Өтпелі процестерді есептеуге Лаплас түрлендіруін қолдану. Операторлық түріндегі Ом және Кирхгоф заңдары

1. Өтпелі процестерді есептеуге Лаплас түрлендіруін қолдану. Операторлық түріндегі Ом және Кирхгоф заңдары. Эквивалентті

операторлық сұлбалар. Жіктеу теоремасы.
Өтпелi процестердi операторлық әдiспен есептеудiң маңызы, ол түпнұсқа
(оригинал деп аталатын) t нақты айнымалы f (t ) функцияны p j
комплекстiк айнымалының F ( p ) функциясымен ауыстырады.
Операторлық F p бейне мен түпнұсқа (оригинал) Лаплас түрлендiруiмен
байланысқан:
F ( p) f t e pt .
f t
0
функциясы Дирихле шартын қанағаттандыруға тиiстi, яғни кез келген
шектi уақыт аралығында f t функция үздiксiз болуға тиiстi және шектi
санды максимумдерiне және минимумдерiне ие болуға тиiстi. F ( p ) бейнеден
f t түпнұсқаға өту Лаплас түрлендiруi көмегiмен iске аса алады:
j
1
f t
F p dp ,
2 j j
мұндағы
-оператор , p - нақты бөлiгi.

2.

Сөйтiп, түрлендiру нәтижесiнде қос бiрмәндiлiктi лайықтылық алынады:
F p f t , f t L 1 F p .
Көптеген функциялар үшiн осындай лайықтылықтар табылып, олар кестеге
жазып толтырылады. Операторлық әдiстi қолдану кезiнде интегралдифференциалдық теңдеулер жүйесi f t түпнұсқаға қатысты алгебралық
теңдеулер жүйесiмен, F ( p ) олардың бейнесiмен ауыстырылады. Сөйтiп,
iздестiрiлетiн дифференциалдық теңдеу жүйесiне алгебралық теңдеулер
сейкес келеді. Осыдан операторлық әдiстiң артықшылығының айқындығы
шығады. Алынған алгебралық теңдеулер жүйелерiн шешу нәтижесiнде,
өтпелi процестiң iздестiрiлетiн электрлiк шамалары – токтардың және
кернеулердiң F ( p ) бейнесiн табады. Содан соң керi түрлендiру көмегiмен
немесе арнайы кесте көмегiмен f t табылады, яғни f t уақыттық
iздестiрiлетiн функция. Электр тiзбектерiне талдау жасау үшiн Лаплас
түрлендiруiнiң ең қажеттi қасиеттерiн қарастырамыз. Сызықты интегралдифференциалдық теңдеулерді шешу Лаплас түрлендiруiн қолдануға,
сызықтық қасиетiне және уақыттық аймағына қатысты дифференциалдау
және интегралдау операцияларын түрлендiруге негiзделген. Сызықтық
қасиетi келесi түрде жазылады:

3.

L af t aL f t aF p ,
мұндағы а – тұрақты коэффициенті,
L f1 t f 2 t L f t L f t F1 p F2 p ,
яғни түпнұсқаны (оригиналды) тұрақты шамаға көбейткенде, сондай-ақ бейне
де осы шамаға көбейтiледi, ал бейне қосындылары, бейнелер қосындысына
тең. Тұпнұскаларды дифференциалдау және интегралдау ( t – аймағында)
операциясына олардың бейнелерiн көбейту және бөлу сияқты қарапайым
операция лайықты (p - аймағында):
d f (t )
L
pF p f 0 ,
dt
t
F p
L f t dt
,
p
0
мұндағы f (0) - функцияның бастапқы мәнi, t 0 кезiнде.
Лаплас түрлендiруiнiң қасиетi, тiзбектер теориясына операторлық
функциялар (кедергiлер және өткiзгiштiктер) және тiзбектiң операторлық
берiлiстiк функциялары түсiнiгiн енгiзуге мүмкiндiк бердi. Бұл кезде
операторлық түрде электр тiзбегiнiң орынбасарлық сұлбасын құру мүмкiн
болады екен, ал сол бойынша, түпнұсқалар (оригиналдар) үшiн интегралдифференциалдық теңдеулер құрылады.

4.

Электр тiзбектерiнiң элементтерi үшiн операторлық теңдеулердiң және
токтардың лездiк мәндерi байланыстыратын тиiстi теңдеулерден алынады. R
кедергiсi бар резистор u R i теңдеумен сипаттамалады, оның бейнесiне
ауысып операторлық теңдеуiн аламыз:
1
I
p
U p GU p .
мұндағы
немесе
I p L i t ,
U p R I p ,
R
Резистор операторлық R кедергiсiмен немесе G өткiзгiштiгiмен сипатталады.
di
u
L
, қатынасымен байланысқан,
Индуктивтiктегi кернеу және ток
dt
осыдан бейнеге ауыса отырып, операторлық теңдеуді аламыз:
1
i p
U p p L I p LiL 0 , немесе I L p
U p L
, мұндағы iL (0) t 0
pL
p
уақыт мезетіндегі ток мәнi. Бұл өрнектерге индуктивтіктің операторлық
баламалы сұлбасы сәйкес келеді индуктивтік операторлық pL
кедергісімен сипатталады ( 1
өткiзгiштiкпен), ал токтың iL 0 бастапқы
pL
мәнi, э.қ.к көзiнiң бiрiздi LiL 0 (тiзбектi) немесе ток көзiнiң
параллель түрiнде жалғанғаны ескеріледі:
iL 0
p

5.

duC
Сыйымдылықтағы кернеу және ток i C
dt
байланысқан. Бейнелер үшiн аламыз:
I p pCU C ( p) CuC (0) ; U C ( p)
1
u 0
I p C ,
pC
p
қатынасымен
мұндағы uC (0) - t = 0
моментiндегi кернеудiң бастапқы мәнi. Сыйымдылық үшін операторлық
орынбасарлық сұлбалар суретте берілген:
Сыйымдылық, 1 операторлық кедергiсiмен ( pC өткiзгiштiгiмен )
pC сипатталады, ал
uC (0) кернеудiң бастапқы мәнi, CuC (0)
параллель ток көзi немесе uC (0) / p бiрiздi

6.

(тiзбектi) э.қ.к көзi түрiнде жалғанғаны ескерiледi. Э.Қ.К е(t) және j(t) ток
көздерiне операторлық E p L e(t ) кернеумен және J p L j t токпен
сәйкес.
R, L,C элементтерi e (t ) көзiмен бiрiздi жалғанған тiзбек үшiн оператор
түрiндегi Ом заңы келесi түрге ие болады:
I p
uC 0
u 0
E p LiL (0) C
p
p
,
1
Z p
R pL
pC
E p LiL 0
мұндағы: I p ток бейнесi,
E(p)- э.қ.к көзiнiң бейнесi,

7.

индуктивтiктегi ток және сыйымдылықтағы кернеудiң
бастапқы мәндерi,
1
Z ( p) R pL
тармақтағы операторлық кедергi,
pC
iL (0), uC (0)
Y ( p)
1
Z ( p)
Y ( p)
тармақтағы операторлық өткiзгiштiк.
1
тармақтағы операторлық өткiзгiштiк.
Z ( p)
iL (0) 0 , uC (0) 0 ,
E ( p)
I
(
p
)
.
сонда Ом заңы келесi түрге ие
Z ( p)
Егер
Операторлық түрiндегi Кирхгофтың бiрiншi заңы:
I p 0.
k
k
Операторлық түрде Кирхгофтың екiншi заңы: Z k p I k p Ek Lk iL 0 uC k (0)
p
k 1
k 1
i
0
0
,
u
0
0
,
C
егер L
сонда Кирхгофтың екiншi заңы келесi түрге ие:
n
n
n
n
k
Z p I p E p
k 1
k
k
k 1
k

8.

Операторлық түрiндегi Ом және Кирхгоф заңдары, пiшiн бойынша
комплекс түрiндегi заңдарына ұқсас; нөлдiк емес бастапқы шарттары
кезiнде, яғни iL (0) 0, uC (0) 0 кезiнде тек сыртқы э.қ.к E ( p), әрекет етiп
қана қоймай тағыда iшкi немесе есептiк э.қ.к оның оң бағыты бұл
тармақтағы токтың оң бағыты мен үйлесетiн етiп таңдап алынады.
Операторлық әдiспен өтпелi процестерге талдау жасаудың жалпы әдiстемесi.
Операторлық әдiспен өтпелi процестерге талдау жасауды келесiге келтiруге
болады:
1) бастапқы шарттарды ескерiп операторлық орынбасарлық сұлбаны құру,
сол арқылы бейне үшiн сол немесе басқа есептеу әдiсi бойынша алгебралық
теңдеулерді құру;
2) оларды iздестiрiлетiн реакция бейнелерiне қатысты шешу;
3) оларды, табылған бейнелерi бойынша, iздестiрiлетiн функциялардың
түпнұсқасын табу түрiне қатысты шешу.
Операторлық әдiсiпен күрделi электр тiзбектерiн есептеуде әрдайым кестелiк
формулаларға келтiру мүмкiн бола бермейдi.

9.

Белгiлi бейне бойынша түпнұсқаны iздестiрiп табу үшiн Лапластың керi
түрлендiруiн пайдалану қиын мәселенiң бiрi болуы мүмкiн. Осындай
жағдайларда жiктеу теоремасын пайдаланады.
Iздестiрiлетiн функцияның (тоқтың немесе кернеудiң) операторлық бейнесi
тiзбектер теориясында рационал бөлшек түрiнде өте жиi кездеседi:
A( p) , мұндағы A( p) және B( p) - әртүрлi p дәрежелi көпмүшелер.
F ( p)
B( p)
Бейнеден уақыттық функцияға өту келесi формула көмегiмен жасалады:
k n
A( p) p t мұндағы p1 , p2 , . . ., pn - теңдеу түбiрлерi B( p) 0, k 1,2,....n.
f (t )
e ,
B ( p )
k 1
k
k
Сөйтiп
A( p )
F ( p)
B( p)
Егер B ( p ) 0
n
+
A( pk ) pk t
e
k 1 B pk
f (t )
түбiрi комплекстi түйiндес болса, онда:
f t
A pk pk t
A 0
2 Re
e
B 0
pk B pk