Кватернионы в криптографии

1.

Кватернионы
в криптографии
Введение

2. Что такое кватернионы?

Кватернио́ны (от лат. quaterni,
по четыре) — система
гиперкомплексных чисел,
образующая векторное
пространство размерностью
четыре над полем
вещественных чисел. Обычно
обозначаются H. Предложены
Уильямом Гамильтоном в 1843
году.
2

3. Где они используются?

Кватернионы удобны для описания изометрий
трёх- и четырёхмерного евклидовых
пространств, и поэтому получили широкое
распространение в механике. Также их
используют в вычислительной математике,
например, при создании трёхмерной графики.
3

4. Как представляются кватернионы?

Комплексные числа представляются в
виде пары чисел. Кватернион же может
быть представлен аналогичным образом,
но уже парой из двух комплексных чисел.
p p0 p1i
Q
q q0 q1i
или
Q = p0 + ip1 + jq0 + kq1.
4

5. Кватернион вращения

Этот кватернион имеет единичную норму (N=1) и может
быть задан в «полярном» виде как
Тогда двустороннее преобразование Y = Q”XQ
(*)
описывает вращение вектора X {0,x1 ,x2 ,x3 } вокруг
единичной оси {α, β, γ} на угол 2φ.
Матрицу 4-D вращения можно записать как
R=(1/cos φ)M
1 t t t
t 1 t t
или:
R (1 / cos ) M Q
t t 1 t
,где t = tg φ.
t
t
t
1
В частности можно принять ti=2-i
5

6. QES-алгоритм

Сообщение представляются как последовательность кадров,
содержащих три 3-х-мерных вектора. Каждый вектор в
кадре шифруется одним и тем же двусторонним
преобразованием (*) путем умножения его на некоторый
кватернион с одной стороны и на его инверсию - с другой:
B q 1 Bq
1
B
(
(
q
))
B
Дешифрование является обратной операцией
Инверсия ортогональной матрицы совпадает с ее
транспонированной, т.е.
1
( (q )) (q )
Кватернион представляется гиперкомплексным числом
q w xi yj zk (w ,V )
6

7. Детали QES

Преобразование может быть представлено
односторонним матрично-векторным
произведением: B (q )B , i 1,3
i
i
2(xz wy )
| q |2 2( y 2 z 2 ) 2(xy wz )
1
2
2
2
| q | 2(x z ) 2( yz wx )
где (q ) | q |2 2(xy wz )
2(xz wy )
2( yz wx )
| q |2 2(x 2 y 2 )
и
| q | w x y z
2
2
2
2
7

8. QES-алгоритм, ориентированный на аппаратную реализацию (HW-QES).

В модификации M-QES применяется
кватернион с компонентами:
m 1
w 2 1, m 2k 1, x 2 ,
m
m i
y 2
2
i
, z 2 i ,
| d |2 (2m 1) 2 (1 2 2 i ), , , { 1,1}, K k 0,
| i | I
Тогда матрица шифрования примет вид:
(d )
(2m 1) 2 22 m 2i 2m 1 2i 2 2i 23( m 1) / 2 2i (2m i 1 2 i 1 ) 2m 2i 1 (2m 1)2( m 3) / 2 i
1
23( m 1) / 2 2i (2m i 1 2 i 1 ) (2m 1) 2 2m 1 2i 22 m 2i 2 2i 2( m 3) / 2 2i 2 i m 1 (2m 1)
| d |2
m 2i 1
(2m 1)2( m 3) / 2 i 2( m 3) / 2 2i 2 i m 1 (2m 1) (2m 1) 2 2 2i 22 m 2i 2m 1 2i
2
8