2 X 2 , Z 3 log X 3
После подстановки модель стала линейной
2
4
Y 0 1Z1 2 Z 2 3 Z 3
Модель, нелинейная по параметрам
1
Y 0 1 X 1 2 X 2 3 4 X 3

8. Линейная модель

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Yi X i i
1
E[Y | X ] X
2
4

9. Линейная модель

E[Y | X ] X
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
E[Y | X ] E[Y | X ]
X
X
Y
E[Y | X 0]
X 1
Если переменная X увеличится на 1, то
Y изменится в среднем на единиц
измерения при прочих равных условиях
1
2
4

10. Моделирование эластичности

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Независимо от вида математической связи
между Y и X эластичность равна:
dY / Y dY / dX
L
dX / X
Y/X
1
2
Y / Y
Y X
X / X X Y
4
Эластичность y по x рассчитывается как
относительное изменение y на единицу
относительного изменения x.

11. Пример расчета эластичности

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Рассмотрим кривую Энгеля:
Y X
где Y – спрос на товар, X – доход. Имеем:
1
1
dY
/
dX
X
Эластичность =
,
1
Y/X
X
Y 0,01X
2
4
0,3
Например для модели
эластичность
спроса по доходу равна 0,3. Иными словами,
изменение дохода (X) на 1% вызывает изменение
спроса (Y) на 0,3%

12. Эластичность – переменная величина

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Эластичность не всегда бывает постоянной
для различных значений X и Y
Например, для линейной модели
1
2
4
dY / dX
X
L
Y/X
Y/X
Y

13. Средний коэффициент эластичности

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Средний коэффициент эластичности L
показывает, на сколько процентов в среднем по
совокупности изменится результат Y от своей
средней величины при изменении фактора X на
1% от своего среднего значения
1
X
L f ( X )
Y
2
4

14. Логарифмическая форма

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
i i
Yi ' X
1
2
Прологарифмировав обе части уравнения,
получим
4
ln Yi ln X i i

15. Логарифмическая форма

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
ln Yi ln X i i
Интерпретация коэффициента регрессии – эластичность
зависимой переменной по объясняющей переменной
dY
dX
dY / Y
Y
X
dX / X
Коэффициент при объясняющей переменной показывает,
на сколько процентов меняется в среднем Y при возрастании
X на 1%. ППРУ
Логарифмическую форму следует использовать там, где
есть основание предполагать постоянство эластичности
1
2
4

16. Логарифмическая форма

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
ln Yi ln X i i
Вычисление наклона (скорости роста)
dY
Y
dX
X
1
2
4
Наклон постоянно меняется с изменением
номера наблюдения

17. Графики логарифмической формы зависимости

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
2
4

18. Логарифмически-линейная форма

ln Yi X i i
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Эластичность растет с ростом Y:
dY
YdX
dY X
YX
L
X
dX Y
Y
1
2
Это указывает на класс зависимостей, где следует
применять линейно-логарифмическую форму регрессии
4
Моделирование эффектов насыщения на уровне скорости
роста: «возрастание с возрастающей скоростью»
Примеры: кривые Энгеля для товаров роскоши, моделирование
оплаты труда (процентная надбавка за стаж и опыт)

19. Логарифмически-линейная форма

Графики логарифмически-линейной
формы зависимости
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Y
y x
>1
1
4
0< < 1
0
2
X

20. Графики логарифмически-линейной формы зависимости

Логарифмически-линейная форма
от времени
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
ln Yi ti i
Вид уравнения:
Интерпретация:
ti i
Yi e e e
dY
t
Y
1
2
4
Коэффициент при переменной времени выражает темп
прироста. Он показывает на сколько процентов (если
умножить его на 100) возрастает Y ежегодно
Эту функциональную форму удобно использовать для
моделирования процессов экономического роста

21. Логарифмически-линейная форма от времени

Преобразование случайного
отклонения
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
МНК применяется к преобразованным (линеаризованным)
уравнениям. Поэтому необходимо особое внимание уделять
рассмотрению свойств случайных отклонений –
выполнимости предпосылок теоремы Гаусса-Маркова.
Пример.
Y X
ln( )
1
2
4
ln Y ln( X )
Логарифмирование нелинейной модели с аддитивным
случайным членом не приводит к линеаризации
соотношения относительно параметров.

22. Преобразование случайного отклонения

Сравнение различных моделей
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1. Содержательный анализ
2. Формальный анализ:
• Метод Зарембки
• Преобразование Бокса-Кокса
1
2
4

23. Сравнение различных моделей

Метод Зарембки
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Применим для выбора из двух форм
(несравнимых непосредственно), в одной
из которых зависимая переменная входит с
логарифмом, а в другой – нет
1
2
4
Метод позволяет сравнить линейную и
логарифмическую регрессии и оценить
значимость наблюдаемых различий

24. Метод Зарембки

Сравнение различных моделей парной
регрессии методом Зарембки
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1. Вычисляем среднее геометрическое значений зависимой
переменной и все ее значения делим на это среднее:
n
Yi Yi / n Y1Y2 Yn Yi / e
1
lnYi
n i 1
1
2. Рассчитываются линейная и логарифмическая
регрессии, и сравниваются значения их сумм квадратов
остатков (ESS)
2
4
Yi 1 1 X i i ( RSS1 ) ln Yi 2 2 ln X i i ( RSS 2 )

25. Сравнение различных моделей парной регрессии методом Зарембки

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
3. Вычисляем 2-статистику для оценки значимости
различий
RSS1
N
ln
RSS 2
2
2
1
2
4
4. Сравниваем с критическим значением
2
2
-распределения ; k . Различия значимы на уровне
значимости , если
2
2
; k

26. Сравнение различных моделей парной регрессии методом Зарембки

Метод Бокса-Кокса
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Идея метода. Переменная
Y 1
:
при =1 превращается в линейную функцию
при 0 переходит в логарифм
Y 1
Y 1
1
1
2
4
ln Y
Плавно изменяя , можно постепенно перейти от линейной
регрессии к логарифмической, все время сравнивая качество

27. Метод Бокса-Кокса

Сравнение различных моделей парной
регрессии методом Бокса-Кокса
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1. Преобразуют зависимую переменную по методу
Зарембки:
n
Yi Yi / n Y1Y2 Yn Yi / e
1
1
lnYi
n i 1
2
4
2. Рассчитывают новые переменные (преобразование
Бокса-Кокса) при значениях от 1 до 0:
Yi
( B C )
Yi 1
X
( B C )
i
X i 1

28. Сравнение различных моделей парной регрессии методом Бокса-Кокса

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
3. Рассчитывают уравнения регрессии для новых
переменных при значениях от 1 до 0:
Yi
( B C )
X
( B C )
i
i
1
2
4
4. Определяют минимальное значение суммы
квадратов остатков (SSR).
5. Выбирают одну из крайних регрессий, к которой
ближе точка минимума.

29. Сравнение различных моделей парной регрессии методом Бокса-Кокса

Вопросы для самопроверки
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Какие вы знаете виды нелинейных моделей.
Какие вы знаете нелинейные методы оценивания.
Как определять эластичность.
Что такое предельные эффекты переменных.
Основные способы линеаризации моделей.
Какие вы знаете типы производственных функций.
Как выбрать между линейной и логарифмической моделями.
Экономический смысл коэффициентов линейной модели.
Экономический смысл коэффициентов логарифмической
модели
Экономический смысл коэффициентов полулогарифмической
модели.
1
2
4