Электротехника. Классический метод анализа переходных процессов. (Лекция 12)

1.

Кубанский государственный технологический университет
Институт компьютерных систем и информационной безопасности
Кафедра компьютерных технологий и информационной
безопасности
Учебная дисциплина
Электротехника
Лекция № 12
Классический метод анализа
переходных процессов

2.

Учебные вопросы:
1. Причины возникновения переходных процессов. Законы
коммутации.
2. Переходные процессы в цепи постоянного тока с одним
реактивным элементом.
3. Разряд емкости на RLC - цепь.
Литература:
Литература
1. Зевеке Г.В., Ионкин А.В., Нетушил А.В.,Страков С.В. Основы теории
цепей: Учебник для вузов, - М.: Энергоатомиздат, 1999 г, с. 234 – 249
2. Бакалов В.П., Игнатов А.Н., Крук Б.И. Основы теории электрических
цепей и электроники: Учебник для вузов, - М.: Радио и связь, 1999 г, с. 103 –
117.
3. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: Учебник для вузов, - М.:
Высшая школа, 2003 г, с. 37 –83.

3.

1. Причины возникновения переходных процессов.
Законы коммутации.
При анализе процессов в ЭЦ приходится иметь дело с
двумя режимами их работы: установившимся
(стационарном) и переходном (динамическом).
Физической причиной возникновения переходных процессов в цепях
является наличие реактивных элементов, в которых накапливается
энергия магнитного и электрического поля.
При различного рода воздействиях (подключении к цепи или отключении
источников энергии, изменении параметров цепи) изменяется
энергетический режим работы цепи, причем эти изменения не могут
осуществляться мгновенно в силу непрерывности изменения энергии
электрического и магнитного полей, что и приводит к возникновению
переходных процессов.
Ключ замкнут R = 0
Кл
Ключ разомкнут R =
Переходные процессы в цепи описываются однородными (если цепь не
содержит источников энергии) или неоднородными (если цепь содержит
источник энергии) линейными дифференциальными уравнениями (ЛДУ).

4.

Методы расчета переходных процессов
Классический
Операторный
Частотный
Используются
Сводится к решению
алгебраических операторных частотные методы
анализа ЭЦ
уравнений цепи
Классический метод обладает наглядностью и удобен для анализа и расчета
простых цепей, операторный – упрощает расчет сложных цепей.
Сводится к решению
НЛДУ (ОЛДУ)
Методика расчета переходных процессов
классическим методом
1. Составить ЛДУ n – го порядка (в общем случае – неоднородное
ЛДУ) относительно независимой переменной (в качестве которой
может быть выбран ток iL или напряжение uC), описывающей
состояние цепи после коммутации.
n
n 1
d y
d y
dy
an n an 1 n 1 ... a1
a0 y f (t )
dt
dt
dt
где аn – постоянные коэффициенты, f(t) – внешнее воздействие (ЭДС, ток),
n – порядок ЛДУ (равен числу разнородных реактивных элементов ЭЦ).

5.

2. Составить общее решение неоднородного ЛДУ в виде
суммы общего решения однородного ЛДУ и частного
решения неоднородного ЛДУ.
y (t ) yСВ (t ) yУСТ (t )
yСВ(t)
– свободная составляющая искомой функции, т.е.
общее решение однородного ЛДУ, полученного при f(t) = 0
(содержит постоянные интегрирования).
yУСТ
(t) – установившаяся составляющая, т.е. частное
решение, представляющее собой вынужденный режим,
задаваемый в цепи внешним источником.
3. В общем решении yСВ(t) – следует найти постоянные
интегрирования из начальных условий, т.е. условий цепи
в начальный момент времени после ее коммутации на
основании законов коммутации.

6.

Законы коммутации утверждают, что
и напряжение на емкости
ток в индуктивности
не могут изменяться скачком.
Первый закон коммутации связан с непрерывностью изменения магнитного
поля катушки индуктивности WL = Li2/2 и гласит: в начальный момент
времени t = 0+ непосредственно после коммутации ток в
индуктивности имеет то же значение, что и в момент времени
t = 0- , до коммутации и с этого момента плавно изменяется
iL (0 ) iL (0) iL (0 )
Второй закон коммутации связан с непрерывностью изменения электрического
поля емкости WC = Cu2/2 и гласит: в начальный момент времени t = 0+
непосредственно после коммутации напряжение на емкости
имеет то же значение, что и в момент времени t = 0- до
коммутации и с этого момента плавно изменяется
uC (0 ) uC (0) uC (0 )
di
u L (t ) L
dt
Производные могут
изменяться скачком
du
iC (t ) C
dt

7.

2. Переходные процессы в цепи постоянного тока с одним
реактивным элементом
2.1. Подключение источника постоянной ЭДС к RL - цепи
В момент времени t = 0 коммутация и
R
Кл
i(t)
начало переходного процесса.
В качестве независимой переменной
uR(t) uL(t) L выберем ток i(t) = iL(t)
E
u R (t ) u L (t ) E
E
i,u
uR(t)
E/R
i(t)
uL(t)
E/e
di
iR L
E
dt
Свободная составляющая – общее решение
diСВ
R
pt
L
RiCВ 0; iСВ А e , p
dt
L
Частное решение – постоянный ток iУ =Е/R
Общее решение – неоднородного ЛДУ
t i (t ) iСВ (t ) iУ (t ) A e
t
Е
E
А
R
R
2
3
t
t
t
R
t
t
di
E
1
E
E
L
i (t ) (1 e ) (1 e ) u L (t ) L L e E e u (t ) E (1 e )
R
R
R
dt
R

8.

L
, c
R
Чем больше постоянная времени , тем медленнее
затухает переходный процесс и наоборот.
Постоянная времени служит практической мерой продолжительности
переходного процесса, так как теоретически переходный процесс длится
бесконечно долго и позволяет сравнивать различные цепи в отношении
времени стационарного (установившегося) режима.
На практике считают переходный процесс законченным при t = 3 , при
этом напряжение или ток достигают 95% от своего установившегося
значения. Графически может быть определена как интервал времени
на оси t от 0 до точки пересечения касательной к uL , при этом
напряжение на uL уменьшится в e (е = 2,7 ) раз.
di
L Ri E
dt
dny
d n 1 y
dy
an n an 1 n 1 ... a1 a0 y f (t )
dt
dt
dt
an
a0
Вывод: В цепях постоянного тока при нулевых начальных условиях в
момент времени t = 0+ индуктивность ведет себя как бесконечно
большое сопротивление (аналог – разрыва цепи), а при t = как
бесконечно малое сопротивление (короткое замыкание цепи).

9.

2.2. Короткое замыкание RL - цепи
К моменту коммутации в цепи была
R i(t) запасена энергия магнитного поля W =Li2/2.
Ненулевые
E
i ( 0)
начальные условия
uR(t) u (t)
R0
E
Кл
i (t ) iСВ (t ) A e
Решение ОЛДУ
E R
R0 R
u,i
E
R0 R
0
t
di
L
Ri 0
Однородное ЛДУ
dt
Постоянную интегрирования А находим из
начальных условий и закона коммутации.
i ( 0 ) i ( 0)
E
E
i (0 ) A; A
R0 R
R0 R
t
E
L
Ток в цепи после коммутации iL (t )
e ;
uR
R0 R
R
i(t)
uL(t)
E R
R0 R
R0 R
L
L
Ток в катушке индуктивности после
t коммутации поддерживается за счет
запасенной магнитной энергии
di
E
u L (t ) L
e
dt
R0 R
t
Вывод: При ненулевых
начальных условиях
индуктивность ведет себя как
источник тока

10.

2.3 Подключение источника постоянной ЭДС к RC - цепи
В качестве переменной выберем напряжение на конденсаторе u(t) = uC(t)
В момент времени t = 0 коммутация
и начало переходного процесса.
R
Кл
i(t
)
uR(t) u (t)
C
E
C
i (t ) iC (t ) C
duC
RC
uC E
dt
u R (t ) uС (t ) E
E
i,u
uC(t)
Свободная составляющая – общее решение
E/R
E/e
uR(t)
i(t)
uC (t ) E E e
t
RC
2
А Е
3
t
duC (t )
dt
duСВ
1
pt
RC
uCВ 0; uСВ А e , p
dt
RC
Частное решение – постоянный ток uУ = Е
Общее решение – неоднородного ЛДУ
t uC (t ) uСВ (t ) uУ (t ) A e
t
t
E
t
duC E
E (1 e ) iC (t ) C dt R e u R (t ) E e

11.

RC, c
Чем больше постоянная времени , тем медленнее
нарастает напряжение на емкости и спадает ток.
Вывод: В цепях постоянного тока при нулевых начальных условиях в
момент времени t = 0+ емкость ведет себя как бесконечно малое
сопротивление ( аналог - короткое замыкание цепи), а при t = как
бесконечно большое сопротивление (аналог – разрыва цепи).
R0
2.4 Короткое замыкание RС - цепи
R iЗАР(t)
Ненулевые начальные
Кл
u (0) E
C
E
uR(t)u (t)
С
iРАЗ(t)
Решение ОЛДУ
uC (t ) uСВ (t ) A e
t
+
С
Однородное
ЛДУ
условия
duC (t )
RC
uC (t ) 0
dt
Постоянную интегрирования А находим из
начальных условий и закона коммутации.
uC (0 ) uC (0) E uC (0 ) A; A E
Законы изменения напряжений и тока в цепи после коммутации
t
t
t
duC (t )
E
e
iС (t ) С
С
dt
R
R
u (t ) Е e
u (t ) Еe

12.

Следует обратить внимание, что знак «-» для тока i и напряжения
на резисторе R указывает на то, что ток разряда направлен
противоположно току заряда, т.е. опорному току емкости
u,i
Е
uС
Разряд
Разряд
конденсатора
конденсатора
Скачоктока
тока
Скачок
0
E
R
-Е
t
i(t)
uR(t)
Вывод:
При
ненулевых
начальных условиях емкость
ведет
себя
как
источник
напряжения
Пример: Известно, что форма тока разряда с тела человека близка к
форме переходного процесса RC- цепи с параметрами С = 200 пФ и
R = 1 кОм. Если предположить величину статического потенциала на
теле человека равным 1000 В, и если произойдет короткое замыкание на
тело человека в момент времени t = 0, то величина тока изменится
скачком от 0 до 1 А, что очень опасно. Снижение тока до значения 1 мкА
произойдет не ранее, чем через 276 мкс.

13.

3. Разряд емкости на RLC - цепь.
При наличии в электрической цепи двух независимых накопителей энергии
(L и С) переходные процессы в них описываются дифференциальными
уравнениями второго порядка. Исходное состояние схемы: емкость до
R
Кл
E
i(t
)
uR(t)
С
uL(t)
коммутации была заряжена до напряжения Е
Согласно второму закону Кирхгофа:
u R (t ) u L (t ) uC (t )
duC
i C
L
di (t )
R i (t ) L
uC (t ) 0
dt
dt
+
uC(t)
iРАЗ (t)
d 2uC (t )
duC (t )
LC
RC
uC (t ) 0
2
dt
dt
d 2uC (t ) R duC (t ) 1
uC (t ) 0
2
dt
L dt
LC
d 2uC (t )
duC (t )
2
2
0 uC (t ) 0
2
dt
dt
Вводим
обозначения
R
2L
02
1
LC
Характеристическое уравнение
p 2 2 p 02 0

14.

Характеристическое уравнение
p 2 2 p 02 0
Определим корни этого уравнения
p1, 2
R
R 2 1
( )
2L
2L
LC
2
uC (t ) A e
Общее решение этого
ОЛДУ имеет вид:
R Коэффициент
затухания
2L
2
0
1
LC
2
0
p1t
B e
p2t
Резонансная частота
контура
Рассмотрим три возможных частных случая
I.
Корни действительные и различные
R 2
II.
Корни комплексно сопряженные
R 2
III. Корни действительные и равные
R 2
В контуре при разряде емкости при нулевых начальных условиях
могут возникнуть различные типы переходных колебаний

15.

Апериодический процесс разрядки конденсатора
1. Корни действительные и различные
R 2
2 02
uC (t ) uСВ (t ) A e p1t B e p2t
Решение ОЛДУ
Для определения А и В запишем еще и уравнение тока в цепи
duC (t )
p1t
p2t
i (t ) iC (t ) C
C ( p1 A e p2 B e )
dt
Ep1
Ep2
Воспользовавшись uC (0 ) E uC (0 ) A B
B
A
начальными условиями iC (0 ) 0 iC (0 ) p1 A p2 B
p1 p2
p1 p2
Таким образом, законы изменения тока и напряжений в цепи имеют вид:
E
uC (t )
( p1 e p2t p2 e p1t )
p1 p2
E
iC (t )
(e p2t e p1t )
L( p1 p2 )
di
E
u L (t ) L
( p2 e p2t p1 e p1t )
dt p1 p2

16.

Анализ полученных зависимостей, показывает, что каждая из найденных
величин iC, uC, uL состоит из двух составляющих, затухающих по
экспоненте с коэффициентами составляющих р1 < 0 и р2 < 0.
E
u,i
1
p1
uC(t)
t
ln
1
0
t1
i(t)
uL(t)
-E
t2
p1 p2
p2
t
t 2 2 t1
В период времени от 0 до t1 энергия WC расходуется на
покрытие тепловых потерь в сопротивлении R и
создании магнитного поля в катушке индуктивности L.
Отрицательное значение тока свидетельствует о противоположном
направлении тока разряда относительно опорного направления.

17.

Колебательный процесс разрядки конденсатора
2. Корни комплексно-сопряженные R 2
2 02
p1, 2 02 2 j C
Решение ОЛДУ
uC (t ) uСВ (t ) A e
t
sin( C t )
Закон изменения тока в цепи определяется уравнением
duC (t )
i (t ) C
C ( A e t sin( C t ) C A e t cos( C t ))
dt
Исходя из
uC (0 ) E uC (0 ) A sin
0
C
A
E
начальных
arctg
i
(
0
)
0
i
(
0
)
A
sin
sin
C
C
C
C
условий
Таким образом, законы изменения тока и напряжений в цепи будут иметь вид:
uC (t ) E
i (t ) E
0 t
e sin( C t ) U Cm e t sin( C t )
C
1 t
e sin C t I m e t sin( C t )
C L
u L (t ) E
0 t
e sin( C t )
C

18.

Полученные уравнения показывают, что в данном случае имеет место
колебательный разряд емкости с частотой С , зависящей только от
от параметров RLC - цепи.
u,i
UCm
uC(t)
0
- t t
-
Затухание
е
Затухание е
t
i(t)
Im
uL(t)
-ULm
TС -квазипериод
uC (t )
e TC
uC (t TC )
t t
Затухание
е
Затухание е
Быстроту
затухания
периодического
процесса
принято
характеризовать
декрементом
затухания,
который
определяют как отношение двух соседних
амплитуд тока или напряжения одного знака

19.

Критический процесс разрядки конденсатора
3. Корни действительные и равные R 2
p1, 2
Решение
ОЛДУ
2 02
R
p
2L
uC (t ) uСВ (t ) A e pt A2 t e pt ( A1 A2t ) e pt
Для определения А и В запишем еще и уравнение тока в цепи
i (t ) iC (t ) C
duC (t )
C ( А1 p1 A2 p2 t )е pt
dt
Воспользовавшись
uC (0 ) E uC (0 ) A1
начальными
A2 E
A Е
i
(
0
)
0
i
(
0
)
А
p
A
C
C
1
2
условиями
Таким образом, законы изменения тока и напряжений в цепи будут иметь вид:
uC (t ) E ( t 1) e
R 2
t
)
E
iC (t ) t e t
L
di
u L (t ) L E ( t 1)e t )
dt
Критическое сопротивление контура

20.

Задание на
самостоятельную работу
Литература:
Литература
1. Зевеке Г.В., Ионкин А.В., Нетушил А.В.,Страков С.В.
Основы теории цепей: Учебник для вузов, - М.:
Энергоатомиздат, 1999 г, с. 234 – 249
2. Бакалов В.П., Игнатов А.Н., Крук Б.И. Основы теории
электрических цепей и электроники: Учебник для вузов, М.: Радио и связь, 1999 г, с. 103 – 117.
3. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: Учебник
для вузов, - М.: Высшая школа, 2003 г, с. 37 –83.